FÍSICA DE LA ATMÓSFERA, LA TIERRA Y EL AGUA. FÍSICA DEL MEDIO AMBIENTE

Análisis de espectros de tamaños de gotas de nubes mediante la divergencia de Jensen-Shannon

Analysis of cloud droplet size spectra by Jensen-Shannon divergence

G. Aguirre Varela^1,3, M. Ré^1,2, and D. Stoler Flores¹

¹ FaMAF, Universidad Nacional de Córdoba
² CIII, Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Córdoba.
³ IFEG-CONICET, UNC- Córdoba
guiava@gmail.com

Recibido: 10/10/18;
aceptado: 23/07/19

Resumen
El propósito de este trabajo es emplear la divergencia de Jensen-Shannon para comparar espectros de tamaños de gotas de nubes correspondientes a diferentes condiciones experimentales. Se analizan resultados de mediciones de laboratorio en los que se determinó el diámetro de gotas, producidas mediante un nebulizador ultrasónico, sometidas a diferentes condiciones de movimiento dentro de una "caja de nube". Se considera en particular la tasa de disipación de energía por turbulencia. A los espectros de gotas se los aproximó mediante el método del kernel de densidad.

Palabras Clave: Nubes, gotas, distribución, divergencia, Jensen-Shannon.

Abstract
The purpose of this work is to use the divergence of Jensen-Shannon to compare spectra of cloud droplet sizes corresponding to deferent experimental conditions. Results of laboratory measurements are analyzed in which the diameter of droplets, produced by means of an ultrasonic nebulizer, are determined, subject to deferent movement conditions within a "cloud box". The turbulence energy dissipation rate is particularly considered. The droplet spectra were approximated by the density kernel method.

Keywords: cloud, drops, distribution, divergence, Jensen-Shannon.

I. INTRODUCCIÓN

El crecimiento de gotas de nube, su distribución de tamaños y su posterior transformación en gotas de lluvia son fenómenos que no pueden ser explicados solamente mediante el fenómeno de condensación. En el proceso participa, además, el fenómeno de coalescencia; ya que al producirse la colisión de dos gotas de agua con suficiente energía cinética, éstas pueden unirse y terminar formando una sola gota. Este mecanismo de crecimiento es más eficaz cuando las gotas tienen diámetros mayores a los 100μm. Los procesos involucrados en la formación de gotas en el rango de 20μm a 100μm de diámetro dentro de una nube que produce lluvia todavía no están completamente entendidos.^{1 2}

Para determinar la distribución de tamaños de gotas de nube se han realizado trabajos experimentales y también estudios teóricos. Observaciones experimentales han mostrado la existencia de un espectro estacionario en algunos tipos de nubes, en particular en los estratos cúmulos. Basados en estos resultados, Xenwen y Zheng en 1994³ , Liu y Hallett 1998,⁴ propusieron para el estudio de la distribución de tamaños de gotas, un marco similar al de ensambles de mecánica estadística. Se empleó el principio de Shannon de máxima entropía que establece que un sistema estocástico caracterizado por una variable aleatoria continua y por algunas restricciones, tiene asociada una distribución de probabilidad de equilibrio,la cual maximiza la entropía. Así, la distribuciónde tamaños (estados microscópicos) surgiría como solución de maximizar la entropía, sujeta por vínculos macroscópicos (por ejemplo: contenido de agua líquida,número de gotas, etc.).

Siguiendo a Liu y Hallett (1998), Liu y col. en 2002 generalizaron los resultados y determinaron la distribución de tamaños ρ(x), considerando los vínculos⁵:

donde x es la variable considerada para la distribución, relacionada con los procesos físicos del sistema, X es una cantidad que representa a las x por unidad de volumen y N es la concentración total de gotas. Además consideraron la relación:

donde D es el diámetro de una gota, a y b sonparámetros que están relacionados con los mecanismos físicos que controlan el sistema de gotas. Estos autores reportaron que la distribución de tamaños se corresponde con una de Weibull:

donde . En el caso particular en el que x es la masa de una gota, b = 3 , X puede ser identificado con el contenido de agua líquida de la nube (LWC) y  β con el valor promedio de los diámetros al cubo.

La divergencia de Jensen-Shannon (DJS) es una medida entrópica de distancia entre distribuciones de probabilidad.^{6 7} Se usa aquí esta propiedad como índice de comparación entre distribuciones. Si las distribuciones de probabilidad son desconocidas y sólo se cuenta con el registro de los valores medidos, es necesario aproximar las distribuciones.

En este trabajo se usa el método del Kernel de densidad, un método no paramétrico, para aproximar las distribuciones de diámetros de gotas de nube generadas en experimentos de laboratorio y obtenidas en diversas condiciones dinámicas. Estas distribucionesse compararon entre sí utilizando la DJS, con el objeto de determinar si era posible asociar diferentes valores de la divergencia con las distintas condiciones dinámicas de las nubes. Por otro lado, se compararon las distribuciones generadas con los datos experimentales con las distribuciones de Weibull propuestas por Liu and Hallett (1998) y por Liu y col (2002).

II. MÉTODO

Divergencia de Jensen-Shannon

La DJS con pesos para dos densidades de probabilidad, μ₁ (y) y μ₂ (y) , con y una variable de rango continuo se define por:

donde

es la entropía de Gibbs-Shannon de la densidad de probabilidad μ_i (y) y π_i es el peso que se le ha asignadoen el cálculo de la divergencia (π₁ + π₂ = 1). Para realizar el cálculo de la DJS a partir del registro medido se escribió a la DJS de la siguiente forma:

en donde

Kernel de densidad

La distribución de tamaños de gotas se aproximó usando el método del Kernel de densidad;⁸ esto es, a partir de los valores registrados y_j se construye la distribución aproximada:

donde la suma se extiende a todo el conjunto de valores medidos. La función del kernel K (y) sólo debe satisfacer la condición de normalización

En este trabajo se usó un kernel Gaussiano, con el valor óptimo del parámetro de suavizado informado en la literatura:

siendo s² la varianza muestral y n el número devalores del registro.⁹

Aproximación del valor de expectación

Habiendo aproximado las densidades de probabilidadpor el método del Kernel, se usaron como pesosen (7) y en (8) los valores:

donde n₁ y n₂ son las cantidades de elementos correspondientes a la muestras que se desea comparar. Así, se puede completar el cálculo y obtener el valor de las integrales.

Reconocemos en estas integrales el valor de expectación

que podemos aproximar por el método de Monte Carlo ⁹

Se debe notar aquí que la suma está restringida a losvalores en el subconjunto i.

Finalmente, usando (7), (9), (14), obtenemos

donde n_T = n₁ + n₂

III. Análisis de los datos experimentales

Los diámetros medidos, correspondieron a gotas de una nube generada mediante un nebulizador ultrasónico. La nube era contenida dentro de un recinto en el cual alcanzaba un estado seudo estacionario, con un contenido de agua líquida (LWC) constante, conel que se caracteriza la concentración de nube.¹⁰ La determinación de los diámetros de las gotas se realizó mediante la captura de las mismas dentro de una solución de Formvar ®; esto es, se utilizaron réplicas plásticas. El espesor de la película plástica que se usó fue suficientemente grueso como para que las gotas capturadas se sumergieran completamente en la solución permaneciendo esféricas, por lo tanto cuando se hubo solidificado el Formvar (i.e. evaporado el solvente), la huella tuvo la forma y el tamaño de la gota que la produjo.¹¹ En la Figura 1 se muestran microfotografías de réplicas en Formvar ®

A los efectos de cambiar la dinámica de la nube, seutilizaron ventiladores para producir diferentes grados de perturbación dentro del recinto que conteníala nube. Para caracterizar el estado dinámico se determinó la tasa de disipación energética e. Para estose midió la velocidad del aire en función del tiempoen distintos lugares del recinto que contenía la nube y se determinó su varianza.

Figura 1: Microfotografías de réplicas de gotas de nube. El espesor de las películas de Formvar ® Res tal que las gotas capturadas mantienen la forma esférica

IV. Resultados

Se analizaron 16 espectros de nube con LWC entre 0;1 g m^-3 y 1;7 g m^-3. Se trabajó con tres estados dinámicos diferentes, uno con 0,1 cm² , otro con 4 cm² y un último con 40 cm² . En la Tabla 1 se presenta la nomenclartura de los mismos.

Tabla 1: Nomenclatura de espectros.

Comparación entre espectros

Se calcularon los valores de la DJS correspondientes a todas las combinaciones de los espectros tomados de a pares, teniendo en cuenta la simetría de la DJS. Los resultados se presentan en la Figura 2. Las mayores diferencias se encontraron con los datos correspondientes a hct y pct que tienen LWC = 0; 19gm^-3 y LWC = 0; 1gm^-3 respectivamente.

Figura 2: Valores de DJS obtenidos para todas las secuencias tomadas de a pares. Sobre el eje horizontal se nombra la secuencia que se comparó con otra, identificada por el simbolo de color

Comparación entre espectros y distribución de Weibull con exponente 3

Para cada espectro se determinó la distribución de Weibull descripta en (4), considerando que el vínculo es el LWC; así, x es la masa de una gota y b = 3. Luego se calculó la DJS entre esta distribución y la obtenida para el conjunto de datos experimentales mediante la aproximación del Kernel de densidad. En la Tabla 2 se presentan los valores de la DJS correspondientesy los valores

Tabla 2: DJS entre las aproximaciones obtenidas mediante el Kernel de densidad y la distribución de Weibull con b = 3

Comparación entre espectros y distribución de Weibul generalizada

A cada una de las aproximaciones obtenidas mediante el Kernel de densidad se las ajustó mediantela distribución de Weibull generalizada (4) reescrita en la forma:

donde D_β puede ser identificado como un valor promedio de los diámetros a la,

Tambien se calculó la DJS entre esta distribución Weibull y la aproximación del Kernel de densidad para cada uno de los conjuntos de datos. Estos resultados juntos con los valores de D_β se presentan en laTabla 3.

En la Figura 3 se muestra a modo de ejemplo un histograma, la aproximación obtenida mediante el Kernel de densidad, la distribución de Weibull con b = 3 y la Weibull generalizada que mejor ajustalos resultados experimentales, correspondientes a las secuencias jct , rct, tct y lct.

Tabla 3: DJS entre las aproximaciones obtenidas mediante el Kernel de densidad y la distribución de Weibull que mejor ajusta los resultados experimentales

V. Discusión y Comentarios

Se puede ver en la Figura 2 que los valores de la DJS que involucran a las mediciones con 0; 1 cm² (sin perturbación), son siempre menores que 0; 025. En estos resultados no se manifiesta ningún tipo de dependencia con el valor de LWC de las nubes asociadas. Por otro lado se puede observar que cuando se calcula la DJS involucrando mediciones con 4 cm² o con 40 cm² los valores de de DJS aumentan. Aunque no hay una clara relación con el incremento de perturbación, los mayores valores de DJS corresponden a comparaciones que involucranal menos una medición con 40 cm².

Como se puede observar en la Figura 3, la distribución aproximada obtenida mediante el Kernel de densidad da una buena descripción de los valores medidos. Por otra parte se puede ver que, las distribuciones de Weibull con b = 3, propuestas por Liu yHallet, no describen satisfactoriamente los datos. Esto también queda envidente cuando se consideran los valores de DJS correspondientes. Por otro lado, no se encontró correlación entre DJS y a los valores de .Tampoco se observó relación entre los valores D₃ y los niveles de perturbación.

En la Tabla 3 se puede observar que los valores de DJS que involucran mediciones sin perturbación y los valores que involucran mediciones perturbadas son similares. Resulta notable que, la DJS para las mediciones perturbadas (para los dos valores de ) se incrementa con el valor de LWC, indicando que la distribucion de Weibull generalizada se diferencia más de los resultados experimentales a medida que crece el LWC, este comportamiento se puede observar en la Figura 3. También se puede ver que los valores de D_β son indenpendientes de LWC en las mediciones sin perturbar y que son más chicos que los correspondientes a los casos perturbados; esto indica que las distribuciones correspondientes a los casos perturbados son más asimétricas que las correspondientes a los casos sin perturbar. Además, en los casos perturbados D_β decrece con el LWC. Se puede presumiruna pendiente mayor para el caso en el que es mayor.

Finalmente, como se puede observar en la Figura 3, ninguna de las distribuciones de Weibull dan cuenta de la curvatura que tiene la distribución de tamaños entre los 20 μm y 25 μm. En el caso de la distribución de Weibull que mejor ajusta los datos experimentales,se puede observar que en este rango de tamaños tiene siempre valores más chicos que los que se encuentran en las mediciones.

En la Figura 4 se presentan, en un gráfico log-log, los valores de DJS y el LWC correspondientes a todas la mediciones y a los dos tipos de distribuciones consideradas. También se muestran los ajustes de la forma:

para cada uno de los conjuntos de puntos.

Como se puede ver, la correlación entre DJS y LWC está presente para las dos distribuciones. Como se dijo arriba, esto indicaría que el modelo con el que se obtuvo la distribución de Weibull se diferencia mas de la situación real a medida que se incrementa el LWC. Esto podría deberse a que en la determinación de las distribuciones no se consideró el efecto de coalescencia, fenómeno que debería incrementarse a mayores concentraciones de gotas. Por lo que, sería razonable suponer que un aumento en la concentración de gotas estaría asociado a un incremento en el número de colisiones entre gotas y por lo tanto podría esperarse un incremento en el efecto de la coalescencia.

Figura 3: En las figuras se presentan las aproximacimaciones de las distribuciones de tamaños con: histogramas(puntos negros), Kernel de densidad (línea negra), Weibull con b = 3 y (D_m3)³ = (línea roja) y mejor ajuste con Weibull (línea verde)

Figura 4: DJS entre la aproximación con el Kernel de densidad y con la distribuciones de Weibull consideradas en este trabajo en función del LWC.

Agradecimientos

Queremos agradecer la colaboración del Sr. José Barcelona en la realización de las mediciones y fotografías. Agradecemos a SeCyT-UNC y a SeCyT-UTN por el apoyo brindado a este proyecto.

Referencias

1. Yan Xue , Lian-Ping Wang and Wojciech W.Grabowski, Growth of Cloud Droplets by Turbulent Collision-Coalescence, Jounal of the atmospheric Sciences, vol. 65 , pp. 331-356, 2008.

2. Grabowski, W.W., L.P. Wang, Growth of Cloud Droplets in a Turbulent Environment, Annual Review of Fluid Mechanics. vol 45, pp 293-324.,2013.

3. Xuewen Zhang, Guoguang Zheng A simple droplet spectrum derived from entropy theory, Atmospheric Research, vol 32, pp 189-193, 1994

4. Yangang Liu and John Hallet, On Size Distributions of Cloud Droplets Growing by Condensation: A New Conceptual Model, Jounal of theatmospheric Sciences, vol. 55 , pp. 527-536, 1998.

5. Yangang Liu, Peter H. Daum and John Hallett, A Generalized Systems Theory for the Effect of Varying Fluctuations on Cloud Droplet Size Distributions, Jounal of the atmospheric Sciences, vol.59 , pp. 2279-2290, 2002.

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10. D. Stoler Flores, G. Aguirre Varela, Estudio experimental del efecto de la turbulencia sobre el espectro de tamaño de gotas de nube, Anales AFA, vol. 28 Nro.2, pp 56-59, 2017.

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