Anales AFA Vol. 31 Nro. 1 (Abril 2020 - Julio 2020) 13-22
MAGNETOMETRÍA V-MOKE: ESCALEO ENTRE COMPONENTES DE LA
MAGNETIZACIÓN EN EL PLANO DE LA MUESTRA
V-MOKE MAGNETOMETRY: IN PLANE MAGNETIZATION
COMPONENTS SCALING
A. Aguzín
1
, F. Bonetto
2,3
, M. Tacca
2
, A. Butera
4
, C. J. Bonin
*2,3
1
Facultad de Ingeniería Química (FIQ), Universidad Nacional del Litoral (UNL), Santiago del
Estero 2829 (S3000AOM), Santa Fe, Argentina.
2
Instituto de Física del Litoral (IFIS-Litoral), UNL – CONICET, Güemes 3450 (S3000GLN), Santa
Fe, Argentina.
3
Departamento de Física - FIQ, Universidad Nacional del Litoral (UNL), Santiago del Estero 2829
(S3000AOM), Santa Fe, Argentina.
4
Instituto de Nanociencia y Nanotecnología, Centro Atómico Bariloche CNEA, Av. E. Bustillo km
9,500 (R8402AGP), Bariloche, Rio Negro, Argentina.
Recibido: 04/12/2019 Aceptado: 29/03/2020
https://doi.org/10.31527/analesafa.2020.31.1.13 2020 Anales AFA
Autor para correspondencia: claudio.bonin@santafe-conicet.gov.ar
Resumen:
Se presenta un procedimiento alternativo al descripto en la bibliografía para determinar el factor de
escala, necesario para comparar cuantitativamente dos de las componentes coplanares de la
magnetización (componentes en el plano de la superficie de la muestra) de una película magnética
mediante v-MOKE (vectorial-MOKE). El procedimiento propuesto posee la ventaja de no necesitar
la reorientación del electroimán generador del campo magnetizante, ya que, dependiendo de las
dimensiones y peso del mismo, esta acción puede resultar dificultosa o directamente impracticable.
De esta manera, el experimento que permite adquirir las dos componentes en el plano de la
magnetización de manera simultánea, se ejecuta sin necesidad de modificar la disposición
experimental inicial (montaje fijo). Como muestras de prueba usamos dos películas de FePt de 9 nm
y 100 nm de espesor, presentando la primera anisotropía uniaxial. Todos los experimentos se
realizaron a temperatura ambiente y usando un sistema MOKE construido en el Grupo de Física de
Superficies del IFIS-Litoral, el cual permite detectar dos componentes de la magnetización
simultáneamente (v-MOKE).
Palabras clave: MOKE vectorial, Nanomagnetismo, magnetización superficial, FePt; anisotropía
uniaxial.
Abstract:
In this paper we introduce an alternative method to determine the scale factor necessary to
quantitatively compare the two coplanar components of the magnetization (components in the plane
of the surface of the sample) of a film using the v-MOKE technique (vectorial-MOKE). The
proposed method has the advantage of not needing the reorientation of the electromagnet generating
the magnetic field, since, depending on the dimensions and weight thereof, this action can be
difficult or directly impracticable. In this way, the experiment that allows for the acquisition of the
two components in the plane of magnetization simultaneously, is executed without the need to
modify the initial experimental arrangement (fixed assembly). As test samples, two 9 nm and 100
nm thick FePt films are used, presenting the first uniaxial anisotropy. All experiments were carried
out at room temperature and using a MOKE system entirely built in the Surface Physics Group of
the Instituto de Física del Litoral, allowing to simultaneously measure the two magnetization
components coplanar with the surface sample (v-MOKE).
Keywords: vectorial MOKE, Nanomagnetism, surface magnetization, FePt; uniaxial anisotropy.
I. INTRODUCCIÓN
MOKE es el acrónimo en inglés de Magneto-Optic Kerr Effect, y es una de las técnicas más
convenientes para estudiar fenómenos de magnetización superficial debido a su limitada
penetración en el material (entre 10 y 20 nm en la mayoría de los metales
(1)
). Se aplica
fundamentalmente en Nanomagnetismo por su gran sensibilidad y por ser relativamente simple de
montar en el laboratorio
(2)
. La técnica es sensible a los cambios en la orientación del plano de
polarización, como así también a variaciones en la intensidad de un haz de luz monocromático y
linealmente polarizado; luego de ser reflejado por la superficie magnetizada de un material. La
magnetización adquirida por la película altera el tensor dieléctrico de la misma, haciéndolo
ópticamente anisotrópico, modificando en consecuencia, aunque solo a primer orden, la matriz de
reflexión de la superficie de la muestra. En un experimento típico, la intensidad del haz reflejado (y
por ende su variación respecto del haz incidente) es adquirido a medida que se cicla un campo
magnético externo el cual magnetiza la muestra. Es decir, se miden ciclos de histéresis de la
película ya que la luz reflejada por ésta lleva información de la magnetización por
.
Convencionalmente, según sea el estado de polarización del haz de luz incidente sobre la película
en estudio, y la geometría MOKE usada, es posible detectar o bien una rotación del plano de
polarización del haz, o un cambio en la intensidad del mismo. De esta manera solo se adquiere una
de las tres componentes de la magnetización de la película durante un experimento.
La técnica suele montarse en el laboratorio en una de las tres geometrías siguientes (ver Fig. 1):
LONGITUDINAL, TRANSVERSAL o POLAR. En las dos primeras se detectan las componentes
m
x
y m
y
(es decir, componentes de la magnetización que yacen en el mismo plano de la superficie-
muestra donde se refleja el haz) provenientes de un cambio del estado de polarización y de una
variación en la intensidad de la luz incidente, respectivamente (es decir, corresponden a dos efectos
Kerr diferentes). Por otro lado, en la POLAR se detecta la componente transversal a la superficie
(m
z
) proveniente de un cambio del estado de polarización del haz incidente.
FIG. 1: Geometrías MOKE: (a) LONGITUDINAL: la magnetización es paralela al plano de la
muestra XY y al plano de incidencia XZ. (b) TRANSVERSAL: la magnetización es paralela al
plano de la muestra pero perpendicular al plano de incidencia. Aquí p y s hacen referencia a onda
polarizada p (campo eléctrico paralelo al plano de incidencia) y onda polarizada s, cuyo campo
es perpendicular al plano de incidencia. (c) POLAR: la magnetización es perpendicular al plano de
la muestra y paralela al plano de incidencia. También se indica la elección de los ejes coordenados.
De las tres geometrías, usualmente la POLAR da una señal que es un orden de magnitud mayor a
las otras dos, siendo la TRANSVERSAL la de señal más débil
(2)
.
Es menester aclarar que la magnetización de la muestra no necesariamente sigue de manera estricta
al campo externo cuando éste se cicla en el tiempo, en consecuencia, la señal MOKE puede ser
una mezcla de las tres geometrías (con información de las tres componentes de , con diferentes
pesos). Si la película es suficientemente delgada, es de esperar que la componente transversal a la
misma se anule ya que de esta forma el sistema minimizaría su energía magnética.
Jiménez et al.
(3)
describen un método para medir de manera simultánea y cuantitativa (es decir,
componentes escaleadas) dos de las tres componentes de la magnetización, componentes paralelas
al plano de la muestra m
x
y m
y
; usando el efecto Kerr superficial. A este procedimiento lo
denominan v-MOKE (acrónimo en inglés de vectorial MOKE), cuya característica más
sobresaliente es la de permitir la adquisición de estas dos componentes de la magnetización de
manera simultánea. Para la descripción teórica del experimento utilizan el formalismo clásico de
Jones
(4-13)
, el cual permite determinar de manera precisa los cambios en el estado de polarización de
la luz, luego de reflejarse en la superficie de la muestra y después de atravesar los diferentes
componentes ópticos del dispositivo experimental. De este modo, la técnica v-MOKE permite
estudiar la dependencia de los fenómenos de histéresis, remanencias, campos críticos, procesos de
reversión de la magnetización, determinación de las direcciones de los ejes fáciles y duro de
magnetización, orientación de paredes de dominio, y anisotropías magnéticas, entre otros; de
manera más precisa que con cualquiera de las disposiciones MOKE convencionales, ya que puede
obtenerse información de dos componentes de la magnetización simultáneamente.
Distintos grupos de investigación han propuesto diferentes procedimientos para medir las dos
componentes de en el plano de la película. Estos involucran medir muchos ciclos de histéresis en
diferentes condiciones
(14-22)
: cambiando componentes ópticos, variando la dirección del campo
magnético, o modificando ambos. Esto tiene el inconveniente práctico de que cada vez que se
modifica la disposición experimental hay que recalibrar todo el sistema. Teixeira et al.
(23)
describen
una técnica similar, pero no diseñan un montaje experimental que permita determinar las
componentes de manera cuantitativa. Por lo tanto, no puede usarse para seguir la trayectoria de la
magnetización de la película durante la reversión del campo externo.
Por otro lado, Jimenez et al.
(3)
proponen reorientar el electroimán (de pequeñas dimensiones) por
única vez al comienzo del experimento para obtener el factor de escala entre las componentes de la
magnetización en el plano de la película, y asumen que el mismo vale para el resto del experimento
donde hacen un estudio angular de la película magnética (donde la superficie de reflexión
permanece fija ante la rotación).
El pequeño electroimán genera un campo paralelo a la película, y es solidario a una montura que
posibilita su rotación alrededor de un eje transversal a la superficie de la muestra, permitiendo
alternar entre las geometrías LONGITUDINAL Y TRANSVERSAL, necesario para determinar
experimentalmente el factor de escala entre las señales provenientes de las componentes m
x
y m
y
de
la magnetización (ver Ref.
(3)
para más detalles).
Si bien este método es perfectamente aplicable y apropiado para el dispositivo experimental
descripto en la Ref.
(3)
, presenta el inconveniente de tener que rotar el electroimán generador del
campo magnético que, dependiendo de las dimensiones y peso del mismo y del montaje
experimental, puede resultar compleja o directamente imposible de ejecutar en la práctica.
En nuestro trabajo presentamos un procedimiento alternativo al reportado en la Ref.
(3)
para
determinar el factor de escala entre las señales provenientes de dos efectos magneto-ópticos
diferentes, los cuales son proporcionales a las componentes de la magnetización en el plano de la
película: m
x
y m
y
, respectivamente. Nuestro procedimiento evita tener que mover el electroimán o
algún otro componente óptico, resultando muy conveniente si éste es de dimensiones y peso
considerables. Por todo lo demás, el procedimiento experimental es similar al de la Ref.
(3)
,
utilizando otras muestras para la prueba del método.
II. DESCRIPCIÓN TEÓRICA
En la descripción macroscópica clásica del efecto magneto-óptico, la magnetización rompe la
simetría óptica de la muestra, haciendo anisotrópico el tensor dieléctrico de la misma. Si la
anisotropía inducida por la magnetización de la película es pequeña, algunos componentes del
tensor dieléctrico (elementos no diagonales) dependerán de manera lineal (a primer orden) con la
magnetización. Este es el fundamento que usaremos para describir la señal MOKE y su conexión
con las propiedades magnéticas de la muestra.
Consideramos que el haz incide sobre la muestra con polarización lineal p, el cual luego de
reflejarse en su superficie magnetizada, pasa por una lámina retardadora de media onda rotada
convenientemente respecto de la dirección transversal al plano de incidencia (correspondiente
a la dirección s o dirección de polarización de la onda-s). Luego, el haz mezcla de estados de
polarización s y p es separado en dos haces por un prisma Wollaston, el cual direcciona cada una de
las proyecciones paralelas a sus ejes ópticos (orientados en las direcciones s y p, respectivamente)
hacia dos fotodetectores separados espacialmente. Estos miden la intensidad de luz que les llega (de
manera simultánea), la cual contiene información del estado magnético de la película. El detector
(formado en parte por los dos fotodetectores) tiene tres salidas independientes: la salida A contiene
la componente constante (no varía con el campo ) de la suma de las señales que llegan a cada
fotodiodo ; la salida B contiene la componente que varía con el campo de la suma , y
la salida C arroja la resta de las señales que llegan a los fotodetectores . Las señales de las
salidas B y C tienen información de las componentes de la magnetización en el plano de la muestra,
mientras que la salida A se usa para normalizar las señales de los otros dos canales.
Usando el formalismo de Jones
(4-13)
para describir el experimento, se tiene que los coeficientes de
Fresnel generalizados:
son linealmente dependientes de la magnetización (perturbación a primer orden). El campo eléctrico
de la luz, polarizada linealmente, está dado por
Donde es el ángulo formado por el vector y la normal al plano de incidencia. Si el haz
incidente atraviesa un polarizador que deja pasar solo la componente paralela a dicho plano se tiene:
Los subíndices s y p indican onda polarizada s y p, respectivamente; y los supraíndices i y r indican
haz incidente y reflejado, respectivamente. Explícitamente se tiene (ver Apéndice de Ref.
(3)
):
Para hallar estas expresiones deben resolverse las ecuaciones de Maxwell en la interface. La Ec. (3)
muestra la dependencia explícita de los coeficientes de la matriz de reflexión con las componentes
de la magnetización Si bien los coeficientes a, c, d, b
1
, y b
2
son independientes de
, dependen de varios parámetros, entre ellos los índices de refracción de los medios de la
interface, la longitud de onda del haz incidente, de los ángulos de incidencia, etc. A su vez, las
componentes de son dependientes del campo , es decir, con
Para poder medir simultáneamente dos componentes de la magnetización en el plano de la película
(m
x
y m
y
), es necesario que el haz incidente tenga polarización p (onda-p). Luego, considerando que
no hay errores de alineamiento de los componentes ópticos y teniendo en mente la configuración
esquematizada en la Fig. 1(a), las salidas del fotoamplificador (sistema de detección) son:
Donde I
s
e I
p
son las señales detectadas por los fotodiodos del fotoamplificador provenientes de las
componentes s y p del haz luego de pasar por el prisma Wollaston:
(irradiancia) e Los subíndices y hacen referencia a la resta y suma de las señales, y
los supraíndices DC y AC indican la componente continua de la señal suma y la alterna (varía con
el ciclado de ), respectivamente. La electrónica interna del fotoamplificador filtra la componente
continua mediante un capacitor en serie en la señal AC.
Si bien en este trabajo hacemos la suposición usual para películas delgadas: es decir, la
magnetización permanece siempre en el plano de la película, por completitud hemos conservado los
términos que contienen esta componente en las Ecs. (4) y (6). Como los términos que contienen
componentes al cuadrado de la magnetización suelen ser pequeños respecto de los términos lineales,
se ve que la Ec. (4) es lineal con m
x
, mientras que la Ec. (6) es lineal con m
y
. Notar que los términos
lineales son los únicos que pueden dar lugar a un ciclo de histéresis, y el hecho de que
efectivamente se miden estos ciclos respalda las suposiciones realizadas.
Es importante notar que la magnetización no siempre es colineal con el campo aplicado durante
todo el proceso de reversión. Por ende, la señal Kerr será, en general, una mezcla de diferentes
efectos Kerr, dados por los distintos términos de las Ecs. (4) y (6) que dependen de las diferentes
componentes de
Entonces, si despreciamos la componente z y aquellos términos de segundo orden en , la señal
será proporcional a la componente paralela de la magnetización , mientras que la señal
será proporcional a la componentes perpendicular Es decir,
La señal se usa para normalizar las dos señales anteriores, ya que da cuenta de la reflectividad
total de la superficie, independientemente de la magnetización de la misma. Luego:
donde y son las correspondientes señales normalizadas. En el set de Ecs. (7) introdujimos
las constantes y que no dependen del campo ni del ángulo azimutal de la muestra
respecto de la dirección del campo magnético, pero dependen de las características de la muestra y
de ciertas condiciones experimentales como la longitud de onda del haz y del ángulo de incidencia
utilizado.
A partir de (7), se tiene que:
En (8) introducimos el factor de escala , que nos permite vincular la
magnetización transversal auténtica con la magnetización transversal medida no escaleada
De este modo la constante de proporcionalidad vincula tanto la magnetización $ como
con las señales e , respectivamente. El origen de la necesidad de vincular ambas
magnetizaciones a través de un factor de escala radica en que en la configuración que se usa se tiene
que es proporcional al ángulo de rotación del plano de polarización del haz incidente (ver
Apéndice), mientras que su contraparte da cuenta del cambio de reflectividad. Este factor de
escala, en principio, tiene valores distintos para diferentes muestras en estudio. Volveremos a
discutir este factor en la Sec. IV(iii).
III. MÉTODO EXPERIMENTAL
Para todas nuestras experiencias usaremos un sistema v-MOKE construido en el Laboratorio de
Superficies e Interfaces del Instituto de Física del Litoral.
En todos los casos, para la obtención de los lazos de histéresis se cicló el campo mediante una
señal tipo rampa de forma triangular, con fase inicial de 90º, es decir B(t = 0) = +100 mT [Fig. 2(a)]
y frecuencia de 1 Hz.
FIG. 2: (a) Señales crudas adquiridas del campo magnético y componente DC de la señal MOKE.
Aquí se ve claramente que esta componente no depende de la magnetización de la muestra. (b)
Señales MOKE promediadas (y corregidas por el offset) de las magnetizaciones paralela (escala
izquierda, en negro) y perpendicular (escala derecha, en rojo). Las señales no están corregidas por el
factor de escala. Los datos corresponden a la muestra FePt (9 nm) y ángulo azimutal
(elegido arbitrariamente al posicionar la muestra).
El campo B máximo para las muestras de FePt de 9 nm y 100 nm fue de 100 mT para asegurar que
las mismas alcancen la saturación para todos los ángulos. El campo magnético fue medido in situ
por un teslámetro con salida analógica de la marca Trovintek
(24)
, modelo MT500A y sonda Hall
transversal. El sensor Hall se ubica dentro del gap del electroimán y cerca de la posición de la
muestra (ver Fig. 3).
FIG. 3: Configuración experimental actual del v-MOKE. La línea entrecortada roja indica el camino
del haz de luz.
La muestra de 9 nm se rotó (alrededor de un eje paralelo a la normal a la superficie) un ángulo
azimutal desde 0º hasta cerca de 350º en pasos del orden de 10º, mientras que la de 100 nm entre
0º y 300º en pasos de 30º, permaneciendo fija la dirección del campo Para cada ángulo se ajustó
la inclinación del posicionador de la muestra, de manera de corregir defectos de alabeos en el
mecanismo de rotación.
Se sintonizó finamente la lámina retardadora (corrigiendo la orientación de su eje óptico alrededor
de su posición fija a respecto del eje-s) de manera que para B = 0 (y M = 0). Una vez
ajustados todos estos parámetros se tomaron alrededor de 300 señales para cada ángulo para
mejorar la relación señal-ruido.
El haz, generado por un láser de HeNe de 632 nm, 15 mW de potencia y spot de 1 mm de
diámetro (determina el área de sensado), incide en la muestra mayoritariamente con polarización
lineal tipo p (onda-p). Esto se logra orientando adecuadamente un prisma Glan-Taylor ubicado
entre la fuente láser y la muestra el cual actúa como polarizador lineal (ver Fig. 3).
Las muestras usadas en nuestro trabajo forman películas policristalinas ferromagnéticas
relativamente blandas, de composición equiatómicas (50/50), depositadas sobre un sustrato de Si
monocristalino (100) con óxido nativo. Presentan estructura FCC metaestable químicamente
desordenada
(25)
. La película de 9 nm de espesor presenta anisotropía uniaxial en el plano (con
dominios de magnetización uniforme dentro del mismo), dando ciclos de histéresis cuadrados
cuando el campo es ciclado en la dirección del eje fácil, paralelo a la película. Si el campo es
aplicado perpendicular al plano de la misma revela una anisotropía uniaxial relativamente débil, la
cual se suma a la anisotropía del plano fácil. Esta anisotropía es responsable del cambio en la
estructura de dominios cuando el espesor de la película supera un valor crítico ( 30 nm).
Entonces, en la película de 9 nm de espesor, la magnetización es mayormente paralela al plano
; pero la película de 100 nm de espesor (mayor al espesor crítico) revierte su magnetización
en un proceso de dos pasos, característico de sistemas que muestran dominios magnéticos tipo-tiras
(stripe-like)
(26)
. En este caso aparece una pequeña componente de la magnetización transversal al
plano de la película (es decir ) la cual alterna entre regiones tipo-tiras con sentido “hacia
arriba” y “hacia abajo”; dando una contribución neta nula a la señal ya que (ver Ec. (4))
como consecuencia del gran tamaño del área de sensado.
Tratamiento inicial de los datos
Debido a inestabilidades temporales propias en la intensidad del láser utilizado, cada una de las
señales fue ajustada y reemplazada por una función con dependencia temporal lineal, con el fin
de obtener la señal referencia I
0
con mínimo aporte de ruido (ya que solo nos interesa la intensidad
durante el ciclado de B para usarla como referencia y normalización para cada ángulo). Estas
señales se usaron para dividir cada señal de los canales punto a punto, dando y
, con la misma constante de proporcionalidad. Donde y denotan las
componentes de la magnetización paralela y perpendicular al campo . De esta manera se corrige
por posibles variaciones en la intensidad del haz incidente durante el ciclo de histéresis y para todos
los ángulos. Notar que la componente transversal de la magnetización es diferente de la
magnetización real . Como se expuso anteriormente, entre ambas hay un factor de escala sf, es
decir: cuya forma de determinarlo se detallará en la Sec. IV(iii).
Una vez normalizadas todas las señales de los dos canales mencionados, se promediaron las mismas
para cada ángulo. Al mismo tiempo se promediaron las señales provenientes del teslámetro (campo
B) y se determinó el campo en mT. Luego, a las señales promediadas se les restó el offset respectivo
de manera que el ciclo de histéresis quede centrado alrededor de (M,B) = (0,0). Se asume que el
offset proviene mayoritariamente de un desajuste mínimo de la lámina retardadora y de la
electrónica del sistema de adquisición.
IV. RESULTADOS
i. Curvas de histéresis
En las Figs. 4 y 5 se muestran curvas de histéresis de la magnetización paralela y transversal
, medidas para la muestra de FePt (9 nm) para algunos ángulos de rotación de la misma. Para
comparar cuantitativamente las curvas de magnetización paralela y transversal es necesario
multiplicar la componente transversal por un factor de escala sf, el cual será determinado más
adelante en esta sección.
FIG. 4: Curvas de histéresis correspondientes a , para la muestra de FePt (9 nm) sin normalizar
para algunos ángulos de rotación.
FIG. 5: Curvas de histéresis correspondientes a , para la muestra de FePt (9 nm), sin normalizar
y para algunos ángulos de rotación.
Estas gráficas muestran claramente ciclos de histéresis diferentes dados por las respectivas
componentes de en el plano. Ambas componentes aportan información complementaria, la cual
puede usarse para obtener información sobre los procesos de magnetización de la película.
También, es posible inferir que la componente transversal (ver Fig. 5) es una señal más débil (a
pesar de que tiene una escala mayor que la componente paralela) con una relación señal-ruido más
pobre que la componente paralela.
En la Fig. 6 se muestran las curvas de histéresis de la muestra FePt de 100 nm correspondientes a la
magnetización paralela . Para esta muestra no se distingue, dentro del ruido experimental, la
presencia de una componente transversal de Estas curvas no muestran evidencia de anisotropía
magnética en el plano para los ángulos medidos.
FIG. 6: Curvas de histéresis correspondientes a para la muestra de FePt (100 nm), normalizadas
al valor máximo de M
s
, para varios ángulos de rotación.
ii. Construcción de las señales v-MOKE
Para el tratamiento de los datos se siguió el procedimiento de la Ref.
(3)
. Aquí se explicará el
tratamiento hecho sobre los datos medidos para la muestra de FePt (9 nm).
En la Fig. 2 se muestran algunas señales típicas obtenidas para la muestra de FePt de 9 nm de
espesor, y para el ángulo (elegido arbitrariamente al posicionar la muestra en el portamuestra) 0º.
En la Fig. 2(a) se muestra la dependencia temporal del campo durante un ciclo. En esta figura
también se observa la estabilidad temporal de la señal de normalización durante un ciclo. En
ambos casos, los datos mostrados corresponden a una de las 300 señales obtenidas, es decir, antes
de efectuar el promedio. Por otro lado, en la Fig. 2(b) las señales mostradas, e ya han sido
promediadas y corregidas en offset por software. Estas últimas no están corregidas aun por el factor
de escala, lo cual queda en evidencia por las dos escalas diferentes de la gráfica. Las curvas de
histéresis mostradas en las Figs. 4 y 5 se obtienen graficando el eje-y de los datos de la Fig. 2(b) (ya
sea para la componente paralela o transversal de la magnetización) vs. el eje-y de los datos de la
Fig. 2(a) (campo magnético aplicado). Notar que la componente DC de la señal suma [Fig. 2(a)] es
prácticamente constante durante la toma de datos para este ángulo, aunque varían levemente en
amplitud para los diferentes ángulos.
Para el resto se observa un comportamiento similar. En estos datos puede apreciarse una
componente alterna, aunque muy pequeña, montada sobre la componente continua. Esto es
consecuencia del circuito electrónico de filtrado del fotoamplificador. Para eliminar esta variación
se reemplazan los datos medidos por un ajuste lineal, realizado por software, usando todos los
puntos adquiridos (y para cada una de las señales). Aunque no se muestra, visualmente se observa
que el ajuste lineal pasa por el centro de la distribución de datos.
En la Fig. 7 se muestran las curvas de histéresis para la muestra de FePt (9 nm) de las componentes
paralela y transversal de la magnetización, normalizadas a un mismo valor de saturación M
s
(valor
medio del valor de saturación de la componente paralela de para todos los ángulos de rotación
de la muestra), obtenidas como se indica más arriba. La componente transversal de no ha sido
corregida aun por el factor de escala.
FIG. 7: Curvas de histéresis para la muestra de FePt (9 nm) y ángulo 0º. Las componentes paralela y
transversal no han sido corregidas por el factor de escala.
iii. Determinación del factor de escala sf entre y
Considerando que m
z
= 0 y que ambas componentes en el plano de la muestra son complementarias
cuando esta exhibe un ciclo cuadrado, siendo el campo paralelo a un eje fácil, se tiene que:
donde el subíndice r indica remanencia. Las magnetizaciones de remanencia, tanto para la
componente paralela como la perpendicular, se determinan de las curvas de histéresis normalizadas
al valor M
s
para el valor de campo B = 0, y para cada ángulo. Asumimos que la relación dada por la
Ec. (9) vale para todos los ángulos.
Para reducir los posibles desajustes en el offset de las curvas se tomó el valor promedio entre la
magnetización de remanencia positiva y negativa, es decir,
Para la magnetización de remanencia de la componente transversal de la magnetización se sigue un
cálculo similar.
De las señales medidas (Figs. 2, 4 y 5) y del conjunto de Ecs. (7) se tiene que:
y que
Insertando (10) y (11) en (9) se obtiene:
O, de manera equivalente:
La Ec. (12) implica que, de un ajuste lineal de vs. , medidos para distintas orientaciones de la
muestra, se puede obtener el factor de escala sf. La Fig. 8 muestra precisamente este gráfico
conjuntamente con el ajuste. Cada punto del gráfico corresponde a una posición angular de la
muestra (ángulo subtendido por el eje de anisotropía y el campo ).
FIG. 8: Magnetización de remanencia paralela al cuadrado (normalizada) vs. magnetización de
remanencia perpendicular al cuadrado (normalizada) y ajuste lineal para la obtención del factor de
escala sf.
El ajuste arrojó como ordenada al origen el valor (0,89 0,01) y pendiente (-0,157 0,003), con
un factor de correlación R 0,98. De aquí se obtiene el factor de escala sf junto con el error
estadístico
Resulta llamativo que el valor del factor de escala obtenido es igual al reportado en la Ref.
(3)
, siendo
que, a priori, este factor depende tanto de la muestra utilizada como de algunas condiciones
experimentales, ambas distintas en los dos trabajos. Un análisis más profundo de los coeficientes b
1
,
d y c resulta necesario para dilucidar si este hecho se debe a razones físicas profundas o solo es
producto de una coincidencia fortuita.
iv. Dependencia angular de los parámetros
En la Fig. 9 se muestran curvas de histéresis para la muestra de FePt (9 nm) de magnetización
paralela y transversal, normalizadas al valor promedio de M
s
y escaleadas por el factor sf
determinado más arriba, para tres ángulos de rotación de la muestra respecto a la dirección del
campo magnético externo.
FIG. 9: Curvas de magnetización paralela y transversal para la muestra de FePt (9 nm) vs. campo
magnético B para algunos ángulos de rotación. Las señales han sido normalizadas y escaleadas.
Los ángulos fueron seleccionados para mostrar la variedad de curvas de histéresis y, en
consecuencia, de los procesos de reversión de la magnetización que presenta la muestra. Las
correspondientes curvas representadas en un gráfico polar son mostradas en la Fig. 10.
FIG. 10: Gráficos polares representando la magnetización transversal (normalizada y escaleada) vs.
la magnetización paralela (normalizada) para tres ángulos diferentes para la muestra de FePt (9 nm).
También se grafica el circulo unidad.
Estas gráficas permiten identificar propiedades magnéticas relevantes, como por ejemplo revelan
distintos caminos de reversión de para ángulos diferentes. De este modo, es posible identificar
rápidamente el eje fácil (e.a. por easy axis) de magnetización el cual se encuentra cerca del ángulo
= 152º (ver también Fig. 9). Para el e.a., la magnetización está alineada en la dirección del campo
Permanece relativamente constante durante la inversión del mismo ( cae sobre
el círculo unidad, tal como lo indica la Ec. (12)) hasta el valor del campo coercitivo B
c
. Para este
campo la magnetización se invierte de manera abrupta e irreversible, casi a su mínimo valor. En
otras palabras, la película se encuentra magnéticamente saturada en un sentido de la dirección de B
y “salta” a su valor máximo, pero en el sentido opuesto al que tenía antes del “salto”. Los dominios
magnéticos son invertidos fácilmente para esta dirección (e.a.). Para otros ángulos, por ejemplo 0º
(ver también Fig. 9), la magnetización no se alinea estrictamente con el campo (apareciendo una
componente transversal), y rota en el plano cuando el mismo es ciclado.
Además, de los gráficos polares de la Fig. 10 puede obtenerse información de la presencia de
dominios magnéticos, y de cómo contribuyen a la inversión de la magnetización con el ciclado del
campo. Por ejemplo, para aquellos valores del campo B, para los cuales los datos
caen sobre el círculo unidad se tiene que la magnetización rota de manera clásica y reversible;
mientras que para aquellos valores de B para los cuales los datos caen dentro del círculo unidad se
tienen mecanismos de inversión de dominios magnéticos (ver Ref.
(3)
para más detalles).
En la Fig. 11 se grafican los valores de magnetización de remanencia (normalizada y escaleada) en
función del ángulo de rotación, tanto para la componente paralela como la perpendicular. Se
comparan las muestras de FePt de 9 y 100 nm de espesor.
FIG. 11: Magnetización remanente normalizada de la componente paralela para las muestras de
FePt de 9 y 100 nm de espesor y magnetización remanente normalizada y escaleada de la
componente transversal. Variación con el ángulo de rotación de la película. También se grafica
M
r
/M
s
como la raíz cuadrada de la suma de las componentes normalizadas de la magnetización
paralela y perpendicular (círculos abiertos). Los ángulos de rotación correspondientes al eje fácil
(magenta) y ejes duros (azul) están indicados.
La muestra más delgada (FePt 9 nm) presenta una clara anisotropía magnética uniaxial, puesta en
evidencia por los abruptos cambios de la componente transversal de la magnetización, en función
del ángulo de orientación de la muestra. Al disponer de dos componentes de la magnetización en el
plano, m
x
y m
y
, es posible identificar de manera más precisa los ejes fáciles y duros de la película.
La componente paralela de la magnetización de remanencia presenta mínimos para ángulos
cercanos al eje duro (indicado en la Fig. 11) y máximos para el eje fácil. Por otro lado, la
magnetización transversal presenta cambios abruptos para el eje duro y se anula suavemente para el
eje fácil magnético. La determinación de los ejes fácil y duro se hace simple mediante este método,
obteniéndose un valor cercano a 150º para el primero (e.a.) y de 60º (a 90º del primero) el eje duro
(h.a.). También es importante destacar la simetría de rotación de 180º que muestran ambas
componentes de la magnetización, indicando una clara anisotropía magnética uniaxial.
Por otro lado, y contrariamente a lo que ocurre con la muestra de película más delgada de FePt, la
magnetización de remanencia en la muestra de 100 nm prácticamente no depende del ángulo de
rotación, indicando una clara isotropía magnética en el plano de la película.
Finalmente, en la Fig. 12 se muestran los valores obtenidos para el campo coercitivo B
c
en función
del ángulo de rotación de la película para las muestras de FePt de 9 y 100 nm de espesor (tanto para
la componente paralela como la transversal de la magnetización).
FIG. 12: Valores del campo coercitivo en función del ángulo de rotación para las muestras de FePt
de 9 y 100 nm de espesor. Las líneas entrecortadas marcan las posiciones de los ejes – duro ( 60º)
y –fácil ( 150º).
Las curvas no muestran una variación marcada con el ángulo entre el eje de anisotropía de la
muestra y el campo , dando el mismo valor para ambas componentes, salvo para aquellos ángulos
donde el eje fácil es perpendicular al campo . La muestra de 100 nm tiene un campo coercitivo
mayor a la de 9 nm, aproximadamente diez veces mayor. Esto está en concordancia con los
resultados mostrados en las Refs.
(25,26)
, al ser una muestra magnéticamente más dura.
V. CONCLUSIONES
Con el procedimiento descripto para determinar el factor de escala y el dispositivo experimental v-
MOKE montado, fue posible reproducir el análisis desarrollado en la Ref.
(3)
, pudiéndose determinar
la proyección de la magnetización en el plano de la película a través de las curvas de histéresis. Al
disponer de más de una componente de la magnetización, es posible determinar de manera más
precisa y directa la presencia de anisotropías magnéticas y los ejes fáciles y duros respectivos.
Las muestras usadas de FePt 9 nm y 100 nm de espesor de película, mostraron comportamientos
magnéticos diferentes. Las curvas de histéresis obtenidas para ambas muestras de FePt son
consistentes con las reportadas en las Refs.
(25)
(Fig. 4) y
(26)
(Fig. 1). Los resultados confirman la
existencia de un eje de anisotropía uniaxial para la película de 9 nm de espesor, en concordancia
con la Ref.
(25)
, dando ciclos de histéresis rectangulares. Para esta muestra, el eje duro está a 90º de
la dirección del eje fácil (orientado en la dirección cristalográfica [111] según Ref.
(25)
). Para la
película de 100 nm no se observó ningún eje de anisotropía en el plano, indicando una distribución
aleatoria de éstos en el plano de la película (ver Ref.
(26)
).
Para la película de 9 nm se obtuvo un campo coercitivo de alrededor de 1,5 mT para casi todos los
ángulos, y de la misma manera, para la muestra de 100 nm se obtuvo un valor alrededor de 15 mT.
Estos valores están en concordancia con los reportados en las Refs.
(25,26)
, respectivamente.
Para el campo orientado en la dirección del eje fácil de la película de 9 nm se obtuvo un valor de
magnetización de remanencia, normalizado a M
s
, superior al valor constante de la película de 100
nm, lo cual también concuerda con lo reportado en la Ref.
(25)
.
El procedimiento experimental mostrado permite vincular las componentes de la magnetización
paralela y transversal al campo magnético externo (paralelas a la superficie de la muestra), mediante
un factor de escala determinado sin necesidad de rotar el electroimán generador del campo
magnético (diferencia fundamental con el procedimiento propuesto en la bibliografía). De este
modo, se evita el inconveniente técnico de tener que rotar el electroimán, lo cual sería muy poco
práctico si el mismo es grande y pesado. Se encontró una expresión analítica para este factor de
escala en término de distintos coeficientes que dependen tanto de distintas propiedades físicas de la
muestra (índice de refracción, reflectividad) como de parámetros experimentales (longitud de onda
del láser utilizado, ángulo de incidencia). El factor de escala hallado en el presente trabajo fue de
0,4 con un 3% de error, curiosamente igual al reportado en la bibliografía. Profundizar en el
entendimiento de la influencia de cada uno de los parámetros físicos que determinan el factor de
escala permitirá entender el origen de esta llamativa similitud. Debido a que la longitud de onda y el
ángulo de incidencia usados en el presente trabajo son iguales a los utilizados por otros autores, nos
hace especular que quizá, la longitud de onda del haz y el ángulo de incidencia sean las variables
con mayor peso en este factor (más que los de la propia muestra estudiada). En caso de que esta
conclusión sea válida, el procedimiento descripto sería de mayor utilidad, ya que el factor de escala
se obtendría por única vez y valdría para cualquier muestra que se quiera estudiar.
APÉNDICE
Sensibilidad de la señal MOKE en la configuración experimental usada
Los efectos magneto-ópticos son pequeños, con ángulos de rotación Kerr típicos menores al grado.
Esto hace que sea necesario maximizar la sensibilidad del magnetómetro Kerr.
Tanto para las geometrías POLAR como LONGITUDINAL, se obtiene mayor sensibilidad en la
rotación Kerr del plano de polarización de la luz si se realiza una medición diferencial de las
componentes s y p del campo eléctrico del haz reflejado por la película, y si se incorpora una lámina
retardadora de media onda, rotada en respecto de la dirección s, tal como sugieren en la Ref.
(3)
.
Esto se puede ver haciendo el siguiente análisis (ver Ref.
(23)
). El campo eléctrico del haz reflejado
se puede escribir como
donde
Luego, la señal adquirida por cada fotodiodo, luego de pasar por el prisma Wollaston es:
La diferencia entre estas señales será
Por otro lado, la suma de las señales da (el supraíndice (p) indica que el haz incidente está
polarizado p):
La señal suma no es sensible a la rotación del plano de polarización, sino a la intensidad de la luz
reflejada.
La sensibilidad estará dada por cómo es afectada la señal ante un pequeño cambio en el ángulo de
rotación Kerr, es decir,
mientras que para la suma
Por lo tanto, de la Ec. (A6) vemos que la sensibilidad será máxima cuando = 45º, y
experimentalmente se logra con la lámina retardadora de media onda rotada en respecto de la
dirección s. Ubicando la lámina retardadora de esta manera, se tiene
y de aquí puede verse que:
Para ángulos pequeños, como son los ángulos de rotación Kerr, se puede hacer un desarrollo en
serie de Taylor de la Ec. (A8), dando
De (A9) podemos ver que
Notar, por otro lado, que si se midiera solo una componente del haz reflejado (en lugar de en modo
diferencial), por ejemplo, la componente P, la sensibilidad sería:
Es decir, tendríamos la mitad de sensibilidad que para el caso de adquisición diferencial.
Contribuciones de los Autores
A. A. participó en las mediciones; F. B. participó en la escritura del manuscrito, preparación de las
figuras y en la discusión; M. T. contribuyó con la idea del procedimiento descripto; A. B. preparó
las muestras; C. B. montó el v-MOKE actual, participó en las mediciones, preparó las figuras,
realizó la descripción teórica y desarrolló el procedimiento descripto; además participó en la
escritura del manuscrito y en la discusión.
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