Anales AFA Vol. 32 Nro. 2 (Julio 2021 - Octubre 2021) 43-47
POTENCIAL ELÉCTRICO ENTRE ELECTRODOS PLANOS NO PARALELOS –
SIMULACIÓN DE UNA CELDA UTILIZADA CON TOMATE
ELECTRICAL POTENTIAL BETWEEN NON-PARALLEL FLAT ELECTRODES –
SIMULATION OF A CELL USED WITH TOMATO
A. Hemsy
*1
1
Laboratorio de Dieléctricos – FACET, Universidad Nacional de Tucumán,
Av. Independencia 1800 (4000), Tucumán, Argentina.
Recibido: 16/11/2020 ; Aceptado: 26/3/2021
Se grafican las líneas equipotenciales del campo generado por la celda utilizada en mediciones dieléctricas de tomate
fruta entera. Esta celda consta de dos electrodos inclinados, a potenciales inversos, y es una adaptación realizada en el
Laboratorio de Dieléctricos de la celda utilizada por Varlan-Sansen. Para obtener las gráficas se resolvió la ecuación
de Laplace por diferencias finitas y se escribió un programa en lenguaje Fortran, que realiza los cálculos por iteración
numérica. Se analizó el campo generado por la celda a diferentes distancias de separación de los electrodos.
Palabras Clave: celdas de medición, Varlan-Sansen, Laplace en FORTRAN.
The equipotential lines of the field generated by the cell used in dielectric measurements of whole fruit tomato are
plotted. This cell consists of two inclined electrodes, at inverse potentials, and is an adaptation made in the Dielectric
Laboratory of the cell used by Varlan-Sansen. To obtain the graphs, the Laplace equation was solved by finite differences
and a program in Fortran language was written, which performs the calculations by numerical iteration. The field
generated by the cell at different electrode separation distances was analyzed.
Keywords: measuring cells, Varlan-Sansen, Laplace in FORTRAN.
https://doi.org/10.31527/analesafa.2021.32.2.43 ISSN 1850-1168 (online)
I. INTRODUCCIÓN
En el Laboratorio de Dieléctricos de la FACET se estu-
dia, desde hace tiempo, la caracterización de propiedades y
estados de madurez del tomate a partir de mediciones die-
léctricas. Se trabaja con muestras de tomates en sus distin-
tos estados: líquido, pasta, trozo y fruta entera usando una
celda Hewlett-Packard 16451B de electrodos planos y para-
lelos con anillo de guarda para las primeras muestras y una
celda de construcción propia para la fruta entera.
En este último caso, para el estudio de la fruta entera,
se buscó un método de trabajo no tradicional que permita
realizar las mediciones sin dañar el tomate. Se reprodujo la
celda propuesta por Varlan-Sansen [1] y luego se modifica-
ron los conectores para minimizar los errores de mediciones
eléctricas por cables.
En la interpretación de los resultados de las medicio-
nes obtenidas, cuando se pretende contrastar con teorías de
comportamiento dieléctrico de medios materiales, aparece
la necesidad de conocer cualitativamente la forma de los
campos generados por los electrodos de la celda, ya que se
supone la interacción con campos generalmente uniformes.
La búsqueda en la bibliografía específica permitió verifi-
car que la situación de interés no estaba resuelta. Por ejem-
plo, Pallares Muñoz y Rodríguez Calderón [2] diseñan y
desarrollan una herramienta educativa para estudiar el efec-
to de bordes en un condensador de placas paralelas usando
la ecuación de Laplace en 2D con diferencias finitas, Eche-
* ahemsy@herrera.unt.edu.ar
verri y Guarín [3] lo hacen usando lenguaje Python consi-
derando simetrías de revolución, Philippe [4] ofrece el pro-
grama en Maple para una cavidad y Melzani [5] sintetiza
los temas de estos autores ofreciendo el algoritmo en Phy-
ton para resolver la cavidad o los bordes de un capacitor de
placas planas paralelas.
En este trabajo se muestran los resultados de la simula-
ción numérica, usando la ecuación de Laplace en diferen-
cias finitas, para comparar los campos generados por los
electrodos planos inclinados de la celda construida y los
electrodos planos paralelos. Se discute la utilidad de la re-
presentación gráfica obtenida para las consideraciones ex-
perimentales posteriores en el Laboratorio de Dieléctricos.
II. MÉTODO DE TRABAJO
La celda de sólidos HP 16451B
Cuando se trabaja con el tomate no entero, ya sea en pas-
ta, trozo o licuado, en el Laboratorio de Dieléctricos se uti-
liza la celda Hewlett-Packard 16451B para sólidos (Fig. 1).
Esta celda comercial tiene dos placas paralelas circulares a
la que se le puede variar su separación con un tornillo mi-
crométrico hasta una distancia del orden del centímetro. Las
mediciones se realizan colocando entre las placas una caja
de Petri con la muestra del tomate. La celda tiene un anillo
de guarda que asegura la zona con uniformidad del campo.
La celda de sólidos de Varlan-Sansen
La celda original de Varlan-Sansen considera tres puntos
de apoyo, dos son los electrodos y el tercero otorga estabi-
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FIG. 1: Celda para sólidos HP 16451B.
lidad a la fruta (Fig. 2).
FIG. 2: Celda de Varlan-Sansen conectada al analizador de im-
pedancia (imagen extraída del trabajo de Varlan y Sansen [1]).
El Laboratorio de Dieléctricos utilizó inicialmente esta
geometría en mediciones de tomate [6] pero, tal como se
describe en la Ref. [7], se modificó para quedar actualmen-
te con dos puntos de contacto y apoyo que son los elec-
trodos, inclinados para mejorar el contacto eléctrico con la
fruta. Los resultados experimentales fueron presentados por
Hemsy et al. [8].
En la Fig. 3 se muestra la celda que respeta la propuesta
de Varlan-Sansen. Los electrodos, dos superficies metálicas
circulares de 1 cm de diámetro, se encuentran a potenciales
inversos fijados desde el impedanciómetro. En la modifica-
ción realizada se eliminan los cables que unen la celda al
equipo como se muestra en la Fig. 4.
Para la medición que se realiza sobre los tomates, intere-
sa que, al separar e inclinar los electrodos, la distorsión del
campo generado no introduzca un error grande al comparar
los resultados con los obtenidos usando placas planas pa-
ralelas. Para realizar este análisis se resolvió la ecuación
de Laplace en diferencias finitas, por medio de iteración
FIG. 3: Método de medición no invasivo para fruta ente-
ra,replicando la celda de Varlan-Sansen.
FIG. 4: Adaptación de la celda de Varlan-Sansen.
numérica y se escribió un código en lenguaje Fortran. El
programa permite calcular el potencial eléctrico para luego
realizar las gráficas de contorno.
Ecuación de Laplace
La ecuación de Laplace se aplica en problemas de física
en los cuales el medio es homogéneo y no hay distribucio-
nes volumétricas de carga. Sin embargo, es posible la pre-
sencia de cargas puntuales y densidades de carga lineal y
superficial. La ecuación de Laplace se escribe:
∇
2
V = 0 (1)
donde ∇
2
V es el laplaciano de V , y V el potencial eléctrico.
Para resolver la Ec. (1) por medio de iteración numérica
se supone un problema bidimensional en coordenadas (x, y)
en el cual se quiere conocer el potencial eléctrico. Se divide
el interior de una sección en cuadrados con lados de lon-
gitud h. En la Fig. 5 se muestra una porción de esta región.
Los valores de potencial V
0
, V
1
, V
2
, V
3
y V
4
en los puntos son
desconocidos. La ecuación de Laplace en dos dimensiones
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FIG. 5: Representación de una región de cálculo de V(x,y).
en las variables independientes (x, y) es:
∇
2
V =
∂
2
V
∂ x
2
+
∂
2
V
∂ y
2
= 0. (2)
Utilizando polinomio de Taylor de grado 3 se puede es-
cribir la siguiente expresión, conocida como ecuación de
Laplace en diferencia finitas
V
0
=
1
4
(V
1
+V
2
+V
3
+V
4
). (3)
Los aspectos teóricos que llevan a plantear la relación (3)
entre los potenciales en los puntos indicados en la Fig. 4,
se pueden consultar en textos específicos [2, 5, 9, 10]. En
este trabajo, el interés está centrado en la comparación de
los resultados obtenidos con las distintas geometrías.
El potencial obtenido usando la expresión (3) es un resul-
tado aproximado para un caso bidimensional. El resultado
mejora cuando h se aproxima a cero, es decir a medida que
la región en la que se quiere calcular el potencial se divi-
de en una rejilla con cuadrados de menor tamaño. En este
trabajo se ha considerado una grilla uniforme, con puntos
separados la misma distancia h.
En forma intuitiva, la expresión (3) indica que el poten-
cial en un punto de la rejilla está representado por un prome-
dio del potencial de los cuatros primeros vecinos. El método
iterativo simplemente utiliza la ecuación para determinar el
potencial barriendo cada uno de los puntos de la cuadrícula.
El proceso del cálculo se repite tantas veces como sea nece-
sario hasta que los valores entre dos cálculos consecutivos
de la región no fluctúen dentro de un error predeterminado.
Considerando la Ec. (3) se desarrolló un programa en
lenguaje Fortran que permite introducir las condiciones de
borde del problema, para que una computadora realice los
cálculos de potencial en toda la grilla. Como condiciones de
borde del problema se fijaron los potenciales de los electro-
dos y la ausencia de distribuciones de carga que modifiquen
los potenciales en la región.
III. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
A continuación se muestran los resultados para la celda
adaptada de Varlan-Sansen y para la celda comercial HP
16451B. Luego se compararán los campos a la que es so-
metida la muestra en el proceso de medición en cada una de
las celdas.
Simulación celda modificada de Varlan-Sansen
Con los valores calculados por el programa se graficaron
las líneas equipotenciales de la celda utilizada para medir
las propiedades eléctricas de fruta entera, con tres valores
de separación entre los electrodos.
FIG. 6: Líneas equipotenciales celda electrodos inclinados, iz-
quierdo a 5.0 V y derecho a -5.0 V. Intervalo entre líneas de 0.5 V.
Se consideraron tres separaciones de electrodos distintas.
Si bien las mediciones con la fruta se realizan con poten-
ciales de 0.1 V o 0.5 V, en las simulaciones se consideró
que los contactos estaban a 5.0 V y −5.0 V para una mejor
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representación visual.
En las gráficas de la Fig. 6 se observa la falta de uniformi-
dad de los campos entre electrodos, que se inclinaron a 45
◦
,
valor del ángulo tomado como referencia para realizar las
mediciones del tomate entero. El comportamiento de estas
zonas equipotenciales se deberá incluir en la interpretación
circuital de resultados. También se observa que la simetría
del sistema se refleja en la simetría de los valores de poten-
cial.
La comparación de las equipotenciales permite definir la
mejor zona de trabajo, es decir que se puede relacionar la
inclinación y la separación de las placas con el tamaño de
la fruta, de modo que se verifiquen las dos condiciones bus-
cadas, buen contacto eléctrico y campo “uniforme” dentro
de un error estimable.
Los resultados obtenidos también se pueden representar
en 3D. En la Fig. 7 se observa la superficie del potencial
eléctrico calculado entre los electrodos, donde el eje vertical
indica el potencial en voltios.
FIG. 7: Variación 3D del potencial en la celda de electrodos in-
clinados. Electrodo izquierdo a 5.0 V y derecho a −5.0 V.
La celda de sólidos HP 16451B
La prueba a las que se sometió el programa fue simular
el comportamiento de los campos en la celda de electrodos
planos paralelos, problema extensamente estudiado. Aquí
también se consideraron las placas a 5.0 V y −5.0 V (Fig.
8).
FIG. 8: Simulación equipotenciales capacitor plano. Placa infe-
rior a 5.0 V y superior a −5.0 V, intervalo entre líneas de 1.0 V.
Como se observa en la Fig. 8, las líneas equipotenciales
son paralelas en la región central (zona de campo uniforme
indicada por el fabricante con el anillo de guarda) y luego
se empiezan a curvar a medida que se acercan a los bor-
des. También puede verse una simetría en la gráfica en la
recta horizontal que pasa por 0.5 que se corresponde con el
potencial V = 0.
IV. CONCLUSIONES
En mediciones dieléctricas por lo general se trabaja
con campos uniformes como los generados por la celda
Hewlett-Packard 16451B dentro del anillo de guarda.
En este trabajo se simuló el comportamiento del campo
generado por la celda modificada de Varlan- Sansen y se ob-
servó que los campos son no uniformes. Por consiguiente es
que debe definirse la mejor zona de trabajo para introducir
el menor error posible por la distorsión del campo en las
mediciones. Esto lo que permite es poder comparar los re-
sultados medidos entre una celda y otra, o con resultados
publicados por otros grupos donde se trabaja con campos
uniformes.
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo se realizó en el marco de la Beca Estudiantil
de investigación CIUNT 2019-2020 otorgada por la Univer-
sidad Nacional de Tucumán al autor bajo la dirección de la
Lic. Patricia Cáceres, contenida en el Proyecto de Investi-
gación PIUNT “Tomate. Análisis de permitividad compleja
con método de cero en Tomate Chilto. nTIC para comuni-
caciones académico científicas”.
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