Anales AFA Vol. 31 Nro. 3 (Octubre 2020 - Enero 2021) 86-92
Propiedades Mecánicas y Térmicas de la Materia
EVOLUCIÓN TEMPORAL DE UNA DEPRESIÓN SOBRE LA
SUPERFICIE DEL HIELO MONOCRISTALINO
FLATTENING OF A SCRATCH ON SINGLE CRYSTAL ICE
SURFACE
G. Aguirre Varela
1,2
, D. Stoler Flores
1
, P. I. Achával
1
, C. L. Di Prinzio*
1,2
1
FAMAF (Facultad de Matemática Astronomía, Física y Computación), Universidad Nacional de
Córdoba, Medina Allende y Haya de la Torre, (5000) Ciudad Universitaria, Córdoba, Argentina.
2
IFEG-CONICET (Instituto de Física “Enrique Gaviola”), Universidad Nacional de Córdoba, Medina
Allende y Haya de la Torre, (5000) Ciudad Universitaria, Córdoba, Argentina.
Recibido: 04/12/2019 Aceptado: 30/07/2020
https://doi.org/10.31527/analesafa.2020.31.3.86 2020 Anales AFA
Autor para correspondencia: diprinzio@famaf.unc.edu.ar
Resumen:
Se observó la superficie de una muestra de hielo monocristalina a -5ºC (268 K). Para lo cual se pulió
superficialmente y se la dejó evolucionar en presencia de silica gel activado por espacio de tres horas.
Se estudió la evolución de una depresión, mediante micrografías tridimensionales obtenidas con un
microscopio confocal Olympus OLS4000 LEXT. Se encontró en la evolución del pozo un predominio
del transporte por difusión superficial. Esto se fundamenta tanto por el valor obtenido para el
coeficiente de difusión superficial, como así también en los valores que se han encontrado para los
exponentes correspondientes a la evolución de la profundidad del pozo y a su ancho.
Palabras clave: hielo, superficie, difusión gaseosa.
Abstract:
The surface of a monocrystalline ice sample was observed at -5ºC (268 K). For which it was
superficially polished and allowed to evolve in the presence of activated silica gel for three hours. The
evolution of a depression was studied using three-dimensional micrographs obtained with an Olympus
OLS4000 LEXT confocal microscope. A predominance of surface diffusion transport was found in the
evolution of the depression. This is based both on the value obtained for the surface diffusion
coefficient, as well as on the values found for the exponents corresponding to the evolution of the depth
of the well and its width.
Keywords: ice, surface, gas diffusion.
I. INTRODUCCIÓN
El hielo está presente en diferentes lugares de nuestro planeta, en la atmósfera, en las montañas y
también en los polos. El interés por el hielo atmosférico se ha dado desde hace mucho tiempo debido a
su participación en fenómenos tales como: la electrificación de nubes y la precipitación.
1,2
Además,
interviene en reacciones químicas heterogéneas, por ejemplo en las nubes estratosféricas polares.
3
Por
otra parte, los hielos polares se han venido estudiando tanto en lo que respecta a su aparición y
permanencia en la biosfera, como así también en su relación con el paleo-clima. Aquellos hielos que se
encuentran a grandes profundidades respecto de la superficie, aportan datos para el entendimiento de la
evolución climatológica de la Tierra, como así también para comparar el clima pasado con el
comportamiento que se viene observando actualmente. Esto es a través del análisis de los testigos de
hielo que se obtienen de las profundidades polares. Procesos como el de difusión, que se produce en los
testigos polares, influyen notablemente en la interpretación de los resultados que se encuentran así
como en la datación de las diferentes capas bajo estudio.
4,5
Para el estudio y el análisis de todos estos procesos, es necesario conocer el comportamiento de la
superficie del hielo, los fenómenos de transporte que tienen lugar en ella y los mecanismos por los
cuales interacciona con la fase gaseosa. Estos estudios además son útiles para determinar el coeficiente
de difusión superficial y la energía superficial del hielo, aún no completamente determinados.
Desde que Higuchi (1958)
6
implementó el método de replicas plásticas para el estudio de la superficie
del hielo, hasta el momento es el más usado. Aunque no es posible usarlo para realizar un estudio
minucioso de la evolución de la superficie en función del tiempo. Pero, mediante la implementación de
una celda criogénica y el uso de un microscopio confocal, se puede realizar la observación directa y en
tiempo real de la superficie de hielo bajo estudio.
En este trabajo se utilizó un microscopio confocal Olympus OLS4000 LEXT para realizar la
observación directa y en tiempo real de una depresión presente en la superficie de una muestra de hielo
monocristalina. Durante el experimento se obtuvieron micrografías 3D de alta calidad para realizar
posteriormente el análisis de la evolución temporal. La muestra de hielo monocristalino se mantuvo a
presión atmosférica y dentro de la celda criogénica a una temperatura de 5
C (268 K) y en presencia
de sílica gel.
II. PROCESOS DE TRANSPORTE DE MATERIA
Los cambios que experimenta la superficie del hielo están determinados por los flujos de materia que se
producen en dicha superficie. Los procesos y flujos propuestos
7,8
para describir la evolución son:
• Flujo viscoso sobre la superficie (presencia sobre la superficie de capa cuasi líquida).
• Evaporación libre (EL), cuando las moléculas que están en fase gaseosa tienen un camino libre
medio largo comparado con las longitudes características de la región más afectada por el
transporte de materia.
• Difusión gaseosa (DG), cuando las moléculas que están en fase gaseosa tienen un camino libre
medio corto comparado con las longitudes características de la región más afectada por el
transporte de materia.
• Difusión superficial (DS), asociada al flujo sobre la superficie, caracterizada por el coeficiente de
difusión superficial.
• Difusión volumétrica (DV), asociada al paso de partículas desde la superficie al seno del volumen
incorporándose a la red cristalina o generando de defectos en la red cristalina, caracterizada por el
coeficiente de difusión volumétrica.
Mullins
7
estudió cada uno de los procesos individualmente y encontró expresiones para la evolución de
una irregularidad tipo delta de Dirac sobre una superficie “plana”.
Así, considerando solamente el efecto de la difusión gaseosa, reporta una expresión para la evolución
con el tiempo (
t
) de una perturbación superficial
( , , )W x y t
, considerando la condición inicial de la
forma
()
( , ,0) ( ) ( ) ( ) ,W x y a x y a r
r
(1)
donde
r
y
son las coordenadas polares usuales, radial y angular respectivamente. Si la constante
0a
se tiene un pozo y si
0a
se tiene un pico.
Como se puede ver la condición inicial tiene simetría acimutal, por lo que para describir la superficie
sólo es necesaria la coordenada
r
y la función tiene la forma:
( , )W r t
. Como reporta Mullins
7
la
superficie, considerando solamente la difusión gaseosa (denotada por el subíndice DG), evoluciona de
la forma
2/3 1/3
( , ) .
6 ( ) ( )
DG
ar
W r t F
D t D t
(2)
Si se define
1/3
()
r
u
Dt
, la función
DG
F
tiene la forma
2
22
0
[(2 2) / 3]
[ ] ( 1) .
2 ( !)
nn
DG
n
n
n
F u u
n
Y como reporta Mullins
7
se tiene
2
og
D
D
kT
, con
o
la densidad del hielo,
el volumen atómico,
la energía superficial,
g
D
el coeficiente de difusión gaseoso,
k
es la constante de Boltzmann y
T
es
la temperatura en grados Kelvin.
Como consecuencia de la acción de este mecanismo y considerando
0a
, la variación de la
profundidad de la perturbación, esto es el fondo del pozo, está dada por
2/3
.
6 ( )
DG
a
Prof
Dt
(3)
Mientras que el semiancho del pozo, considerando la definición dada en Mullins,
7
está dada por
1/3
2,7 ( ) .
DG
d D t
(4)
Por otra parte, considerando solamente el efecto de la difusión superficial (denotada por el subíndice
DS), la evolución con el tiempo de una perturbación superficial
( , , )W x y t
, considerando también la
condición inicial dada por la Ec. (1), se puede escribir como
1/2 1/4
( , ) .
8 ( ) ( )
DS
ar
W r t F
B t B t
(5)
La cual, dada la simetría de la condición inicial, solo depende de la coordenada polar
r
. Definiendo
1/4
()
r
u
Bt
, la función
[]
DS
Fu
tiene la forma
2
22
0
[( 1)/ 2]
[ ] ( 1) ,
2 ( !)
nn
DS
n
n
n
F u u
n
donde
2
s
Dv
B
kT
, con
v
el número de átomos por unidad de área y
s
D
el coeficiente de difusión
superficial.
En este caso la profundidad del pozo evoluciona de la forma
1/2
.
8 ( )
DS
a
Prof
Bt
(6)
Y la evolución del semiancho del pozo está dado por
1/4
3.0 ( ) .
DS
d B t
(7)
III. RESULTADOS EXPERIMENTALES
Siguiendo la técnica desarrollada por Di Prinzio y col.
9,10
se obtuvo una muestra monocristalina. Se la
pulió en el plano
(1,1,2,0)
mediante un micrótomo a
10
C (263 K). Se puso la muestra en una celda
criogénica a
5
C (268 K), en ambiente mantenido con baja humedad mediante sílica gel. Dicha celda
fue ubicada sobre la platina del microscopio confocal (Láser Olympus LEXT OLS4000 3D) como se
muestra en la Fig. 1.
El estudio se extendió por 3 hs (desde el pulido), durante las cuales se tomaron fotografías
aproximadamente cada 15 minutos (Figs. 2 y 3).
FIG. 1: Celda criogénica sobre platina del microscopio confocal, criostato marca LAUDA
.
FIG. 2: (a) Depresión elíptica estudiada: Micrografía láser 3-D realzada de la superficie de hielo a 30
minutos del pulido inicial de la superficie. (b) Reconstrucción de relieve de la muestra a partir de
planos focales a distintas alturas. Los segmentos marcados representan las secciones que contienen a
los semiejes mayor y menor de la huella elíptica.
FIG. 3: (a) Depresión elíptica estudiada: Micrografía láser 3-D realzada de la superficie de hielo a 3
horas del pulido inicial de la superficie. (b) Reconstrucción de relieve de la muestra a partir de planos
focales a distintas alturas.
IV. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Se analizó la evolución de los perfiles correspondientes a los semiejes mayor y menor de la elipse que
aproxima al borde del pozo. En la Fig. 4 se presentan los perfiles correspondientes a secciones que
contienen al semieje menor de la depresión elíptica y en Fig. 5 los correspondientes a secciones que
contienen al semieje mayor, para diferentes tiempos. El tiempo inicial, esto es después de realizado el
pulido, corresponde a las 15:00 hs.
Para cada uno de estos perfiles se determinó la profundidad del pozo y el ancho del mismo para
analizar los respectivos comportamientos con el tiempo.
FIG. 4: Evolución temporal del pozo en estudio a través del microscopio confocal. Perfiles
correspondientes a un corte del pozo con un plano perpendicular a la superficie y que contiene al
semieje menor del pozo elíptico (el experimento comenzó a las 15:00 hs). Donde x es una coordenada
sobre un eje paralelo a la superficie, mientras que y es una coordenada sobre un eje ortogonal a la
superficie, ambos ejes están contenido en el plano de corte.
FIG. 5: Evolución temporal del pozo en estudio a través del microscopio confocal. Perfiles
correspondientes a un corte del pozo con un plano perpendicular a la superficie y que contiene al
semieje mayor del pozo elíptico, se indica la hora de medición (el experimento comenzó a las 15:00 hs.
Donde x es una coordenada sobre un eje paralelo a la superficie, mientras que y es una coordenada
sobre un eje ortogonal a la superficie, ambos ejes están contenido en el plano de corte.
Como se ve en la Fig. 6, las variaciones de la profundidad y del semiancho del pozo que se obtuvieron
experimentalmente, responden a leyes de potencia como las propuestas por Mullins (Ecs. (3), (4), (6) y
(7)). Los valores correspondientes de las pendientes de los ajustes (que se muestran junto a los
gráficos), para las direcciones del semieje mayor y del semieje menor son indistinguibles entre sí, tanto
para la variación de la profundidad como para la del semiancho. Así, se informa la pendiente de la
variación de profundidad
Prof
y la pendiente de la variación del semiancho
SA
:
( 0.60 0.05)
Prof
(0.35 0.04)
SA
FIG. 6: (a) Profundidad del pozo en función del tiempo. (b) Semiancho del pozo en función del tiempo.
Se ha denotado por V la correspondiente a los datos del semieje mayor y por H los datos
correspondientes al semieje menor.
Aunque en el experimento que se realizó estaban actuando todos los mecanismos en forma simultánea,
es razonable pensar que él o los mecanismos preponderantes serán aquellos que tengan asociada una
evolución con valores de exponentes más próximos a los que se encuentran experimentalmente. En este
sentido, dado que los exponentes presentes en las Ecs. (3), (4), (6) y (7) tienen valores similares a los
que se han obtenido a partir de las mediciones, se puede pensar que los mecanismos dominantes serían:
el de difusión gaseosa y el de difusión superficial. En particular los exponentes correspondientes a la
difusión gaseosa son más próximos a los que se han obtenido a partir de los ajustes (
Prof
y
SA
).
Con el objeto de continuar con el análisis de los resultados, se realizaron los ajustes de los perfiles
correspondientes a los semiejes menores considerando solamente el mecanismo de difusión gaseosa.
Para realizar los ajustes se usó un polinomio
DG
P
de grado 28. Cada uno de los términos del polinomio
se corresponde uno de los primeros 28 términos de la serie de la función dada en (2). Así, el polinomio
es
2
28
1
2/3 2 2 1/3
0
22
[(2 2) / 3]
( ) ( 1) .
2 ( !)
n
n
DG
n
n
P
nr
Pr
P n P
(8)
Los dos parámetros de ajuste
1
P
y
2
P
, se corresponderían con
1
6
a
P
2
.P D t
(9)
En la Tabla 1 se presentan los valores de
1
P
y
2
P
que se obtuvieron y los valores del parámetro
2
(prueba de ji cuadrado) correspondiente a cada ajuste realizado y el tiempo al que tuvo lugar la
medición.
TABLA 1: Valores de los parámetros de la Ec. (9) correspondientes a los distintos ajustes.
También se realizaron ajustes de los perfiles considerando solamente el mecanismo de difusión
superficial, descripta por la Ec. (5). También se utilizó un polinomio
DS
P
de grado 28, que se
corresponderían con los 28 primeros términos de la serie de la función dada en (5). Así, sería
2
28
1
1/2 2 2 1/4
0
22
[( 1) / 2]
( ) ( 1) .
2 ( !)
n
n
DS
n
n
Q
nr
Pr
Q n Q
(10)
Los dos parámetros de ajuste
1
Q
y
2
Q
, se corresponderían con
1
8
a
Q
2
.Q B t
(11)
En la Tabla 2 se presentan los valores de
1
Q
y
2
Q
que se obtuvieron y los valores del parámetro
2
correspondiente a cada ajuste realizado y el tiempo correspondiente a la medición.
TABLA 2: Valores de los parámetros de la Ec. (11) correspondientes a los distintos ajustes.
Como se desprende de las Tablas 1 y 2, los parámetros asociados al mecanismo de difusión gaseosa
tienen errores relativos menores que los asociados al mecanismo de difusión superficial. También se
puede observar que los valores de
2
son menores cuando se usó el polinomio
, que se
corresponde con la función (2), que describe la difusión gaseosa.
A modo de ejemplo se presentan en la Fig. 7 dos de los ajustes realizados. Estos son los
correspondientes al tiempo 17:29 hs (17.48 hs) considerando los mecanismo de difusión gaseosa y
difusión superficial.
Se puede observar que los parámetros
1
y
1
no son constantes en el tiempo, como se esperaba dada
sus respectivas asociaciones mediante las Ecs. (9) y (11). Aunque, como se puede ver, los valores
correspondientes a los ajustes hasta 16:05 hs (16.08 hs), tienen una “suave” tendencia a disminuir.
Luego, asociado a una disminución del valor
2
, se produce una disminución notable de los valores de
1
y de
1
para los ajustes a partir de los 17:09 hs; además, “se mantienen próximos entre sí”. También
se observa que los datos correspondientes a 17:43 hs (17.71 hs) tienen asociados valores de
2
y de
2
que rompen con la tendencia de crecimiento con el tiempo, que se observa en todos los demás.
A partir de las pendientes obtenidas mediante los ajustes lineales de los valores de
2
y de
2
en
función del tiempo, según lo proponen las Ecs. (9) y (11), se determinaron los valores experimentales
para que denotaremos
y para que denotaremos
. A partir de estos valores
y de
se
calcularon los coeficientes de difusión gaseosa (
) y difusión superficial (
). Estos últimos se
comparan en la Tabla 3 con los respectivos valores
y
reportados en otros trabajos.
Como se desprende de la Tabla 3, el valor obtenido para el coeficiente de difusión gaseoso
que se
obtuvo difiere en varios órdenes de magnitud del
que se presenta en Hall y Pruppacher.
11,12
Estos
autores reportaron valores del coeficiente de difusión para el rango entre 40
C (233 K) y 40
C (313
K) obtenidos por extrapolación a partir de resultados experimentales a temperaturas próximas a 0
C
(273 K). Por otro lado, el coeficiente de difusión superficial
tiene un valor próximo al reportado
por Nasello y Di Prinzio.
9
Estos autores determinaron el coeficiente de difusión superficial estudiando
la aparición del surco de asociado a un borde de grano en hielo.
FIG.7: Ajuste del perfil del pozo en la dirección de semieje menor, correspondiente a las 17.48 hs,
considerando solamente el mecanismo de difusión gaseosa (a) y solamente el mecanismo de difusión
superficial (b).
TABLA 3: Resultado de los parámetros
,
,
y
.
Del análisis realizado a partir de los exponentes correspondientes a las evoluciones de semiancho y
profundidad del pozo se identificó como preponderantes a los mecanismos de difusión gaseosa y
difusión superficial. Observándose que los exponentes del comportamiento gaseoso son más próximos
a los que encontramos experimentalmente. Sin embargo, al considerar la variación de todo el perfil del
pozo mediante el ajuste realizado con los polinomios, se encontró que solamente el coeficiente de
difusión superficial obtenido a partir de los parámetros de ajuste arrojaba un valor similar al reportado
por otros autores. Por otro lado, el coeficiente de difusión gaseosa difiere en varios órdenes de
magnitud del calculado a partir de los coeficientes de ajuste correspondientes. Con esto en mente, es
razonable pensar que el mecanismo de “llenado” del pozo se produce vía difusión superficial.
V. CONCLUSIONES
Se estudió la evolución temporal de un pozo en la superficie de un monocristal de hielo mediante
microfotografías. Se ajustaron los perfiles correspondientes al pozo mediante expresiones teóricas
propuestas por Mullins.
7
Se encontró que los resultados de la evolución de la profundidad del pozo y
del ancho del mismo se corresponden con un predominio del transporte por difusión superficial. Esto se
fundamenta tanto por el valor encontrado para el coeficiente de difusión superficial, como así también
en los valores que se han encontrado para los exponentes presentes en la descripción de las variaciones
de anchos y profundidades del pozo.
AGRADECIMIENTOS
Se agradece la colaboración de José Barcelona y el apoyo económico de CONICET y la Secretaría de
Ciencia y Técnica de la UNC.
APÉNDICE
Para determinar los coeficientes de difusión
y
a partir de los experimentos, se utilizaron las
expresiones
2
2
(A.1)
Los coeficientes usados son presentados en Hobbs P.:
13
36 10
29
m
3
329 10
18
m
2
138 10
23
JK
1
109 10
3
Jm
2
65 10
3
Jm
2
.
Para calcular
0
se usó la presión dada por la ecuación obtenida por Washburn
14
0
0
0
(A.2)
donde el valor
0
fue ajustado, es el calor latente de sublimación, es la constante de los gases y
0
es la masa molar del agua. Los valores usados son:
0
42 02 10
12
Pa
283 10
6
J kg
1
831 J K
1
mol
1
0
0018 kg.
Para obtener el coeficiente de difusión superficial del hielo
(Tabla 3) se usaron los datos de Nasello
y col.
9
0
(A.3)
0
14 10
4
m
2
1
y 384 10
20
J.
Para el coeficiente de difusión gaseosa del hielo
(Tabla 3) se usaron los datos de Hall y
Pruppacher
11,12
0211
0
194
0
(A.4)
0
es la temperatura de fusión del hielo en Kelvin y
está expresado en m
2
s
1
.
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18
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