Anales AFA Vol. 31 Nro. 1 (Abril 2020 - Julio 2020) 7-12
MOVIMIENTO DE UN BORDE DE GRANO EN LÁMINAS DELGADAS
USANDO MÉTODO DE MONTE CARLO
GRAIN BOUNDARY MIGRATION IN THIN FILMS USING MONTE
CARLO METHOD
C. L. Di Prinzio
1,2
, P. I. Achával
1
, D. Stoler
1
, G. Aguirre Varela*
1,2
1
FAMAF (Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación), Universidad Nacional de
Córdoba, Medina Allende y Haya de la Torre, (5000) Ciudad Universitaria, Córdoba, Argentina.
2
IFEG-CONICET (Instituto de Física “Enrique Gaviola”, Universidad Nacional de Córdoba,
Medina Allende y Haya de la Torre, (5000) Ciudad Universitaria, Córdoba, Argentina.
Recibido: 21/11/2019 Aceptado: 29/03/2020
https://doi.org/10.31527/analesafa.2020.31.1.7 2020 Anales AFA
Autor para correspondencia: carlosdiprinzio@gmail.com; pachaval@famaf.unc.edu.ar
Resumen:
En este trabajo se estudió la evolución de un borde de grano plano en una muestra delgada mediante
un algoritmo basado en el método de Monte Carlo. El borde de grano es impulsado por una fuerza
externa y los efectos superficiales sobre su movimiento son estudiados. El movimiento de la parte
del borde de grano en la superficie es espasmódico, lo cual significa que tiene periodos alternados
de movimiento y de estancamiento. Los periodos de estancamientos son inversamente
proporcionales al espesor de la muestra. Los resultados obtenidos computacionalmente se coinciden
satisfactoriamente con los resultados teóricos y experimentales obtenidos por diferentes autores.
Palabras clave: Palabras clave: láminas delgadas, borde de grano, difusión gaseosa.
Abstract:
This paper presents the evolution of a flat grain boundary in a thin sample, using a numerical
algorithm based on the Monte Carlo method. The grain boundary is driven by an external force and
the effect of the free surface is studied. The grain boundary migration on the free surface is
spasmodic, which means that it has alternating periods of movement and stagnation. Stagnation
periods are inversely proportional to the thickness of the sample. The results obtained
computationally fitted acceptable with the theoretical results obtained by different authors.
Keywords: Keywords: thin films, grainboundary, gas difusión.
I. INTRODUCCIÓN
La variación de tamaño de los cristales en un material es debido mayormente a la migración o
movimiento de bordes de grano (BG)
(1)
. La migración de BG depende de la temperatura y de las
tensiones en el material entre otros factores, pero además es afectada por las impurezas e
inclusiones sólidas
(2)
.
FIG. 1: Configuración del BG.
Un BG plano, representado en la Fig. 1, puede ser impulsado por una fuerza constante F. Esta
fuerza F puede deberse a una diferencia de tensiones acumuladas
(3)
, a un gradiente de
temperatura
(4)
, a diferencias de propiedades magnéticas
(5)
, etc. En este caso, la coordenada “a” que
describe la posición del BG en la superficie (BGS) evoluciona, cuando la superficie no lo afecta,
como
donde M es la movilidad del BG.
FIG. 2: Evolución del BG con el surco del BG a velocidad v.
Cuando el BGS se ve afectado por el entorno que rodea a la muestra, se forma un surco superficial y
su evolución es afectada profundamente como puede verse en la Fig. 2. En muestras finas
(6,7,8,9)
el
BGS se libera del surco y migra durante un período durante el cual otro surco se va formando y
va frenando al BGS hasta estancarlo temporariamente durante un período [Fig. 2(b) a 2(e)]. La
fuerza constante F y la fuerza de capilaridad P, generada en el interior de la muestra, producen una
resultante suficientemente grande para desanclar el BG y liberarlo nuevamente. El BGS se mueve
por lo tanto en forma espasmódica alternándose períodos de movimiento ( ) y estancamiento ( )
[Fig. 2]. Mullins
(10)
sugirió que si el surco del BG se formaba por difusión superficial la coordenada
“a”, correspondiente a un BG plano como en la Fig. 2, debería moverse durante como
Donde t es el tiempo y es una función compleja expresada en serie en . El argumento
es el ángulo medio que forma el BG con la superficie para ambos cristales en donde se ha formado
el surco, y es un ángulo límite dado por . B esta dado por
donde 𝛺 es el volumen atómico, es la energía superficial,
BG
es la energía del BG, 𝐷
𝑠
el
coeficiente de difusión superficial, 𝜐 es el número de átomos por unidad de área, 𝑘 es la constante
de Boltzmann y 𝑇 es la temperatura en grados kelvin.
Gottstein y col
(11)
y Aristov y col.
(12)
, estudiaron en forma simplificada, el movimiento del BGS de
un bicristal plano bajo la acción de una fuerza impulsora constante F, considerando el efecto de la
superficie de la muestra durante el tiempo . El surco que se formaba entre el BG y la superficie
podía estar producido por efectos de difusión superficial, difusión gaseosa o por el mecanismo de
evaporación-condensación.
Si el proceso de formación del surco es por difusión superficial, la coordenada es:
donde
y es el espesor de la muestra.
Si el proceso de formación del surco es por evaporación gaseosa, la coordenada se obtiene a
partir de
con y c
2
iguales a
Donde p
0
es la presión de vapor de saturación del material y D el coeficiente de difusión gaseosa.
Si el proceso de formación del surco es por evaporación--condensación, la coordenada se
calcula como
con y
donde M
m
es la masa molecular del compuesto.
Se puede demostrar que cuando la migración comienza sin el surco del BG, las Ecs. (4), (8) y (11)
pueden reducirse a una única expresión lineal en t dada por la Ec. (1).
Sin embargo, luego de un tiempo suficientemente largo, las Ecs. (4), (8) y (11) se comportan
lineales en , respectivamente, quedando
Notar que la coordenada “a” evoluciona en el tiempo de una forma relacionada con los mecanismos
de formación y de transporte superficial detallados por Gottstein y col.
(11)
, Aristov y col.
(12)
y
Mullins
(13)
, siendo la evolución más lenta cuando el espesor de la muestra es reducido.
Aristov y col. también dan expresiones del tiempo que transcurre entre dos sucesivas
liberaciones del BGS de su correspondiente surco, para cada proceso físico. Esas expresiones son de
la forma
Se ve que para todos los procesos físicos, el tiempo de permanencia del movimiento del BGS con el
surco aumenta cuando el espesor disminuye.
II. MÉTODO COMPUTACIONAL
La migración de BG para el bicristal de la Fig. 1 fue estudiada mediante el método de Monte Carlo
(MC) usando los mismos procedimientos que se emplearon en muestras tridimensionales
(14,15)
.
Inicialmente se crea una matriz de N sitios (N
x
x N
y
x N
z
= N) con un bicristal en 3D dentro de la
misma. Cada sitio i tiene una orientación única S
i
> 0. En este modelo, como muestra la Fig. 3, uno
de los granos tiene todos los sitios con S
i
= 40, los sitios en el otro cristal con S
i
= 20 y el entorno
que rodea al bicristal con S
i
= 30.
FIG. 3. Esquema simplificado usado en la simulación de la cara de arriba del bicristal de la Fig. 1.
El entorno puede ser un gas o el mismo vapor del material del bicristal pero a los fines del cálculo
computacional fue considerado como otro cristal.
El algoritmo tiene los siguientes pasos:
a) La energía total W del policristal está dada por
con S
i
y S
j
orientaciones de los sitios de la red i y j, respectivamente. J es la energía de interacción
entre sitios i y j, V el número de vecinos al sitio i y la función delta de Kronecker. En este caso
V=26, que corresponde a los primeros, segundos y terceros vecinos en una estructura cúbica. Se
debe aclarar que la energía J depende de la orientación entre el sitio i y j. La energía entre ambos
cristales que formaban el BG fue considerada 0,4kT, pero entre esos cristales y el entorno se
consideró 0,5kT. Esto de alguna manera intenta poner de manifiesto que el BG tiene menos energía
interfacial que una superficie “externa” en estas simulaciones.
En forma aleatoria \footnote{Los números aleatorios usados en este trabajo fueron generados en
cada ciclo por una versión adaptada de la subrutina RANECU escrita por F. James (1990)
(16)
.} se
elige un sitio de la red perteneciente a un grano, denominado i, con una orientación S
i
. Mediante la
Ec. (4) se calcula la energía alrededor del sitio i como
donde el supra índice in significa etapa inicial.
b) También es posible, en el caso de BG plano, considerar la presencia de una fuerza impulsora
contante F. Eso se modeló calculando la energía inicial
Esta cantidad cuenta cuantos sitios con número (S
i
) hay en la vecindad. Con el valor de H se puede
aumentar el peso de este término ya que su valor está íntimamente relacionado a la fuerza F.
c) A continuación se remplaza la orientación del sitio i (S
i
) por una orientación (S
j
) del sitio j
obtenida aleatoriamente de sus vecinos que pertenecen a un grano.
d) Se calcula nuevamente la energía del sitio i y también la energía donde el supra índice fi
significa final. La cantidad calcula nuevamente cuantos sitios de orientación (S
i
) quedaron
después del cambio.
e) Luego se calcula la diferencia de energías como
El primer término está relacionado con la capilaridad y el segundo término con la fuerza externa. Si
la cantidad de sitios con orientación (S
i
) aumentó y (S
i
) está asociada al cristal que uno quiere hacer
avanzar, entonces la cantidad del segundo término será negativa. Por lo tanto, el término asociado a
la fuerza externa produce una mayor disminución de la energía total del sistema y aumentando la
probabilidad de que el sitio con orientación (S
i
) no cambie.
f) Si el valor obtenido con la Ec. (22) resulta negativo o nulo, el cambio se produce
permanentemente, y si es positivo, se calcula una probabilidad P dada por
Para permitir que el sistema produzca cambios por activación térmica, se elige un número aleatorio
Z, entre 0 y 1, y se compara con P. Si P es más grande que Z, entonces se hace el cambio de S
i
por
S
j
, en caso contrario no.
III. RESULTADOS COMPUTACIONALES
En este trabajo se simularon muestras 3D bicristalinas como las mostradas en la Fig. 1, donde las
dimensiones de la tapa son 100 x 100 pixeles y se han considerado los siguientes espesores: 20, 40,
60, 100 y 200 pixeles.
Los resultados encontrados en esta sección podrían explicar ciertos comportamientos observados en
la migración de muestras de hielo puro obtenidas por Di Prinzio y col. (1997)
(9)
. Para obtener la
equivalencia entre el MCS y un valor temporal real se debe conocer el valor de del BG y la
longitud real que tiene el pixel (unidad de longitud en el programa de Monte Carlo), como se había
comentado en otro artículo publicado en esta revista (Di Prinzio y col. (2019)
(17)
. En una muestra
real estudiada por Di Prinzio y col. (1997) se tenía un espesor entre 3 mm y 5 mm
aproximadamente. Por lo tanto podemos decir, por ejemplo, que la muestra computacional con un
espesor de 60 pixel es equivalente a una muestra real de 3 mm.
En el trabajo de 2019 de Di Prinzio y col.
(17)
se encontró que el valor de , mediante
la simulación del movimiento de un BG esférico. Para la temperatura de T = -5ºC, el valor
promedio entre todas las muestras bicristalinas analizadas por Di Prinzio y col (1997) fue
. Por lo tanto, resulta entonces que
A partir de la Fig. 8 se puede afirmar que la configuración final a 10000 MCS representa,
aproximadamente, una migración de 2100 horas. Di Prinzio y col. (1997) observaron la migración
de los BG y hielo puro por 1500 horas aproximadamente, por lo cual, el valor máximo de MCS
cubre correctamente el periodo del experimento real.
En la Fig. 4 se presenta la evolución de la muestra bicristalina en forma 3D (100 x 100 x 40 pixeles)
entre los 1600 MCS y los 1900 MCS (MCS: paso de Monte Carlo) con H = 4kT.
En dicha figura, el cristal 1 está representado de color blanco y el cristal 2 de color gris claro. El
medio ambiente que rodea al bicristal está representado por un color gris oscuro (ver también Fig.
3). La tapa y la cara del costado izquierdo del bicristal muestran la presencia del surco. El surco
tiene un espesor de 1 a 2 pixeles y no entra al interior del bicristal, como se mostró en el esquema
de la Fig. 2. En la Fig. 5 se muestra una sección correspondiente a la parte media del bicristal de la
Fig. 3(a).
FIG. 4: Evolución del bicristal 3D de 100 x 100 x 20 pixeles para los 1600 MCS (a), 1700 MCS (b),
1800 MCS (c) y 1900 MCS (d).
Se puede observar que todo el bicristal está rodeado del medio ambiente, que en el interior del
bicristal no hay presencia del surco y que el surco tiene escasa profundidad.
FIG. 5: Corte en el medio de la muestra presentada en la Fig. 4(a).
En esta simulación, el cristal que avanza va perdiendo puntos que son ganados por el medio
ambiente. Este efecto se puede considerar como un proceso de difusión gaseosa o evaporación. En
la Fig. 6(a) se presentan la forma del BG en el corte de la Fig. 5 y su digitalización. También en la
Fig. 7 se presentan las formas del BG, a diferentes MCS, para las muestras delgadas con los
diferentes espesores En la Fig. 6(b) se puede ver que la forma coincide aproximadamente con la de
una función catenaria como lo reportado por Mullins
(10)
y Frost y col.
(7)
. La catenaria es la forma
adoptada por una cuerda sostenida fijamente de sus extremos, con una determinada tensión y bajo el
efecto de una fuerza constante. El BG adopta en este caso esta forma porque tiene las mismas
condiciones que dicha cuerda.
FIG. 6: (a) Forma del BG a los 1600 MCS para la muestra 100 x 100 x 20 pixeles. (b) Coordenadas
(x,y) de los puntos situados sobre el BG de la Fig. 6(a) y ajuste por cuadrados mínimos de los
mismos con una función catenaria.
La catenaria para un BG, por lo tanto, se puede encontrar haciendo la analogía con la forma
catenaria de una cuerda. De esta manera, la catenaria de un BG resulta
donde (x,y(x)) representa las coordenadas de los puntos sobre el BG y . Dicha
ecuación fue ajustada por cuadrados mínimos a los puntos (x,y) del corte de la Fig. 5 y
representados en la Fig. 6(b), resultando pixel, pixel. Se puede
ver que el BG claramente presenta una forma catenaria.
En la Fig. 7, el BG en muestras con menor espesor adopta una forma similar a una catenaria debido
a la influencia de la superficie. A medida que el espesor de la muestra aumenta, la influencia de la
superficie es menos evidente y eso puede notarse por la forma plana del BG al avanzar. En la Fig. 8
se presenta la coordenada “a” en función del MCS para la muestra 100 x 100 x 50 pixeles con H =
4kT y H = 3,7kT. También se presenta la evolución temporal de “a” de
FIG. 7: Forma del BG en la zonas mostrada en la Fig. 5, a diferentes MCS, para las muestras con
los espesores (a) 20 pixeles (2300 MCS), (b) 25 pixeles (2500 MCS), (c) 30 pixeles (1600 MCS),
(d) 35 pixeles (900 MCS), (e) 40 pixeles (800 MCS) y (f) 100 pixeles (700 MCS).
Si se multiplica G y MF, se obtiene . En un trabajo anterior de Di Prinzio y
col.
(17)
se encontró que el valor de , mediante la simulación del movimiento de un BG
esférico. Con ambos valores se puede calcular que es comparable con el valor de
de la simulación en la Fig. 6(a). Por este resultado se puede decir que la simulación describe con su
algoritmo la forma que va adoptando el BG en su movimiento bajo efecto del surco superior.
FIG. 8: Coordenada “$a$” en función del MCS para la muestra 100 x 100 x 50 pixeles sin efecto
superficial (sin) y con H = 4kT y H = 3,7kT.
Otro importante resultado hallado con este algoritmo computacional es la migración espasmódica
del BGS. La migración espasmódica se caracteriza por el movimiento y frenado sucesivos del BGS,
caracterizado por la coordenada “a”. En la Fig. 8, el movimiento espasmódico se incrementa al
reducir la fuerza externa, como lo demuestra el tiempo de estancamiento encontrado por Aristov
y col.
(12)
[Ecs. (16), (17) y (18)]. En el caso de la muestra 100 x 100 x 50 pixeles con H = 3,7kT, la
coordenada “a” registra un movimiento y frenado sucesivo a medida que trascurre el tiempo. Este
efecto es debido, como se explicó en la Fig. 2, a efectos del BG al encontrase con la superficie libre
de la muestra.
Para poder ponderar el efecto de estancamiento en la migración de BGS, se estudiaron muestras
bicristalinas de diferentes espesores con H = 3,7kT. En la Fig. 9 se presenta la coordenada “a” de
bicristales, como los presentados en la Fig. 3, en función del MCS para los siguientes espesores 20,
25, 30, 35, 40, 60 y 100 pixeles.
FIG. 9: Coordenada “a” de bicristales del tipo presentado en la Fig. 3, en función del MCS para
diferentes espesores 20, 25, 30, 35, 40, 60 y 100 pixeles.
Aquí se tomaron los resultados promedios de 3 simulaciones para cada espesor. Se observa que:
a) El desplazamiento neto del BGS es menor cuando menor es el espesor.
b) En todos los casos el movimiento del BGS es espasmódico.
c) El BGS se va frenando en forma suave en algunos de los casos. Sin embargo, el movimiento
puede interrumpirse también abruptamente.
d) Cuando el movimiento del BGS se va frenando suavemente, el mismo podría ser descripto
mediante una función del tipo , como lo expresado en las Ecs. (14)-(16).
e) varía con el espesor, notándose que este tiempo se reduce cuando el espesor disminuye. Sin
embargo, no fue posible encontrar una prueba explícita de las ecuaciones para reportadas por
Aristov y col.
FIG. 10: Coordenada “a” del BGS para la muestra 100 x 100 x 60 pixeles de la Fig. 7 entre 2500 y
7000 MCS.
En la Fig. 10 se presenta el tramo de movimiento del BG para la muestra 100 x 100 x 60 pixeles de
la Fig. 8 entre 2500 y 7000 MCS. Se puede ver que la relación entre “a” y MCS es lineal al
comienzo, siguiendo la Ec. (1) con Después puede ser descripta
adecuadamente por una relación como la Ec. (14), propuesta por Aristov y col.
(12)
, relacionada con
un proceso de difusión gaseosa. El factor . Es probable que esta buena coincidencia
entre la teoría y la simulación esté relacionada con el hecho que los puntos del cristal que avanzan
van pasando a ser parte del entorno del bicristal. Como se mencionó anteriormente, esto puede estar
vinculado a un proceso de tipo evaporativo.
IV. CONCLUSIONES
El algoritmo utilizado para describir el movimiento del BGS de una muestra bicristalina delgada
coincide en gran medida con la descripción teórica descripta por Gottstein y col.
(10)
, Aristov y
col.
(11)
y Mullins
(12)
y con los datos experimentales aportados por Nasello y col. Los BGS
simulados presentaron los siguientes aspectos relevantes:
1- La velocidad del BGS en muestras delgadas disminuye con el espesor; siendo casi nula cuando el
espesor es muy pequeño.
2- La migración del BGS es espasmódica cuando el mismo es afectado por el surco del BG. Existen
en general períodos de estancamiento total y períodos de migración.
3- Durante el período el BGS se mueve abruptamente o suavemente. Cuando el movimiento del
BGS se va frenado suavemente, el mismo se puede describir mediante una función del tipo
En las simulaciones presentadas, el surco fue formándose por reconversión de los puntos
pertenecientes al cristal que avanzaba. Este proceso fue asociado a una difusión gaseosa y eso se
reflejó en el exponente encontrado en la función donde n fue cercano a 3.
4- El BG adopta una forma catenaria como lo indica la teoría.
Agradecimientos
Este trabajo fue posible gracias a la colaboración de José Barcelona (FAMAF, Univ. Nacional de
Córdoba) y del apoyo económico de SeCyT (Secretaría de Ciencia y técnica de la UNC).
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