Anales AFA Vol. 31 Nro. 4 (Enero 2021 - Abril 2021) 127-134
https://doi.org/10.31527/analesafa.2020.31.4.127
Partículas y Campos
CUANTIFICACIÓN CANÓNICA DE FADDEEV-JACKIW EXTENDIDA DE LA
ELECTRODINÁMICA NO RELATIVISTA (1+1)-DIMENSIONAL
EXTENDED FADDEEV-JACKIW CANONICAL QUANTIZATION FOR THE
(1+1)-DIMENSIONAL NONRELATIVISTIC ELECTRODYNAMICS
E. C. Manavella *
1,2
1
Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura, Universidad Nacional de Rosario, Av.
Pellegrini 250, S2000BTP Rosario, Argentina.
2
Instituto de Física Rosario, Universidad Nacional de Rosario, Bv. 27 de Febrero 210 bis, S2000EZP
Rosario, Argentina.
Autor para correspondencia: email: manavella@ifir-conicet.gov.ar
ISSN 1850-1168 (online)
Recibido: 21/05/2020 Aceptado: 28/06/2020
Resumen:
Hace algún tiempo, propusimos una extensión del formalismo de Faddeev-Jackiw usual para sistemas
vinculados con variables dinámicas de Grassmann en el contexto de la teoría de campos. En el presente
trabajo, aplicamos este formalismo extendido a la electrodinámica no relativista (1+1)-dimensional.
Comparando los resultados obtenidos con los correspondientes a la implementación del formalismo de
Dirac en este modelo, encontramos los mismos vínculos y paréntesis generalizados. De esta manera,
podemos concluir que los formalismos de Faddeev-Jackiw extendido y de Dirac pueden considerarse
equivalentes, al menos para este modelo. Por el contrario, en este caso, encontramos que no existe
equivalencia entre los formalismos de Faddeev-Jackiw usual y de Dirac. Por otro lado, observamos que
el formalismo extendido es más económico que el de Dirac con respecto al cálculo de ambos, vínculos
y paréntesis generalizados.
Palabras clave: teoría cuántica de campos, formalismo de Faddeev-Jackiw, variables de Grassmann.
Abstract:
Some time ago, we proposed an extension of the usual Faddeev-Jackiw formalism for constrained
systems with Grassmann dynamic variables in the field theory context. In the present work, we apply
this extended formalism to the (1+1)-dimensional nonrelativistic electrodynamics. By comparing the
obtained results with those corresponding to the implementation of Dirac formalism on this model, we
find the same constraints and generalized brackets. In this way, we can conclude that the extended
Faddeev-Jackiw and the Dirac formalisms can be considered equivalent, at least for this model. On the
contrary, in this case, we find that there is no equivalence between the usual Faddeev-Jackiw and the
Dirac formalisms. On the other hand, we observe that the extended formalism is more economical than
the Dirac one regarding the computation of both, constraints and generalized brackets.
Keywords: quantum field theory, Faddeev-Jackiw formalism, Grassmann variables.
I. INTRODUCCIÓN
Como es bien sabido, el formalismo Hamiltoniano de Dirac
1,2
ha constituido, durante mucho tiempo, el
método habitual para efectuar la cuantificación canónica de sistemas vinculados.
Hace algún tiempo, Faddeev y Jackiw
3
desarrollaron otro formalismo para llevar a cabo la
cuantificación canónica de sistemas físicos.
Costa y Girotti
4
probaron la equivalencia entre los formalismos de Dirac y de Faddeev-Jackiw (FJ) para
sistemas bosónicos, y Govaerts
5
extendió este resultado a sistemas con variables dinámicas de
Grassmann.
Barcelos-Neto y Wotzasek
6–8
consideraron el tratamiento de vínculos en el formalismo de FJ para
sistemas bosónicos. De esta forma, establecieron el formalismo de FJ usual, denominado algoritmo
simpléctico.
El formalismo de FJ usual se utilizó en el marco de la teoría de campos con variables dinámicas
bosónicas solamente
6–28
y también con variables dinámicas de Grassmann.
29–35
En este contexto, propusimos
36
una extensión del formalismo de FJ usual para sistemas vinculados con
variables dinámicas de Grassmann en el marco de la teoría de campos, con el propósito de que dicha
extensión sea equivalente al formalismo de Dirac.
Estamos interesados en aplicar el formalismo de FJ extendido propuesto a modelos de campos de
gauge, y comparar los resultados obtenidos con los encontrados utilizando los formalismos de Dirac y
de FJ usual. De esta manera, buscamos poner de manifiesto la efectividad de dicho formalismo en
cumplir con el propósito nombrado. En esta búsqueda, tenemos en cuenta los siguientes factores:
(i) Los tipos de términos para los campos de gauge intervinientes en la Lagrangiana.
(ii) La dimensionalidad del espacio-tiempo.
(iii) La consideración de altas derivadas para los campos de gauge (ver, por ejemplo, las referencias
correspondientes a altas derivadas en la Ref.
37
).
Con respecto al primer factor, podemos decir que hemos considerado un modelo de campos de gauge
no relativista (2+1)-dimensional con un término de Chern-Simons que describe la interacción
electromagnética de fermiones compuestos. Este es el primer modelo estudiado en la Ref.
38
Al aplicar a
este modelo el formalismo de FJ usual, obtuvimos sólo dos vínculos y, además, sólo uno de ellos
coincidió con uno de los dos vínculos secundarios de Dirac. De esta manera, en este caso, encontramos
que los formalismos de FJ usual y de Dirac no son equivalentes. Por otro lado, vimos que el
formalismo de FJ extendido provee un vínculo menos del conjunto total de vínculos obtenido por
medio del formalismo de Dirac. Asimismo, observamos que este formalismo provee un paréntesis
menos del conjunto total de paréntesis de Dirac.
También, hemos considerado la electrodinámica no relativista (2+1)-dimensional sin término de Chern-
Simons. Este es el modelo estudiado en la Ref.
36
Al aplicar el formalismo de FJ usual a este modelo,
obtuvimos sólo el vínculo secundario de Dirac. Así, al considerar este modelo, encontramos que los
formalismos de FJ usual y de Dirac no son equivalentes, lo mismo que para el modelo anterior. En
cambio, observamos que los vínculos y paréntesis encontrados a través de los formalismos de FJ
extendido y de Dirac coinciden.
Referido al segundo factor, teniendo en cuenta que los modelos citados fueron desarrollados en 2+1
dimensiones, deseamos analizar la efectividad del formalismo extendido cuando se consideran otras
dimensiones del espacio-tiempo.
Con referencia al tercer factor, queremos estudiar la efectividad del formalismo extendido cuando se
consideran modelos de campos de gauge en altas derivadas.
Teniendo en cuenta lo dicho recién, el propósito del presente trabajo es aplicar el formalismo extendido
al modelo considerado en la Ref.,
36
ahora en 1+1 dimensiones.
El trabajo está organizado como sigue. En la Sec. II, recordamos los principales resultados encontrados
en la Ref.
36
Luego, en la Sec. III, consideramos la cuantificación canónica de FJ extendida de la
electrodinámica no relativista en 1+1 dimensiones. Finalmente, en la Sec. IV, damos nuestras
conclusiones y perspectivas.
II. FORMALISMO DE FADDEEV-JACKIW EXTENDIDO
En la Ref.,
38
hemos confeccionado una síntesis de los resultados encontrados en la Ref.
36
En esta
sección, reescribiremos parte de esta síntesis.
El formalismo de FJ debe ser utilizado en sistemas físicos descriptos por Lagrangianas de primer orden.
Esto no constituye una restricción porque, como es sabido, cualquier Lagrangiana ordinaria en teorías
de campos puede generalmente escribirse en la forma de primer orden introduciendo adecuadas
variables dinámicas auxiliares.
De esta manera, partimos considerando una densidad Lagrangiana de primer orden de la forma
( ) ( ) ( ) ( ),
A
A
x x x x L K V
(1)
donde los campos
, 1,..., ,
A
AN
son variables de Grassmann,
A
K
son las componentes de la 1-forma
canónica
( ) ( )
A
A
d KK
y
V
es la densidad de potencial simpléctico.
Ahora, buscaremos los vínculos asociados con la supermatriz simpléctica
( ) ( )
( , ) ( 1) ,
( ) ( )
AB
BA
AB
AB
yx
xy
xy
KK
M
û ûû û
(2)
donde la paridad de Grassmann de las variables
A
se denota con
0A ûû
(1) (mod2) para una variable
par (impar) (en todo este trabajo, a menos que sea explícitamente especificado, las derivadas con
respecto a
A
son derivadas por izquierda). Entonces, en el cálculo de esta supermatriz, debemos
considerar como variables independientes tanto a los campos
A
como a sus derivadas
.
A
Podemos escribir
'
( , ) ( , ) ( ),
AB AB
x y x y
xyMM
donde, de acuerdo a lo que hemos dicho recién,
'
( , )
AB
xyM
no puede contener derivadas del tipo
.
En esta última ecuación,
11
( ) ( )... ( )
kk
x y x y
xy
es el producto de las funciones delta de las coordenadas espaciales.
Supongamos que la supermatriz
''
( ) ( , )
AB AB
x x xMM
tiene
m
modos cero por izquierda
( ), 1,..., .xmu
U
U
Así, estos modos cero son supervectores fila con
N
componentes
()
A
ux
U
que
verifican la ecuación
'
( ) ( ) 0.
A
AB
u x x
U
M
(3)
De esta manera, los vínculos asociados con la supermatriz simpléctica están dados por
()
( ) ( ) 0,
()
A
A
y
x u x d
x
y
II
V
(4)
donde
1,..., .n n mI
De acuerdo a lo que ha sido expresado en el comienzo de esta sección, asumimos que el conjunto de
variables de campo dinámicas
A
está compuesto por las independientes más posibles variables de
campo dinámicas auxiliares necesarias para escribir la densidad Lagrangiana original en la forma de
primer orden (1).
Particionamos el conjunto de variables de campo dinámicas y el correspondiente conjunto de
componentes de la 1-forma canónica en la manera
( , )
A a p
y
( , ),
A a p
klK
respectivamente. En
estas ecuaciones, el índice compuesto
A
se mueve sobre el conjunto
( , ),A a p
donde
1,..., , 1,...,A N a l
y
1,..., ( ).p m m N
Las pautas consideradas en esta partición son:
(i) Las variables
a
son las variables de campo dinámicas independientes con componentes no nulas de
la 1-forma canónica más las posibles variables de campo dinámicas auxiliares. De aquí en adelante,
estas variables serán llamadas variables de campo dinámicas no singulares. En general, la supermatriz
simpléctica
ll
asociada
,
ab
M
subsupermatriz de la supermatriz simpléctica (2), es no singular.
(ii) Las variables
p
son las variables de campo dinámicas independientes con componentes de la 1-
forma canónica iguales a cero. De ahora en adelante, estas variables serán llamadas variables de campo
dinámicas singulares.
Por lo tanto, la densidad Lagrangiana (1) puede expresarse como
(0) (0)
,
a
a
k
LV
(5)
donde
(0)
.VV
Además, la supermatriz simpléctica
l m l m
(2) puede escribirse en notación compacta como
)
__
(0
0
.
00
ab
AB
M
M
En esta ecuación, hemos supuesto que las componentes de la 1-forma canónica correspondientes a las
variables
a
no dependen de las variables
.
p
Así, existen
m
modos cero por izquierda
, 1,..., ,mu
U
U
de la supermatriz (6) que verifican la Ec. (3).
Asimismo, por medio de la Ec. (4), obtenemos los vínculos
( ).nm
Luego,
debemos adicionar estos vínculos a la densidad Lagrangiana utilizando multiplicadores de Lagrange
I
y debemos repetir el procedimiento anterior. Con este fin, escribimos
II
y consideramos las
variables de campo dinámicas
, , .
A a p
I
Consecuentemente, las componentes de la 1-forma
canónica son
( , , ).
A a p
kl
I
K
En estas ecuaciones, el índice compuesto
A
se mueve sobre el conjunto
( , , ).A a p I
Por esto, la densidad Lagrangiana en la primera iteración se escribe
(1) (1)
,k
I
I
LV
(7)
donde la nueva densidad de potencial simpléctico es
(1) (0)
0
.
I
VVû
Además, por medio de la Ec. (2), la supermatriz simpléctica extendida
l m n l m n
se
escribe como
__
(1)
.
ab
a
AB
b
MM
M
MM
(8)
En esta ecuación, los elementos
,
ab
MM
y
M
tienen dimensiones
( ),( )l m n m n l
y
( ) ( ),m n m n
respectivamente, y están dados por
()
( , ) 0 ,
()
a
a
y
xy
x
J
M
(9)
( , ) ,
()
0
( 1)
()
b
b
x
y
b
xy
J
M
J
(10)
( 1)
()
0
()
( , ) .
()
0
()
p
q
q
y
x
xy
x
y
J
J
M
J
(11)
Si la supermatriz (8) es singular, el procedimiento anterior debe ser repetido. En cada paso iterativo, el
espacio de configuración se agranda y consecuentemente, las sucesivas supermatrices simplécticas
()k
AB
M
tienen la forma general dada por las Ecs. (8), (9), (10) y (11), pero con una dimensión mayor. Si
no aparece ningún vínculo adicional, el procedimiento iterativo concluye.
Se encuentra que la regularidad de la supermatriz simpléctica que queda al finalizar el procedimiento
iterativo depende del modelo considerado. Para modelos invariantes de gauge, esta supermatriz es
singular. Sin embargo, en dicha situación, como veremos en la próxima sección, es posible obtener una
supermatriz simpléctica final no singular.
Previamente, obtuvimos los vínculos (4) asociados con la supermatriz simpléctica. Ahora, vamos a
completar la estructura de vínculos. Con este propósito, debemos considerar los momentos
canónicamente conjugados a las variables de campo dinámicas
,
A
definidos como
,
A
A
P
L
(12)
donde
L
está dada por la Ec. (1). Consecuentemente, sobre el espacio de fases generado
( , ),
A
A
P
quedan definidos los paréntesis de Bose-Fermi
39,40
a igual tiempo
00
()xy
fundamentales no nulos.
Utilizando las Ecs. (1) y (12), notamos que los momentos
A
P
verifican los vínculos
0.
A A A
P K
(13)
Por medio de las variables de campo dinámicas
( , , )
A a p
I
y las correspondientes componentes
de la 1-forma canónica
( , , ),
A a p
kl
I
K
observamos que estos vínculos se escriben como
( , , ) 0,
A a a p
p k p
I
(14)
donde
a
p
y
p
p
son los momentos canónicamente conjugados a
a
y
,
p
respectivamente.
De manera distinta que en el procedimiento de Dirac, en el de FJ no se considera la clasificación de
vínculos en primarios o secundarios ni en primera o segunda clase.
En ciertos casos, para un tratamiento conveniente en el contexto de FJ, debemos tener en cuenta la
clasificación anterior de vínculos en primera o segunda clase.
Como sabemos, los vínculos de primera clase pueden ser obtenidos por medio del procedimiento
habitual utilizado en el método de Dirac desde el conjunto de vínculos dados por la Ec. (14). Un
procedimiento alternativo se describe en lo que sigue.
Supongamos que la supermatriz
( , ) ( ), ( )
AB A B
x y x y
(15)
tiene
r
modos cero por izquierda
()xv
V
con componentes
( ), 1,..., ;
A
v x r
V
V
esto es,
( ) ( , ) 0.
A
AB
v x x y
V
(16)
Así, por medio de las Ecs. (15) y (16), es fácil probar que los vínculos
( ) ( ) ( ) 0,
A
A
x v x x
FF
(17)
donde
1,..., ( ),f f rF
son de primera clase.
Como fue establecido con anterioridad, para modelos invariantes de gauge, la supermatriz simpléctica
obtenida cuando el procedimiento iterativo concluye es singular. No obstante, en este caso, es posible
encontrar una supermatriz simpléctica final no singular.
Con este fin, debemos buscar condiciones de fijado de gauge adecuadas
0,
F
1,..., ,fF
una por
cada vínculo de primera clase. Estas condiciones deben verificar que
0,
PQ
detG
, 1,...,2 ,P Q f
donde
( , ) ( ), ( ) ,
PQ P Q
G x y x y
(18)
con
FF
y
,
f
FF
y deben ser compatibles con las ecuaciones de movimiento.
Al igual que lo que ocurría con los vínculos asociados con la supermatriz simpléctica, debemos
introducir estas condiciones en la densidad Lagrangiana. Por esto, las invariancias de gauge
desaparecen y así se obtiene una supermatriz simpléctica
AB
M
no singular. Consecuentemente, puede
ser encontrada la inversa de esta supermatriz.
Si la supermatriz simpléctica
AB
M
es singular, el procedimiento debe ser repetido considerando
condiciones de fijado de gauge alternativas.
Ahora, supongamos que la supermatriz simpléctica
AB
M
es no singular. En esta situación, está
definido el paréntesis generalizado en el contexto de FJ o brevemente, el paréntesis de FJ. Los
paréntesis de FJ sobre el espacio de configuración son
1
( ), ( ) ( 1) ( , ).
FJ
A
A B AB
x y x y
M
(19)
Si la supermatriz
AB
M
es singular, los paréntesis de FJ no están definidos.
III. CUANTIFICACIÓN CANÓNICA DE FADDEEV-JACKIW
EXTENDIDA DE LA ELECTRODINÁMICA NO RELATIVISTA EN
1+1 DIMENSIONES
Vamos a considerar la electrodinámica no relativista en 1+1 dimensiones descripta a través de la
siguiente densidad Lagrangiana singular:
,
em
e em
L L L
(20)
donde
em
e
L
está dada por
† † 2 †
0
1
2
em
e
i
m
L D D
(21)
y
em
L
se escribe como
1
,
4
em
FF
L
(22)
donde
F
es el tensor del campo electromagnético. En la Ec. (22), los índices griegos toman los
valores
, 0,1.
Utilizamos unidades naturales donde
1.c
La métrica Minkowskiana es
(1, 1).g diag
En la Ec. (21), la derivada covariante que involucra al campo electromagnético
A
se escribe como
ieA
D
(tomamos la carga del electrón como
)e
y también,
22
1
.DD
El campo de materia
es un campo espinorial cargado que describe electrones.
m
y
son la masa y el potencial químico de
los electrones, respectivamente.
Por medio de la expresión de la derivada covariante, reescribimos la Ec. (21) como sigue:
† † † † 2 †
0 0 0
1 1 1
.
2 2 2
em
e
iie
m
A
LD
(23)
En esta ecuación, el término fermiónico cinético está escrito en la forma general a través del parámetro
arbitrario
.
41
Ahora, por medio del método de FJ extendido, desarrollaremos la cuantificación canónica del modelo y
compararemos los resultados encontrados con los correspondientes a la utilización del procedimiento
de Dirac en el modelo. Por esto, el punto de partida es escribir la densidad Lagrangiana (20) en la
forma de primer orden (1).
Las variables de campo dinámicas independientes son
†
,A
y
,
donde el nuevo índice griego toma
los valores
1,2.
Así, tenemos
(0) 1 † † (0)
1
.
A
Ak k k
LV
(24)
En esta ecuación, la densidad de potencial simpléctico es
(0) 1 † † 2 †
1
1
0 10
11
22
P A P eP
m
A
VD
(25)
y las componentes de la 1-forma canónica son
11
,
A
kP
(26)
1
,
2
ki
(27)
††
1
,
2
ki
(28)
0
0.
A
l
(29)
Observando la Ec. (26), vemos que es necesario introducir como variable de campo dinámica auxiliar
la componente espacial del momento
P
canónicamente conjugado a
,A
definido por la Ec. (12), con
componente de la 1-forma canónica igual a cero. Además, por medio de la Ec. (29), observamos que
0
A
es una variable de campo dinámica singular.
Consecuentemente, las variables de campo dinámicas iniciales son
1†
10
, , , ,
A
A P A
y las
correspondientes componentes de la 1-forma canónica son
1†
( ,0, , ,0).
AA
k k k
K
En este caso, la matriz simpléctica singular
(0)
,
AB
M
dada por la Ec. (6), tiene dimensión
77
y la
submatriz no singular
66
__
ab
M
construida en base a las variables de campo dinámicas no singulares,
1†
1
,,AP
y
,
se escribe
__
0 1 0 0
1 0 0 0
( , ) ( ).
0 0 0
0 0 0
ab
xy
i
i
xyM
Ahora, buscamos los vínculos asociados con la matriz simpléctica
(0)
.
AB
M
Así, utilizando las Ecs. (3),
(4), (6) y (25), tenemos el vínculo
1†
11
0.Pe
(31)
Por lo tanto, este procedimiento debe ser repetido.
Por esto, debemos construir la densidad Lagrangiana en la primera iteración
(1) 1 † † 1 (1)
11
,
A
Ak k k
LV
(32)
donde
1
(1) (0) 1 † 2 †
01
11
.
22
PP
m
V V Dû
(33)
El espacio de configuración está ahora establecido por las variables de campo dinámicas
1 † 1
10
, , , , , ,
A
A P A
cuyas respectivas componentes de la 1-forma canónica son
1†
1
( ,0, , ,0, ).
AA
k k k
K
Utilizando las Ecs. (8), (9), (10), (11) y (31), calculamos la supermatriz simpléctica extendida
88
obtenida en la primera iteración
__
(1)
,
ab
AB
L
NO
M
M
(34)
donde
L
es la supermatriz
62
1
†
00
0
( , ) ( ),
0 ( )
0 ( )
y
L x y
ey
ey
xy
(35)
N
es la supermatriz
26
†
1
0 0 0 0
( , ) ( )
0 ( ) ( )
x
N x y
e x e x
xy
(36)
y
O
es la matriz nula
2 2.
Ahora, calculamos los vínculos asociados con la supermatriz simpléctica extendida
(1)
.
AB
M
Así, por medio de las Ecs. (3), (4), (33) y (34), encontramos que no existen nuevos vínculos.
Consecuentemente, el procedimiento iterativo finaliza.
Ahora, analizamos la regularidad de la supermatriz (34). Con este propósito, debemos reescribirla en la
forma estándar, reordenando sus elementos matriciales, y evaluando su superdeterminante.
42
De esta
manera, encontramos que este superdeterminante se anula y así
(1)
AB
M
es singular.
En consecuencia, la supermatriz simpléctica obtenida cuando se completa el procedimiento iterativo es
singular. Este resultado era de esperar debido a que estamos en presencia de un modelo de gauge.
Ahora, procedemos a completar la estructura de vínculos del modelo. Con este fin, por medio del
último conjunto de variables de campo dinámicas considerado y las correspondientes componentes de
la 1-forma canónica, utilizando las Ecs. (12), (13), (26), (27), (28), (29), (32) y (33), encontramos que
las funciones
A
son
† † 0
1
11
0,0, , , , ,
22
A
Y i i P
(37)
donde
†
,
y
0
P
son los momentos canónicamente conjugados a las variables de campo
†
,
y
0
,A
respectivamente.
De esta manera, tenemos los vínculos
1
1
0,
2
i
(38)
† † †
1
1
0,
2
Yi
(39)
0
2
0P
(40)
y
31
0.
Ahora, presentamos la estructura de vínculos del modelo obtenida por medio del formalismo de Dirac.
Como puede verse, esta estructura de vínculos es la correspondiente a la Ref.
37
luego de eliminar las
altas derivadas. Así, en el lenguaje de Dirac, encontramos que los vínculos primarios coinciden con los
vínculos (38), (39) y (40), y el vínculo secundario coincide con el vínculo (31).
De esta manera, observamos que el conjunto total de vínculos encontrados por medio del método de FJ
extendido coincide con el obtenido en base al método de Dirac. Al aplicar, en este modelo, el
formalismo de FJ usual, obtenemos sólo el vínculo secundario (31) y, una vez más, encontramos que
los formalismos de FJ usual y de Dirac no son equivalentes.
Es fácil mostrar que el vínculo (40) es de primera clase mientras que los vínculos (31), (38) y (39) son
de segunda clase. No obstante, estos últimos no forman un conjunto minimal de vínculos de segunda
clase. La razón es que el superdeterminante de la supermatriz cuyos elementos son los paréntesis de
Bose-Fermi entre estos vínculos se anula.
Por lo tanto, debe existir al menos una combinación lineal de vínculos de segunda clase que sea
independiente del vínculo de primera clase anterior y debe también ser de primera clase. Encontramos
que existe sólo una de tales combinaciones, que es la siguiente:
† † † † 1
1 1 1 3 1
0.
ii
P
ee
(41)
Consecuentemente, el vínculo de segunda clase (31) debe ser eliminado y así el conjunto final de
vínculos queda:
(i) Los vínculos de primera clase definidos por las funciones
1
y
22
.
Como es bien sabido, estos
vínculos están relacionados a las simetrías del grupo de gauge
(1)U
del modelo.
(ii) Los vínculos de segunda clase definidos por las funciones
1
y
†
1
.
Ahora, buscamos una supermatriz simpléctica final no singular por medio de condiciones de fijado de
gauge adecuadas. Teniendo en cuenta que el presente modelo tiene dos vínculos de primera clase,
debemos considerar dos de tales condiciones. Como puede verse, un conjunto adecuado de dichas
condiciones es el correspondiente a la Ref.
37
luego de eliminar las altas derivadas. Este conjunto viene
dado por
1
11
0,A
(42)
21
2 0 1
0,AP
(43)
donde
21
1
es el operador Laplaciano.
Así, consideramos la densidad Lagrangiana en la segunda iteración dada por
(2) 1 † † (2)
1
,
A
Ak k k
I
I
LV
(44)
donde
2 1 3 2
1,2,3, ,
I
y
23
2 1 2 1
1
(2) (1 1
1 1
0
)†
2
11
.
22
P ieA e A AP
m
VV
(45)
El espacio de configuración está ahora dado por las variables de campo dinámicas
1†
10
, , , , , ,
A
A P A
I
cuyas correspondientes componentes de la 1-forma canónica son
1†
( ,0, , ,0, ).
AA
k k k
I
K
Utilizando las Ecs. (8), (9), (10), (11), (31), (42) y (43), encontramos la supermatriz simpléctica
extendida
10 10
obtenida en la segunda iteración
__
(2)
,
ab
AB
P
QR
M
M
(46)
donde
P
es la supermatriz
64
1
11
†
0 0 0
00
( , ) ( ),
0 ( ) 0 0
0 ( ) 0 0
y
yy
P x y
ey
ey
xy
(47)
Q
es la supermatriz
46
†
1
1
1
0 0 0 0
0 ( ) ( )
( , ) ( )
0 0 0
0 0 0
x
x
x
e x e x
Q x y
xy
(48)
y
R
es la matriz
44
2
0 0 0 1
0 0 0 0
( , ) ( ).
0 0 0 0
1 0 0 0
R x y
xy
(49)
Encontramos que la supermatriz
(2)
AB
M
es no singular. Consecuentemente, luego de que se imponen las
condiciones de fijado de gauge (42) y (43), obtenemos una supermatriz simpléctica final no singular.
Por el contrario, aplicando la condición de fijado de gauge (42) (gauge de Coulomb) en lugar del
conjunto completo de condiciones (42) y (43), no encontramos la requerida supermatriz simpléctica
final no singular, como era de esperar. Lo mismo ocurre con la condición (43).
Ahora, calculamos los paréntesis de FJ para las variables de campo dinámicas iniciales en el gauge (42)
y (43) utilizando la Ec. (19) con la supermatriz simpléctica dada por la Ec. (46).
Así, tenemos que
( ), ( ) ,
FJ
AB
ST
xy
UD
(50)
donde
S
es la matriz
66
0 ( , ) 0 0
( , ) 0 0 0
( , ) ,
0 0 0 ( , )
0 0 ( , ) 0
f x y
f x y
S x y
g x y
g x y
(51)
T
es la matriz
64
1
1
0 0 0
0 0 0
1
( , ) ,
2
0 0 0 0
0 0 0 0
y
y
T x y
xyûû
(52)
U
es la matriz
46
1
1
0 0 0 0
0 0 0
1
( , )
0 0 0
2
0 0 0 0
x
x
U x y
xyûû
(53)
y
D
es la matriz
44
0 1 0 1
1 0 1 0
1
( , ) .
0 1 0 0
2
1 0 0 0
D x y
xyûû
(54)
En la Ec. (51),
2
1
( , ) ( )
2
f x y
x y x yûû
y
( , ) .g x y i
xy
De esta manera, utilizando las Ecs. (50), (51), (52), (53) y (54) obtenemos los paréntesis de FJ no nulos
en el gauge (42) y (43)
campo-campo:
††
[ ( ), ( )] [ ( ), ( )] ( ),
FJ FJ
x y y x i
xy
(55)
campo-momento:
1 1 2
11
1
[ ( ), ( )] [ ( ), ( )] ( ) ,
2
FJ FJ
A x P y P y A x
x y x y
(56)
donde la notación
[.,.]
indica paréntesis entre variables de Grassmann bosónicas y fermiónicas,
respectivamente.
Así, encontramos que los paréntesis de FJ no nulos, dados por las Ecs. (55) y (56), coinciden con los
correspondientes paréntesis de Dirac no nulos, dados en la Ref..
37
Es importante señalar que notamos que los desarrollos algebraicos necesarios para obtener los vínculos
y los paréntesis generalizados por medio del formalismo de FJ extendido son más reducidos que los
correspondientes al método de Dirac.
Retomando el procedimiento de cuantificación, debemos imponer los paréntesis de FJ.
Consecuentemente, utilizando las Ecs. (38), (39), (40) y (43), encontramos que las siguientes variables
de campo quedan determinadas:
1
,
2
i
(57)
††
1
,
2
i
(58)
0
0,P
(59)
11
01
1
( ) ( ) .
2
A x d y P y
xyûû
(60)
De esta manera, la dinámica del modelo clásico queda completamente especificada.
Finalmente, se realiza la cuantificación canónica reemplazando los paréntesis de FJ entre variables de
campo por los conmutadores o anticonmutadores a igual tiempo entre operadores de campo de acuerdo
con la regla usual.
2
IV. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS
Las principales derivaciones de la Ref.
36
han sido reescritas.
Luego, en base a dichas derivaciones, fue realizada la cuantificación canónica de FJ extendida de la
electrodinámica no relativista en 1+1 dimensiones, y los resultados obtenidos fueron comparados con
los encontrados utilizando el formalismo de Dirac. De esta manera, vimos que los formalismos de FJ
extendido y de Dirac proveen los mismos vínculos y paréntesis generalizados, sugiriendo así la
equivalencia entre estos formalismos, al menos para el presente modelo. Por el contrario, en este caso,
encontramos que los formalismos de FJ usual y de Dirac no son equivalentes.
Por otro lado, encontramos que el formalismo de FJ extendido es más económico que el de Dirac con
respecto al cálculo tanto de los vínculos como de los paréntesis generalizados.
En futuros trabajos, aplicaremos el formalismo de FJ extendido a dos modelos de campos de gauge,
uno (3+1)-dimensional y otro en altas derivadas.
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