Anales AFA Vol. 31 Nro. 2 (Julio 2020 - Octubre 2020) 71-76
Mención Especial del Premio Luis Másperi 2019: Partículas y Campos
ENTROPÍA DE ENTRELAZAMIENTO PARA UN CAMPO DE ESPÍN 2 EN
UNA ESFERA
ENTANGLEMENT ENTROPY FOR SPIN 2 FIELD ON A SHPERE
V. Benedetti*
1
, H. Casini
1
1
Centro Atomico Bariloche - CONICET. Av. E. Bustillo km 9,500 (R8402AGP), Bariloche, Rio
Negro, Argentina.
Recibido: 28/02/2020 Aceptado: 04/05/2020
https://doi.org/10.31527/analesafa.2020.31.2.71 2020 Anales AFA
Autor para correspondencia: valentin.benedetti@gmail.com
Resumen:
En este trabajo se presentan el cálculo de la entropía de entrelazamiento de gravitones linealizados
(como partículas de helicidad 2) en una esfera definida sobre un espacio de Minkowski. Previamente,
se analizan los cálculos para los campos escalares y vectoriales mediante una descomposición en
armónicos esféricos. Luego se generaliza este método al caso tensorial. Se obtiene el término universal
logarítmico y se analiza su relación con la anomalía conforme.
Palabras clave: entropía de entrelazamiento, espín, esfera.
Abstract:
In this paper we compute the entanglement entropy for linearized gravitons (as helicity 2 particles) on a
sphere defined over a Minkowski background. Previously, we analyse the cases of the solar and vector
fields by decomposition in spherical harmonics. Then we generalise this method for the tensor field.
We obtain the universal logarithmic coefficient and we analyse its relation to the conformal anomaly.
Keywords: entanglement entropy, spin, sphere.
I. INTRODUCCIÓN
En una teoría cuántica de campos (QFT), a una región del espacio
V
siempre se le puede asignar una
entropía, ya sea ésta una entropía térmica o producida por fluctuaciones del vacío. Para el segundo
caso, dicha entropía puede obtenerse a partir de la entropía de von Neumann
1
correspondiente a la
matriz densidad reducida
V
de la región
V
(ver Fig. 1) de la forma
( ).
VV
S Tr log
(1)
Dicha entropía actuará como medida de las correlaciones del sistema. Además, si el estado global es
puro, esta magnitud se conoce como entropía de entrelazamiento (EE) y podrá ser considerada una
medición del entrelazamiento entre la región y su complemento.
Sin embargo, ciertas sutilezas deben tenerse en cuenta para definir la región
V
. Las teorías cuánticas
de campos continuas poseen un álgebra de von Neumman tipo-III.
2
Por esta razón las regiones no
pueden definirse a partir de una factorización del espacio de Hilbert como se hace en sistemas
localmente finitos. Más físicamente, este problema puede entenderse debido a la existencia de grados
de libertad adyacentes arbitrariamente cerca dentro del UV.
3
No obstante, las regiones pueden ser definidas a partir de un álgebra de observables con soporte en la
región
V
que conmutan con operadores cuyo soporte está en regiones espacialmente separadas.
La situación es aún más compleja en teorías de gauge, dado que la construcción de un álgebra de
operadores físicos requiere previamente una fijación del gauge. En este marco, distintas elecciones de
gauge pueden corresponderse con diferentes regiones espaciales.
4
En particular, necesitamos que el campo con el gauge fijado pueda escribirse en función de invariantes
de gauge dentro de la región de estudio
V
.
FIG. 1: Una región arbitraria y su complemento
V
definidos sobre una una superficie de Cauchi
Σ
de dimensión (d-1).
Por otro lado, en una teoría de campos conforme (CFT) en (3+1) dimensiones es de particular interés el
estudio de regiones esféricas. Debido a la ausencia de escalas, por análisis dimensional la entropía de
entrelazamiento (EE) asociada a dicha región debe tener la forma
5
2
0
( ) ,
area univ
RR
S R c c log S
(2)
donde
R
es el radio de la esfera en cuestión y
un regulador UV. El término
area
c
de es proporcional
al área de la región y es la mayor contribución a la EE. Sin embargo dicho término depende del
esquema de regularización utilizado. El termino logarítmico
univ
c
depende únicamente del continuo de
la teoría; en particular, esta relacionado con la anomalía conforme
6,7
y el teorema
a
de irreversibilidad
del grupo de renormalización.
8
En la Sec. II recordaremos propiedades útiles de los gravitones linealizados como un campo tensorial
de espín 2. Luego, en la sección III, presentaremos brevemente la modalidad de trabajo para el cálculo
de la EE de un campo escalar. Además, presentamos un método para calcular los coeficientes
logarítmicos de los campos de espín 1 y 2. Por último, se discuten los resultados obtenidos. Este trabajo
es principalmente una discusión de resultados presentados anteriormente.
9
II. GRAVITONES LINEALIZADOS
La teoría libre no masiva de helicidad 2 puede ser pensada como un campo tensorial
h
. Dicho campo
puede ser pensado como una perturbación sobre la métrica de Minkowski
a partir de
,gh
|| || 1.h
(3)
El campo
h
obedece las ecuaciones de Einstein a orden linealizado que pueden ser obtenidas como
las ecuaciones de Euler-Lagrange del lagrangiano
10
1
2
1
.
2
h h h h
h h h h
L
(4)
La teoría tiene invariancia de gauge ante la ley de transformación
'hh
para
vectores
arbitrarios. Esto se corresponde con la invariancia ante difeomorfismos de la teoría de
Einstein a nivel linealizado.
En una teoría de gravedad no lineal la curvatura no es invariante de gauge. Sin embargo, a nivel
linealizado podemos utilizar al tensor de curvatura linealizado como un operador invariable de gauge
ante difeomorfismos lineales. Dicho tensor se escribe, en función de las perturbaciones
h
, de la
forma
1
[
2
].
R h h
hh
(5)
En consecuencia, la EE del campo de espín 2 linealizado estará bien definida salvo los problemas
usuales asociados a términos divergentes.
ENTROPÍA DE ENTRELAZAMIENTO A PARTIR DE MOMENTOS
ANGULARES
Campo escalar (espín 0)
La EE de un campo escalar libre en una esfera puede ser fácilmente calculada mediante el uso de
coordenadas esféricas y una descomposición del campo
( , )xt
y su momento conjugado
( , )xt
en
una base de armónicos esféricos de la forma
11
0
( , ) ( , ) ( , ),
l
lm lm
l m l
t r t Yx
(6)
0
( , ) ( , ) ( , ).
l
lm lm
l m l
x t r t Y
(7)
Donde
( , )
lm
rt
y
( , )
lm
rt
son los respectivos coeficientes de Fourier dados por
( , ) ( , ) ( , ),
lm lm
r t d x t Y
(8)
( , ) ( , ) ( , ).
lm lm
r t d x t Y
(9)
Bajo este contexto, podemos reescribir el hamiltoniano del campo escalar e integrar en las variables
angulares. De la ortonormalidad de los armónicos esféricos recuperamos el hamiltoniano radial
2
22
2
0
1 ( 1)
.
2
lm
lm lm
lm
ll
H dr
rr
(10)
A partir de aquí, la EE puede ser calculada computacionalmente
12
usando el método de Peschel
13
para
estados gaussianos. Como resultado se tiene el valor a estándar de
2
1
( ) # .
90
RR
S R log
(11)
Campo de Maxwell (espín 1)
Un procedimiento similar puede ser aplicado para estudiar la EE del campo de Maxwell dado por el
lagrangiano
2
.
2
0
1
( ) ( ) ( ) .
2
A x A x A x
L
(12)
Para estudiar una región esférica, necesitamos introducir una expansión en armónicos esféricos
vectoriales.
14,15
Estos son una generalización de los armónicos esféricos escalares que actúan como una
base con simetría esférica para vectores espaciales de tres componentes y vienen dados por
( , ) ( , ) ,
r
lm
lm
YY r
0,l
(13)
( , )
( , ) ,
( 1)
e
lm
lm
l
Y
rY
l
0,l
(14)
( , )
( , ) ,
( 1)
m
lm
lm
Y
rY
ll
0.l
(15)
En este caso, podemos introducir la expansión en armónicos esféricos sobre los campos invariantes de
gauge
E
y
B
15
o bien sobre el campo
A
9
de la forma
0
0
( , ) ( , ) ( , ),
lm lm
lm
A x t A r t Y
(16)
,,
( , ) ( , ) ( , ).
s
s
lm
lm
s r e m lm
A x t A r t Y
(17)
Ahora, es necesario fijar el gauge para transformar los operadores en variables físicas. Es posible fijar
la parte eléctrica a cero para cada
l
y
m
. Haciendo esto vemos que
( ) ( ) ,
e
F e F e A e A
(18)
donde
e
es el versor en la dirección de
e
lm
Y
y
e
es la derivada en dicha dirección. Esta expresión
muestra que podemos recuperar
A
en la esfera a partir del conocimiento de las componentes
“eléctricas” del invariante de gauge
F
en la misma región. Si bien dicha relación es no local, permite
mapear las componentes del campo a variables físicas del mismo radio. Como es de esperase
4
se
obtiene la fijación adecuada anulando algunas componentes paralelas a la superficie de la región
espacial definida, pero no todas.
Tendremos
(2 1)l
contribuciones idénticas a la EE por cada momento angular
l
. Por esto,
trabajaremos el caso real
0m
suprimiendo el subíndice
m
de las ecuaciones.
Luego, remplazando en el lagrangiano, integrando sobre variables angulares. Además, trabajando bajo
el esquema canónico tomamos la transformada de Legendre y trabajamos con
0
l
A
como multiplicador
de Lagrange. De esta forma para cada
1l
tenemos el hamiltoniano análogo a dos campos escalares en
una esfera
2
22
2
0
2
22
2
0
1 ( 1)
( ) ( )
2
1 ( 1)
( ) ( ) ,
2
m
mm
l
l l l
r
rr
l
ll
ll
H dr P
rr
ll
dr P
rr
(19)
donde tanto
y
como
y
son pares de variables canónicas conjugadas definidas como
1
1
(20)
con
y
las momentos canónicos conjugados de
y
respectivamente.
Para el caso 0 solo esta definido el armónico esférico radial. Realizando el mismo procedimiento
recuperamos un hamiltoniano sin dinámica propia que no genera aportes a la EE.
En resumen la EE del campo de Maxwell será equivalente a la de dos campos escalares libres sin
aportes del modo de momento angular cero.
El modo 0 se corresponde con un campo (1 1) dimensional no masivo en la semi-recta 0 con
condiciones de contorno de Dirichlet en el origen. Su entropía es universal y logarítmica y viene dada
por
16
0
1
( ) .
6
l
R
S R log
(21)
Entonces, el coeficiente logarítmico universal del campo del Maxwell vale
16
45
2
1
90
2
1
6
. Es decir
que la EE puede escribirse como
2
16
( ) # .
45
RR
S R log
(22)
Campo de gravedad lineal (espín 2)
Para estudiar el caso del campo tensorial de espín 2 introducimos los armónicos esféricos tensoriales
14
dados por
(23)
1
2
(24)
2
1
(25)
2
1
(26)
2
2
2
2
(27)
2
2
2
(28)
Es importante que destacar que los armónicos esféricos de spin 0 están definidos para 0, los de spin
1 para 1 y los de spin 2 para 2. Además, los subíndices hacen referencia a la parte simétrica y
a la parte trasversal al versor radial y sin traza.
Considerando que el tensor
es simétrico, separamos al campo en las partes escalares
dada por la
componente
00
, la parte vectorial
dada por las componentes
0
y la parte tensorial
construida a
partir de las componentes espaciales
. Luego, introducimos la expansión en armónicos esféricos de
la forma
00
(29)
0
(30)
(31)
Se puede ver que fijando la libertad de gauge asociada a difeomorfismos lineales se pueden fijar a cero
ciertas componentes de manera que la parte vectorial y tensorial puedan escribirse como
0
0
(32)
0
0
1
1
2
12
1
(33)
Donde
es un grado de libertad asociado a la “dirección” dada por una la combinación lineal de los
tensores
1
y
2
.
Trabajamos nuevamente en el esquema canónico donde vemos que los campos
00
,
0
,
0
no tienen
dinámica propia. Luego, podemos derivar los vínculos asociados a estos multiplicadores de Lagrange.
Con uno de ellos podemos escribir al campo
0
en función de
de la forma
0
12
2
(34)
Quedando solo los campos
y
como grados de libertad resultantes. A cada uno de estos, bajo
esta fijación de gauge, podemos escribirlo como una contracción del tensor de Riemann. Para el caso
de
tomamos la contracción en la dirección “eléctrica - radial - eléctrica - magnética” y tenemos
2
(35)
donde
es una función únicamente de las variables angulares que depende del valor de y . Para el
caso de
realizamos la contracción en la dirección “eléctrica - magnética - eléctrica - magnética”
2
(36)
donde nuevamente
es una función únicamente de las variables angulares que depende del valor de
y .
Nuevamente observaremos el caso 0. Las funciones
0
y
0
pueden escribirse en función de los
polinomios asociados de Legendre
de la forma
0
5
2
3
1
16
2
2
0
1
3
4
2
cot
3
(37)
0
5
2
2
1
161
2
3
4
41
0
212
cot12
2
(38)
Además, el hamiltoniano para 2 puede escribirse como el de dos campos escalares
1
2
∞
0
2
2
1
2
2
1
2
∞
0
2
2
1
2
2
(39)
donde tanto
y
como
y
son pares de variables canónicas conjugadas definidas como
1
1
,
( 1)( 2)
m
m
l
l
ll
,
te te
ll
rh
(40)
11
( 1)( 2) ,
mm
ll
P l l h
te
te
l
l
P
r
, (41)
con
y
las momentos canónicos conjugados de
y
respectivamente.
Para el caso 0 solo está definido el armónico esférico radial y los armónicos tensoriales de espín 0.
Para 1 no se encuentran definidos los armónicos tensoriales de espín 2. Realizando el mismo
procedimiento para 2 recuperamos un hamiltoniano nulo o sin dinámica propia que no genera
aportes a la EE.
En resumen la EE del campo de gravitatorio lineal será equivalente a la de dos campos escalares libres
sin aportes del modo de momento angular 0 y los modos de 1.
Tenemos que la entropía del campo escalar tiene un término logarítmico de
1
90
. Además, el modo 0
tiene una contribución logarítmica de
1
6
dado que se corresponde con un escalar no masivo definido
sobre una semi-recta en (1 1) dimensiones.
Entonces, para obtener el término logarítmico del campo lineal de espín 2 solo necesitamos conocer las
características de la contribución asociada a los modos de 1. Estos, también, se corresponden a
campos en (1 1) dimensiones definidos sobre la semi-recta 0. Sin embargo, el hamiltoniano
ahora tiene la forma
1
2
∞
0
2
2
2
2
2
(42)
El modelo de 1 es invariante de escala. Sin embargo, a diferencia del modo 0, contiene un
término de potencial
2
2
2
. La EE proviene el entrelazamiento asociado a fluctuaciones de alta
energía alrededor del borde . Por este motivo, podemos despreciar el término de potencial y
recuperaremos la misma contribución que en el caso 0. Debido a la ausencia de escalas
dimensionales tenemos
1
1
( ) .
6
l
R
S R log
(43)
Entonces, el coeficiente logarítmico universal del campo del gravitón linealizado viene dado por
61
45
2
1
90
2
1
6
2 2 1 1
1
6
. Es decir que la EE puede escribirse como
2
61
( ) # .
45
RR
S R log
(44)
Estos resultados fueron revisados numéricamente con cinco cifras de precisión.
Conjetura para spin superior
En vista de los resultados para los campos vectoriales y tensoriales, es esperable que exista una
generalización para partículas de helicidad entera arbitraria en una esfera. En particular, podría
esperarse que la EE sea equivalente a la de dos campos escalares con los modos asociados a momentos
angulares 011 sustraídos. Cada uno de estos modos tiene un hamiltoniano con un
potencial
2
2
( 1)
( ) .
l
ll
V
r
(45)
Consideramos que este potencial puede ser despreciado en el límite continuo por argumentos similares
a la sección anterior. Entonces, cada modo tiene asociada una EE de la forma
1
(1).
6
l
R
S log f
(46)
Realizando la sustracción correspondiente esperamos que el término universal logarítmico de la EE del
campo de helicidad esté dado por
2
1
0
1 1 1 15
2 (2 1) .
90 6 45
h
l
h
l
(47)
Este mismo resultado también puede ser obtenido a partir de argumentos termodinámicos en un espacio
De Sitter.
17,18
IV. DISCUSIÓN
La información mutua (MI) en teorías de campos es una cantidad definida sin ambigüedades o
divergencias para regiones disjuntas. Dadas dos regiones
y
la MI se escribe como
(48)
La MI nos da una prescripción geométrica para definir una EE regularizada.
19
En particular, los
coeficientes universales obtenidos para los campos de espín 0, 1 y 2 en las ecuaciones (11), (22) y (44)
respectivamente coinciden con los de la MI. Esto significa que no son afectados por términos de centro
en el álgebra
4
o por contribuciones asociadas a grados de libertad en la superficie de la región
20
(“edge
modes”). Podemos escribir la EE regularizada (ver Fig. 2) como
1
2
(49)
donde es un regulador geométrico que define a
como el complemento de la esfera de radio
2
y a
como la región esférica de radio
2
.
FIG. 2: Regiones
y
definidas a partir del regulador geométrico.
Por otro lado existe la noción de que los coeficientes universales de la EE están relacionados con la
anomalía conforme.
6
En particular, para regiones esféricas en un espacio de Minkowski esperamos una
contribución de la forma
6,7
2
( ) # 4
RR
S R alog
(50)
con la anomalía proporcional a la densidad de Euler en la traza del tensor energía-momento en
espacios curvos.
Para el caso del campo escalar puede verse que el coeficiente logarítmico calculado mediante la
anomalía coincide exactamente con el valor asociado a la MI.
En cambio, para campo de Maxwell observamos una disparidad entre ambos valores (ver Tabla 1). Esta
disparidad puede ser considerada la contribución de los “edge modes” sobre la superficie de la esfera.
20
Más adecuadamente, el valor que coincide con la MI está asociado con la teoría libre, mientras que el
valor obtenido a partir de la anomalía requiere el acople con cargas eléctricas y magnéticas “pesadas”
cerca del UV.
21
TABLA 1: Coeficientes universales para los campos de espín 0, 1 y 2 en una esfera obtenidos a partir
de la información mutua y la anomalía conforme.
Para el gravitón lineal es diferente. Esto se debe a que la teoría enunciada en la Sec. II posee simetría
conforme solo “on-shell”,
22
es decir cuando se obedecen las ecuaciones de movimiento dadas por
0.
Esto impide a priori relacionar el término logarítmico con la anomalía, debido a que la demostración de
la ecuación (50) requiere utilizar un mapeo de Weyl de la esfera en Minkowski al “static patch” en De
Sitter.
7
Dicho mapeo conforme no puede realizase “on shell” debido a que el tensor de Ricci debe
anularse.
Además, el campo gravitatorio lineal no posee un tensor energía-momento invariante de gauge debido
al teorema de Weinberg-Witten.
23
Esto hace que la definición de la anomalía sea menos clara y precisa.
Sin embargo, existen cálculos para la contribución logarítmica de la entropía sobre agujeros negros. En
particular para métricas como Schwarzschild el término logarítmico es proporcional a una resta de las
cargas y que se encuentra bien definida a partir de la acción efectiva.
24
En resumen, la relación de
la anomalía conforme con los gravitones requiere ser estudiada con más detalle.
Por último, debería ser posible estudiar esta cantidad desde un punto de vista holográfico. La expresión
holográfica para la entropía está dada por la fórmula de Ryu-Takayanagi
25
y sus correcciones cuánticas
de primer orden por la entropía de los campos en el “bulk”.
26
En este contexto, debido a argumentos en
el espacio de fases de relatividad general, existe la noción que la corrección debido a gravitones solo
está definida para superficies extremales.
27
La esfera no es una superficie extremal y por eso no es claro
esperar que los resultados obtenidos en este trabajo para gravitones lineales puedan recuperarse como
un límite bien definido de gravedad cuántica.
AGRADECIMIENTOS
Se agradece por discusiones a Pablo Bueno, Joan Camps y Marina Huerta. Este trabajo fue
parcialmente financiado por CONICET, CNEA y la Universidad Nacional de Cuyo, Argentina. El
trabajo de H. C. es parcialmente financiado por una subvención It From Qubit de la Simons foundation.
Se agradece a la Asociación Fiísica Argentina por la posibilidad de presentar este artículo en el marco
de una Mención Especial del Premio Luis Másperi 2019.
REFERENCIAS
1. M. Nielsen e I. Chuang. Quantum computation and quantum information (Cambridge University
Press, Cambridge, 2000).
2. E. Witten. APS Medal for Exceptional Achievement in Research: Invited article on entanglement
properties of quantum field theory. Rev. Mod. Phys. 90, 45003 (2018).
3. W. Donnelly y S. B. Giddings. How is quantum information localized in gravity? Phys. Rev. D 96,
086013 (2017).
4. H. Casini, M. Huerta y R. J. A. Remarks on entanglement entropy for gauge fields. Phys. Rev. D 89,
085012 (2014).
5. M. Rangamani y T. Takashanagi. Holographic Entanglement Entropy (Lecture Notes in Physics)
ISBN: 978-3-319-52573-0 (Springer International Publishing, 2017).
6. S. N. Solodukhin. Entanglement entropy, conformal invariance and extrinsic geometry. Phys. Lett. B
665, 305-309 (2008).
7. H. Casini, M. Huerta y R. C. Myers. Towards a derivation of holographic entanglement entropy. J.
High Energ. Phys. 2011, 36 (2011).
8. H. Casini, E. Teste y G. Torroba. Markov Property of the Conformal Field Theory Vacuum and the a
Theorem. Phys. Rev. Lett. 118, 261602 (2017).
9. V. Benedetti y H. Casini. Entanglement entropy of linearized gravitons in a sphere. Phys. Rev. D
101, 045004 (2020).
10. T. Ortín. Gravity and strings (Cambridge Monographs on Mathematical Physics) ISBN:
9780511616563 (Cambridge University Press, Cambridge, 2004).
11. M. Srednicki. Entropy and Area. Phys. Rev. Lett. 71, 666 (1993).
12. R. Lohmayer, H. Neuberger, A. Schwimmer y S. Theisen. Numerical determination of
entanglement entropy for a sphere. Phys. Lett. B 685, 222-227 (2010).
13. I. Peschel. Calculation of reduced density matrices from correlation functions. J. Phys. A: Math.
Gen. 36, L205 (2003).
14. K. S. Thorne. Multipole expansions of gravitational radiation. Rev. Mod. Phys. 52, 299 (1980).
15. H. Casini y M. Huerta. Entanglement entropy of a Maxwell field on the sphere. Phys. Rev. D 93,
105031 (2016).
16. P. Calabrese y J. L. Cardy. Entanglement entropy and quantum field theory. J. Stat. Mech. 2004,
P06002 (2004).
17. J. S. Dowker. Entanglement entropy for even spheres ar-Xiv:1009.3854 [hep-th]. 2010.
18. J. S. Dowker. Note on the entanglement entropy of higher spins in four dimensions
arXiv:1908.04870 [hep-th]. 2019.
19. H. Casini, M. Huerta, R. Myers y A. Yale. Mutual information and the F-theorem. J. High Energ.
Phys. 2015, 1-69 (2015).
20. W. Donnelly y A. C.Wall. Entanglement entropy of electromagnetic edge modes. Phys. Rev. Lett.
114, 111603 (2015).
21. H. Casini, M. Huerta, J. M. Magan y D. Pontello. Logarithmic coefficient of the entanglement
entropy of a Maxwell field. Phys. Rev. D 101, 065020 (2020).
22. D. Dorigonia y S. Rychkov. Scale Invariance + Unitarity => Conformal Invariance?
arXiv:0910.1087 [hep-th]. 2009.
23. S. Weinberg y E. Witten. Limits on massless particles. Phys. Lett. B 96, 59-62 (1980).
24. S. N. Solodukhin. Entanglement entropy of black holes. Living Rev. Rel. 14, 8 (2011).
25. S. Ryu y T. Takayanagi. Holographic Derivation of Entanglement Entropy from the anti–de Sitter
Space/Conformal Field Theory Correspondence. Phys. Rev. Lett. 96, 181602 (2006).
26. T. Faulkner, A. Lewcowycz y J. Maldacena. Quantum corrections to holographic entanglement
entropy. J. High Energ. Phys. 2013, 74 (2013).
27. J. Camps. Superselection Sectors of Gravitational Subregions. J. High Energ. Phys. 2019, 182
(2019).
