Anales AFA Vol. 31 Nro. 3 (Octubre 2020 - Enero 2021) 107-111
Mención Especial del Premio J.J. Giambiagi 2019 – Fluídos y Plasma
MIGRACIÓN DE GOTAS POR EFECTO TERMOCAPILAR: DEPENDENCIA
CUADRÁTICA DE LA TENSIÓN SUPERFICIAL CON LA TEMPERATURA
DRIVEN DROPLETS BY THERMOCAPILLARY EFFECT: QUADRATIC
DEPENDENCE OF THE SURFACE TENSION ON THE TEMPERATURE
J. R. Mac Intyre
*1
, J. M. Gomba
2
y C. A. Perazzo
3,4
1
Aalto University, School of Science, Department of Applied Physics, P.O. Box 11100, 00076 Aalto,
Finland.
2
Instituto de Física Arroyo Seco IFAS (UNCPBA) and CIFICEN (UNCPBA-CICPBA-CONICET),
Pinto 399, 7000, Tandil, Argentina.
3
IMeTTyB, Universidad Favaloro-CONICET, Solís 453, C1078AAI Buenos Aires, Argentina.
4
Departamento de Física y Química, FICEN, Universidad Favaloro, Sarmiento 1853, C1198AAG
Buenos Aires, Argentina.
Recibido: 27/02/2020 Aceptado: 31/05/2020
https://doi.org/10.31527/analesafa.2020.31.3.107 2020 Anales AFA
Autor para correspondencia: jmintyre@exa.unicen.edu.ar
Resumen:
Se estudia la migración de gotas depositadas sobre una superficie sólida a la cual se le aplica un
gradiente uniforme de temperatura. El presente estudio está enfocado en líquidos parcialmente
mojantes denominados “self-rewetting”, cuya característica distintiva es la dependencia cuadrática de la
tensión superficial con la temperatura. A pesar de que estos líquidos presentan una dinámica compleja,
aquí se mostrará como las soluciones obtenidas para líquidos con dependencia lineal en la temperatura
pueden adaptarse y ser utilizadas para describir su flujo. A diferencia de los líquidos con tensión
superficial lineal en la temperatura, el ancho de las gotas de líquido self-rewetting crece con el tiempo.
Palabras clave: efecto Marangoni, tensión superfical cuadrática, mojabilidad parcial.
Abstract:
We study the migration of droplets on a solid surface which is under a uniform temperature gradient.
The present article focus on partial wetting fluids which surface tension depends on the squared
temperature. These type of liquids, called self-rewetting, show a complex dynamics and here we will
compare with those liquids of linear dependence in the temperature. Unlike to the latter ones, the
droplet width increases with the time.
Keywords: Marangoni effect, non-monotonic dependence of surface tension, partial wetting condition.
I. INTRODUCCIÓN
El flujo de micro-gotas sobre superficies rígidas que son movilizadas por efectos termocapilares es un
tópico de central importancia en la industria.
1
Como resultado del gran número de aplicaciones que
hacen uso de este efecto, diferentes métodos se han desarrollado para lograr su control. La
configuración que aquí nos interesa analizar consiste en una gota sobre un sustrato al que se le aplica
un gradiente uniforme de temperatura. Este último induce un gradiente de tensión superficial en la
interfaz líquido-gas que desplaza a la gota desde las zonas de menor a mayor energía superficial
2
(ver
Fig. 1).
El efecto Marangoni originado por un gradiente de temperaturas ha sido estudiado intensamente tanto
en forma teórica como experimental (ver Karbalaei 2016 y las referencias allí citadas).
1
En estos
estudios se ha demostrado la existencia de un esfuerzo termocapilar umbral por debajo del cual la gota
no se desplaza.
3
Para esfuerzos termocapilares mayores que ese umbral, se observa que la velocidad de
desplazamiento de la gota es proporcional al gradiente térmico aplicado e inversamente proporcional a
la viscosidad.
4,5
Desde el punto de vista teórico, el problema es habitualmente simplificado al análisis de una gota
bidimensional que experimenta un esfuerzo sobre su interfaz líquido-gas, y donde el flujo es resuelto
bajo la hipótesis de lubricación. Gomba y Homsy
6
han analizado las dependencias morfológicas del
flujo con el ángulo de contacto y la sección transversal de la gota depositada. Su estudio, que incluye
interacciones moleculares entre el líquido y el sustrato del tipo London-van der Waals y cuyo
modelado implica la incorporación de términos potenciales con exponentes
( , ) (3,2)nm
, reporta la
existencia de tres regímenes de movimiento: a) gotas que se elongan, b) gotas que se desplazan sin
cambiar su forma y c) gotas que se escinden en volúmenes más pequeños (breakup). Por su parte,
Karapetsas et al.
7
también han resuelto un problema de valor inicial incorporando la gravedad a sus
simulaciones. Demostraron que para ángulos de equilibrio constantes, el gradiente de temperatura
combinado con los efectos gravitatorios mejoran el mojado en la superficie. Más recientemente, Mac
Intyre et al.
2
han demostrado que los líquidos no polares, cuya interacción molecular es modelada con
exponentes
( , ) (4,3)nm
, se desplazan en forma estable y sin romperse en gotas más pequeñas, y
estudiaron cómo esta estabilidad es afectada por la gravedad.
Los trabajos mencionados previamente analizan líquidos cuya tensión superficial tienen una
dependencia lineal decreciente con la temperatura, y son denominados “líquidos ordinarios” en la Fig.
1. Por el contrario, en este trabajo analizamos fluidos que presentan una dependencia cuadrática de la
tensión superficial con la temperatura, comúnmente llamados líquidos “self-rewetting”,
8,9
ver Fig. 1.
Karapetsas et al.
10
han analizado algunos aspectos del flujo de estos líquidos en los que se destaca el
caso en el que el centro de la gota está ubicada sobre el mínimo de la curva de tensión superficial, lo
que provoca que el líquido escape radialmente hacia afuera de la gota. En el presente artículo, nos
interesa explorar el efecto sobre el flujo de un decrecimiento monótono y cuadrático de la tensión
superficial con la temperatura, con el objeto de observar cómo se modifican los tres regímenes de flujo
ya reportados para líquidos ordinarios, es decir, para los que la tensión superficial decrece linealmente
con la temperatura.
2,11
El artículo está organizado de la siguiente forma. En la siguiente sección se expone el modelo utilizado
en las simulaciones, desarrollado dentro del marco de la aproximación de lubricación. En la Sec. III se
muestran los resultados principales y se comparan las nuevas soluciones con aquellas para líquidos
ordinarios. Finalmente, las conclusiones se presentan en la Sec. IV.
II. MODELO
La Fig. 1 presenta el esquema del problema termocapilar, donde una gota bidimensional de densidad
y viscosidad
se encuentra depositada sobre un sustrato sujeto a un gradiente uniforme de
temperatura (
HC
TT
). En nuestras simulaciones la gota es siempre depositada a la derecha de la
posición del mínimo
m
x
de la curva de tensión superficial (donde la energía superficial decrece con el
aumento de la temperatura).
FIG. 1: Esquema del problema. Las curvas indican la temperatura y tensión superficial para un
líquido ordinario (rojo) y otro self-rewetting (azul) versus la posición sobre la superficie. Una gota
depositada sobre un sustrato sólido calentado en forma no homogénea con
HC
TT
. El gradiente de
temperatura genera un gradiente de tensión en la superficie del fluido, que desplaza a la gota desde la
región de menor hacia la de mayor tensión superficial. La gota es ubicada siempre sobre la zona
donde la curva de tensión superficial decrece con la temperatura.
Utilizando la aproximación de lubricación, la ecuación que describe la evolución del perfil de alturas de
la gota
( , )h x t
es
2,11
3 3 2
3
0
3
0.
3 3 2
h h h h
h
t x x x x
(1)
Los términos entre paréntesis dan cuenta de tres diferentes efectos: (1) la presión de Laplace resultante
de la curvatura superficial multiplicada por una tensión superficial de referencia
0
; (2) la presión del
potencial molecular
()h
,
12
que modela la interacción molecular sólido-líquido y es de relevancia a
escala microscópica; (3) el efecto Marangoni resultante de la variación de la tensión superficial
producto del gradiente térmico aplicado en el sustrato. Para evitar la divergencia del esfuerzo en la
triple línea de contacto, se emplea un modelo de film precursor de extensión infinita y espesor
film
h
13
que rodea a la gota.
Para modelar sistemas con mojado parcial es usual introducir la interacción molecular sólido-líquido de
la siguiente forma
13,14
**
( ) .
nm
hh
h
hh
(2)
Los términos modelan la competición de dos fuerzas antagónicas de origen molecular actuando sobre el
fluido en la región cercana al sustrato. Los exponentes deben cumplir la relación
1nm
, y la
constante
*
h
es un espesor energéticamente favorecido. La constante que da cuenta de la intensidad de
los efectos moleculares
está relacionada con el ángulo de contacto estático
mediante
12
2
0
*
( 1)( 1)
.
2 ( )
nm
tan
h n m
(3)
En el presente trabajo, se utilizará un potencial molecular que modele efectos de corto y largo alcance,
( , ) (4,3)nm
.
15,16
Como se mencionó previamente, la superficie del sólido presenta un gradiente uniforme de
temperaturas
s
T
. Efectivamente, integrando la ecuación de Laplace,
22
/0
s
d T dx
,
11
e imponiendo las
condiciones de contorno de ambos extremos de la placa,
0
()
H
T x T
y
()
C
T L T
, se obtiene
0
0
()
( ) ( ) .
HC
sH
TT
T x x x T
Lx
(4)
En particular, en lo que sigue se utilizará
0
0x
.
Dado que el espesor de la película líquida es mucho menor que su extensión, y que los líquidos
considerados en el presente artículo son de alta conductividad térmica, la interfaz líquido-gas presenta
la misma distribución de temperatura
T
que el sustrato
s
T
.
2
Por lo tanto, la relación entre el gradiente
de tensión superficial y la distribución de temperatura en el sustrato viene dada por
11
.
s
dT
d
x dT dx
(5)
La ecuación anterior da cuenta de la dependencia espacial del esfuerzo de Marangoni que queda
fuertemente determinado por la distribución de temperatura en el sustrato,
s
T
.
Los líquidos comúnmente denominados self-rewetting, compuestos por una solución de agua y alcohol
con una gran concentración de carbono (n-heptanol), exhiben una dependencia cuadrática con la
temperatura,
8,9
2
0 0 0
'
( ) ( ) ,
2
T T T T
(6)
siendo
y
'
constantes positivas y
0
la tensión superficial a la temperatura de referencia
0
T
(la
concavidad en la dependencia de
con la temperatura está relacionada con el número de grupos
oxidrilos en los líquidos self-rewetting y ésta es la responsable de la modificación de la velocidad con
la que migra la gota
9
). Utilizando la definición anterior y la ecuación (4), el esfuerzo Marangoni (5)
resulta
0
()
( '( )) ,
HC
s
TT
TT
xL
(7)
y, por lo tanto, el valor absoluto del esfuerzo
se incrementa con
||
m
xx
, siendo
0
()
'
mH
HC
L
x T T
TT
(8)
la posición donde ocurre el mínimo en la tensión superficial. En lo que resta, se considerará
0 H
TT
.
Definiendo un conjunto de variables adimensionales como
/x x a
,
/h h a
y
/
T
t t t
, siendo
0
/ag
la longitud capilar, la ecuación que modela el espesor del film (1) toma la forma (se
omitirá el acento circunflejo sobre las variables adimensionales para simplificar la notación)
3
32
3
3
**
(1 )
( ) ,
nm
hh
h B x h
t x x
hh
Kh
x x h h
(9)
donde se ha adoptado como escala temporal
0
3
,
T
a
t
(10)
y las constantes están dadas por
2
*
( 1)( 1)
,
2 ( )
tan n m
hn
K
m
(11)
0
3
,
2
HC
TT
a
L
B
(12)
'
.
HC
TT
a
L
(13)
El espesor energéticamente favorecido, ℎ
∗
, se encuentra ahora en unidades de 𝑎.
La resolución numérica de la ecuación diferencial (9) se realiza por medio del método de elementos
finitos.
11
Para controlar los parámetros y disminuir el tiempo de cómputo, se utilizará como perfil
inicial el correspondiente al de una gota estática de sección
A
y ángulo de contacto
, cuya solución
analítica puede encontrarse en Mac Intyre et al. 2016.
15
A partir de resultados experimentales,
4,5,7
estimamos los valores numéricos para los parámetros en la
Ec. (9) como
0.002 0.05B
y
0.002 0.01
. El área transversal para los volúmenes de gotas
utilizados experimentalmente como condicional inicial corresponden al rango de área transversal
adimensional
0.1 10A
.
6
El valor asignado para
*
h
condiciona el mallado y, con el objetivo de tener
un tiempo razonable de cómputo, se asignará
3
*
5 10h
.
III. RESULTADOS
Presentaremos a continuación las soluciones de la Ec. (9) para líquidos con
0
, y los compararemos
con aquellos con
0
.
2
La Fig. 2 muestra la evolución de una gota con ángulo de contacto pequeño,
4
, para ambos tipos
de líquidos. Se observa en ambos casos la aparición de un frente capilar típico, donde el líquido se
acumula formando una cresta, seguido por un perfil cuyo espesor decrece con el tiempo.
FIG. 2: Perfil de alturas a los tiempos
4
t 4 10
y
4
t 5 10
para
θ4
,
A 10
,
*
h 0.01
,
B 0.01
y
(n,m) (4,3)
. En línea a trazos se presenta la curva dada por la Ec. (14) para
α0
(azul) y por la
Ec. (15) para
α0
(rojo).
Se ha demostrado que para líquidos ordinarios, i.e. con
0
, el perfil por detrás del frente capilar es
lineal cuando el ángulo de contacto es chico.
2,6
A diferencia de ese caso, para
0
el perfil de la gota
no es lineal y queda bien descripto por
2
(1 ) (1 )
,
22
L
ln x ln x
hh
B t B t
(14)
donde
L
h
y
son dos parámetros de ajuste. Observar que la expresión anterior permite recuperar el
perfil lineal reportado para líquidos ordinarios
2,6
como el límite
0
.
2
L
x
hh
Bt
(15)
Las curvas dadas por las Ecs. (14) y (15) se superponen satisfactoriamente con las correspondientes
soluciones de la Ec. (9), como se muestra en la Fig. 2. Por otro lado, nótese que la velocidad con la cual
se propaga el frente es mayor para los líquidos self-rewetting (
0
); esto es debido a que el gradiente
de tensión superficial crece a medida que el líquido avanza hacia la región de temperaturas frías.
En el caso de ángulos de contacto intermedios y
0
, la gota desarrolla un film estable de espesor
e
h
detrás del frente capilar que avanza a una velocidad
2
1/3
U KB
. Por el contrario, la Fig. 3 muestra que,
cuando
0
, el film generado no tiene un espesor constante
e
h
sino que decrece con la posición y su
velocidad
U
aumenta a medida que la gota avanza.
FIG. 3: Evolución del perfil de alturas a
4
t 2.5 10
y
4
t 5 10
con
θ 12
,
A 10
,
*
h 0.01
,
B 0.01
y
(n,m) (4,3)
. Nótese que para los líquidos ordinarios, el film es de espesor constante
(
α0
, en rojo). Para líquidos no ordinarios (
α 0.01
, en azul), el espesor decrece linealmente con la
posición. Las líneas a trazos vienen dadas por la Ec. (16).
El espesor constante que adquiera la gota cuando
0
está relacionado con los parámetros del
problema como
2/3
e
h KB
(ver Mac Intyre et al.
2
). Por lo tanto, siguiendo un análisis similar al
mencionado artículo, la expresión anterior se modifica para el caso más general de
0
como
2/3 2/3
(1 ) .
e
h KB x
(16)
Ambas expresiones para la altura
e
h
se muestran en línea a trazos en la Fig. 3.
Finalmente, cuando el ángulo de contacto es grande y
0
, la gota migra por la superficie
manteniendo su forma inicial. Sin embargo, cuando
0
, la gota se desplaza sin mantener su forma,
disminuyendo su altura a medida que avanza sobre la superficie sólida. La Fig. 4 muestra la
comparación de esta situación con aquella en que sí mantiene su forma al desplazarse, por ejemplo,
para una gota con ángulo de contacto
25
. Aquí la velocidad no solo es mayor que con
0
, sino
que se incrementa más rápidamente que en los casos previos debido a que el ancho de la gota es menor.
FIG. 4: Evolución del perfil de alturas con
θ 25
,
A 10
,
*
h 0.01
,
B 0.01
y
(n,m) (4,3)
. La
comparación es entre el caso con
α0
y
α 0.01
, a los tiempos
4
t 1.3 10
y
4
t 2.5 10
.
IV. DISCUSIONES Y CONCLUSIONES
Se ha analizado brevemente el efecto Marangoni en líquidos cuya tensión superficial varía
cuadráticamente con la temperatura. Es bien conocido que una gota de líquido ordinario, cuya tensión
superficial decrece linealmente con la temperatura, se desplaza según uno de tres diferentes regímenes
de migración posibles dependiendo del ángulo de contacto estático.
2
Aquí hemos mostrado cómo estos
regímenes se modifican cuando la dependencia de la tensión superficial es cuadrática.
En el régimen de ángulos pequeños, el perfil lineal detrás del frente capilar que presentan los líquidos
ordinarios es reemplazado por uno logarítmico en los líquidos self-rewetting. La nueva solución tiende
a la solución lineal ya reportada en el límite
0
. En el régimen de transición, el espesor constante
que caracterizaba al perfil de líquidos ordinarios, es ahora un film cuyo espesor disminuye a medida
que la gota avanza. Aquí hemos modificado la expresión conocida para este espesor,
2
para representar
el nuevo perfil dependiente de la coordenada. Por último, en el régimen de ángulos grandes, la gota ya
no mantiene su perfil original al desplazarse como sí lo hace para líquidos ordinarios.
Comentaremos dos aspectos interesantes que surgen al considerar fluidos cuya tensión superficial
presenta una dependencia no lineal con la temperatura. En primer lugar, un líquido sometido a un
gradiente de temperaturas tal que normalmente se desplaza dentro del régimen descrito como de
grandes ángulos, puede adoptar un perfil que corresponde al régimen de ángulos de contacto pequeños
si el efecto no lineal es incrementado significativamente, tal como se muestra en la Fig. 5. Esto indica
que cuando
aumenta, los valores del ángulo de contacto críticos que definen el paso de un régimen
de flujo a otro se desplazan y el comportamiento obtenido a ángulos grandes pasa a ser descripto ahora
por el de ángulos pequeños. Si bien a nuestro mejor saber y entender aún no se conocen materiales con
0.5
, las simulaciones numéricas muestran que el desarrollo de materiales con una fuerte no
linealidad en la curva
()T
permitirían introducir un nuevo parámetro para el control efectivo de la
morfología del flujo.
FIG. 5: Evolución del perfil de alturas con
θ 18
,
A 10
,
*
h 0.01
,
B 0.01
y
(n,m) (4,3)
. La
comparación se da entre el caso con
α 10
y
α 0.01
, a los tiempos
3
t 5 10
y
4
t 1.5 10
.
A medida que el frente de la gota migra hacia regiones más frías, el esfuerzo superficial se ve
incrementado y la diferencia de tensión entre el frente y la parte trasera de la gota crece, lo que aumenta
el ancho de la región mojada con el tiempo. Cuando los efectos no lineales son el único término
responsable del desplazamiento, el ancho de la gota aumenta linealmente con el tiempo, tal como lo
han demostrado Chaudhury y Chakraborty.
17
El segundo aspecto corresponde a la posición relativa de la gota con respecto al mínimo en la tensión
superficial
m
x
. En los casos analizados en la sección anterior, la migración de la gota tiene un sentido
único debido a que
0 m
xx
. Sin embargo, la existencia de un mínimo en la tensión superficial (ver Fig.
1) modifica este escenario: si
m
x
se encuentra dentro del intervalo del ancho que ocupa la gota, ambos
extremos avanzarán en sentidos opuestos.
10
En ese caso, la velocidad del desplazamiento de cada frente
dependerá del volumen de fluido que quede a cada lado del mínimo y de la simetría de la curva de
tensión superficial versus la temperatura.
AGRADECIMIENTOS
J.R.M.I. agradece la mención otorgada en el marco del Premio Giambiagi así como también la
invitación a realizar el presente artículo. J.M.G. y C.A.P., en su carácter de directores de la tesis
doctoral, agradecen al Jurado del premio.
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