Anales AFA Vol. 32 Nro. 4 (Enero 2022 - Abril 2022) 93-98
https://doi.org/10.31527/analesafa.2021.32.4.93
Partículas y campos
TEORÍA DE CAMPOS NO RELATIVISTAS: DINÁMICA E IRREVERSIBILIDAD
NON RELATIVISTIC QUANTUM FIELD THEORY: DYNAMICS AND
IRREVERSIBILITY
L. Daguerre*1, G. Torroba1,2, R. Medina3 y M. Solís1,2
1 Instituto Balseiro, UNCuyo and CNEA S.C. de Bariloche, Río Negro, R8402AGP, Argentina.
2 Centro Atómico Bariloche and CONICET S.C. de Bariloche, Río Negro, R8402AGP, Argentina.
3 IST Austria Am Campus 1, 3400 Klosterneuburg, Austria.
Autor para correspondencia: email: daguerrelcs@gmail.com
ISSN 1850-1168 (online)
Recibido: 25/02/2021 Aceptado: 18/05/2021
Resumen:
Estudiamos aspectos de Teoría Cuántica de Campos a densidad finita usando técnicas y conceptos de información
cuántica. Nos enfocamos en fermiones de Dirac masivos con potencial químico en 1+1 dimensiones espacio-
temporales. Usando la entropía de entrelazamiento en un intervalo, construimos la función c entrópica que es finita.
Esta función c no es monótona, e incorpora el entrelazamiento de largo alcance proveniente de la superficie de
Fermi. Motivados por trabajos previos de modelos en la red, calculamos numéricamente las entropías de Renyi y
encontramos oscilaciones de Friedel. Seguidamente, analizamos la información mutua como una medida de
correlación entre diferentes regiones. Usando una expansión de distancia grande desarrollada por Cardy,
argumentamos que la información mutua detecta las correlaciones inducidas por la superficie de Fermi todavía al
orden dominante en la expansión. Finalmente, analizamos la entropía relativa y sus generalizaciones de Renyi para
distinguir estados con diferente carga. Encontramos que estados en diferentes sectores de superselección dan
origen a un comportamiento super-extensivo en la entropía relativa.
Palabras clave: teoría cuántica de campos, densidad finita, teoría de información cuántica, grupo de
renormalización.
Abstract:
We study aspects of quantum field theory at finite density using techniques and concepts from quantum
information theory. We focus on massive Dirac fermions with chemical potential in 1+1 space-time dimensions.
Using the entanglement entropy on an interval, we construct an entropic c-function that is finite. This c-function is
not monotonous, and incorporates the long-range entanglement from the Fermi surface. Motivated by previous
works on lattice models, we next compute the Renyi entropies numerically, and find Friedel-type oscillations.
Next, we analyze the mutual information as a measure of correlation functions between different regions. Using a
long-distance expansion developed by Cardy, we show how the mutual information detects the Fermi surface
correlations already at leading order in the expansion. Finally, we analyze the relative entropy and its Renyi
generalizations in order to distinguish states with different charge. We find that states in different superselection
sectors give rise to a super-extensive behavior in the relative entropy.
Keywords: quantum field theory, finite density, quantum information theory, renormalization group.
I. INTRODUCCIÓN
La Teoría Cuántica de Campos (‘Quantum Field Theory’ o QFT) describe sistemas cuánticos con infinitos grados
de libertad, y juega un rol central en modelos de altas energías y sistemas fuertemente correlacionados en materia
condensada. En las últimas décadas la QFT ha visto un progreso revolucionario en aspectos no perturbativos al
utilizar métodos provenientes de la Teoría de Información Cuántica. Entre ellos, medidas basadas en la entropía de
entrelazamiento en conjunto con la unitariedad y causalidad han establecido la irreversibilidad del grupo de
renormalización (RG) en
1 1,2 1d
y
31
dimensiones espacio-temporales para QFTs relativistas.1–3 También,
resultados de Teorías de Campos Conformes (CFT)4 así como de Teorías de Campos libres5 han brindado nuevas
visiones acerca de la estructura general de QFT.
La mayoría de los resultados existentes en la literatura hasta el momento han estado relacionados con QFTs
relativistas. La razón es que las restricciones que imponen la simetría de Lorentz y la estructura causal juegan un
rol fundamental en los enfoques antes mencionados. En contraste, son mucho menos conocidos resultados en QFTs
no relativistas y, en particular, en QFTs no relativistas a densidad finita como sería relevante para la descripción
del límite al continuo de materia cuántica. En particular, ha sido sugerido que la entropía de entrelazamiento puede
presentar un comportamiento no monótono en ciertos modelos no relativistas, y esto podría implicar que el grupo
de renormalización no fuese irreversible más allá de las teorías Lorentz invariantes.6
Una lección clave de los análisis invariantes de Lorentz es que, desde el punto de vista de medidas de información
cuántica, las QFTs libres proveen una arena no trivial para obtener resultados más generales que se aplican más
ampliamente.5 Motivados por esto, en este artículo estudiamos fermiones de Dirac libres a densidad finita,
empleando tanto métodos analíticos en teoría de información cuántica así como simulaciones numéricas. Nos
restringimos al caso más simple posible de
11d
dimensiones espacio-temporales, donde los resultados son
todavía no triviales. Planeamos extender nuestro trabajo a dimensiones más altas en un futuro. Cabe destacar que
este presentación es una discusión de algunos resultados publicados con anterioridad en.7
II. FERMIONES DE DIRAC LIBRES A DENSIDAD FINITA
En esta sección estudiaremos algunos aspectos teóricos de fermiones de Dirac a densidad finita tanto en el continuo
como en la red.
Teoría en el continuo
Los fermiones de Dirac libres tienen una simetría continua
(1)U
,
i
e
. Una densidad de carga finita
†
e
n
puede obtenerse al introducir un potencial químico
F
. Es por eso que la acción (con signatura
()g
, en
d
dimensiones espacio-temporales) resulta
Tanto el término de masa como el de potencial químico son operadores relevantes por contaje de potencias, e
inducen un flujo no trivial del grupo de renormalización (RG) desde una CFT UV de un fermión de Dirac no
masivo.
Los autovalores de energía son
22
.
F
Em
p
(2)
De aquí en adelante siempre trabajaremos con
0
F
. Es por esto que
E
siempre será negativo y como de
costumbre dará origen a las antipartículas; además, la banda
E
tiene una energía tal que se anula a momento de
Fermi finito
22
|| FF
km
p
. Esto define una superficie de Fermi esférica.
Reconocemos el correlador de densidad finita como la deformación del resultado relativista, definiendo el mismo
como
†
( ) ( ) ( )C
x y x y
,
00
()
022
||
1
( ) ( ) ,
22
F
F
ii
i
k
pk
pm
C C e m
p x y
x y x y p
(3)
con
00
()
022
1
( ) .
22
ii
i
p
pm
Ce m
p x y
xy p
(4)
Aquí utilizamos la notación
1
1
(2 )
d
d
p
dp
.
Modelo en la red
Trabajamos con una red espacial infinita,
1
x na
,
nZ
, poniendo el espaciado de red
1a
. Simetrizando las
derivadas espaciales en (1) y discretizando las derivadas como
11
( ) ( )/
nn
xa
, el Hamiltoniano en la red
es
† 0 1 1
† 0 †
( ( ( ) . .)
2
),
n n n
n
n n F n n
ihc
m
H
(5)
Los autovalores de energía vienen dados por
22
( ) ( ) .
F
k sin k m
ò
(6)
Cuando
0
F
, el estado de vacío es el estado que contiene cero partículas
0
, aniquilado por
,k
c
. Cuando
0
F
, el nuevo estado fundamental se obtiene al llenar los estados de energía negativa
( ) 0k
ò
en la banda de
partículas,
†,
, ( ) 0
0
k
kk
Gc
ò
.
Luego, las partículas llenan la superficie de Fermi con momento de Fermi
22
.
FF
k arcsin m
(7)
El correlador en el discreto se define como
††
||
ij i j i j
C G G
y se corresponde con el resultado del
continuo (3),
0 1 0 0 1 0
( ) ( )
2 2 2 2
1 ( ) 1 ( )
( ( ))( ).
2 2 2 2
2 ( ) 2 ( )
ik i j ik i j
ij dk sin k m dk sin k m
C e e k
m sin k m sin k
IIò
(8)
Dinámica de fermiones
Primero, consideremos el límite no masivo
/0
F
mk
. Es útil elegir la base quiral
01
,
12
i
. En términos
de los usualmente denominados left/right movers,
( , )
LR
, obtenemos
0 1 † †
0 1 0 1
( ( ( ) ) ( ( ) ) ).
L F L R F R
S dx dx i i
(9)
El potencial químico puede ser removido con una transformación unitaria local,
11
1 1 1 1
( ) ( ) , ( ) ( ).
FF
ik x ik x
L L R R
x e x x e x
(10)
Esto da dos fermiones quirales moviéndose a la velocidad de la luz,
0
† 0 † 0
,
( ) ( ) .
L L R R
pp
S p p p p
(11)
Ahora consideremos el límite opuesto, es decir, el límite no relativista
/F
mk
. A energías y momentos mucho
más pequeños que la masa, la relación de dispersión (2) resulta
22
, 2 ,
22
FF
pp
E E m
mm
(12)
con
F
Fm
. Las antipartículas con energía
2Em
se desacoplan de la teoría de bajas energías. Luego, la
teoría efectiva de bajas energías resulta
0
† 0 † 0
,
( ) ( ) .
L F L R F R
pp
S p v p p v p
(13)
Este es el mismo resultado que se obtuvo en la teoría con dos fermiones quirales (11), excepto que ahora la
velocidad de propagación es la velocidad de Fermi.
III. ENTROPÍA DE ENTRELAZAMIENTO
En esta sección consideramos la entropía de entrelazamiento (EE) o entropía geométrica asociada a la matriz
densidad reducida de una región espacial
V
del estado puro de vacío. La misma se define a partir de la entropía de
Von Neumann como 5
donde
V
es el complemento de
V
, y
0
es el estado de vacío.
Nuestra motivación en cuanto al estudio de la EE en esta dirección provino de 6, que argumentó acerca de la
violación de la irreversibilidad del flujo del RG en modelos no relativistas. En más detalle, una superficie de Fermi
en
d
dimensiones espacio-temporales conlleva a la violación logarítmica de la ley de áreas para la EE,
2
( ) ( ) ( ),
d
FF
S V k r log k r
(15)
donde
V
es una región esférica de radio
r
. Para
r
grande, esta contribución crece más rápido que el término
dominante de la ley de áreas,
2
2
( ) ,
d
d
r
SV
ò
(16)
que aparece en modelos locales, como las QFTs con puntos fijos UV.
En contraposición a la EE que es UV divergente, la cantidad
()
( ) ,
dS r
c r r dr
(17)
es finita y es proporcional a la carga central intrínseca
c
en los puntos fijos UV e IR. También está bien definida
por fuera de los puntos fijos, en cuyo caso decrece monotonamente para flujos unitarios del RG en teorías
relativistas 1,2. Computaremos la cantidad finita (17) en presencia de densidad de carga finita, y la usaremos para
estudiar potenciales violaciones de la monotonicidad. Para ello, haremos simulaciones numéricas utilizando un
método denominado de tiempo real 5,8. En este, la entropía de entrelazamiento en la red puede computarse a partir
de la matriz de correlación (ver (8))
†
ij i j
C
restringida a
V
(
,i j V
),
Para fermiones de Dirac quirales, habíamos encontrado una transformación unitaria (10) que mapea la teoría con
densidad de carga finita a un modelo relativista de carga cero. Ambas funciones de dos puntos
ij
C
en el continuo
tienen los mismos autovalores y, entonces, las respectivas matrices también tienen los mismos autovalores. Por lo
tanto, las medidas de información cuántica que dependen sólo de los autovalores de la matriz densidad reducida,
como la EE, coinciden en ambas teorías. Esto se encuentra plasmado en el cálculo numérico de la EE en la Fig. 1.
FIG. 1: Función
F
c(k r)
entrópica para un fermión quiral a densidad finita. Para
F
k0
y
F
kr
fijos, los gráficos
tienden a
1
3
, como en un CFT de
c1
.
Analicemos ahora el caso de fermiones de Dirac masivos. Para desarrollar intuición analítica, es útil considerar
primero los límites asintóticos UV e IR, en conjunto con los comportamientos ultra-relativistas y no relativistas.
Desde el punto de vista de la EE y la función entrópica
()cr
, el UV se corresponde con
1/ ,1/ F
r m k
. El término
de masa es una deformación relevante estándar, y por tanto su efecto es despreciable en el UV. La densidad de
carga puede ser más sutil dado que el estado fundamental cambia a densidad finita. Asumiendo que también se
comporta como una deformación relevante, el límite UV debería dar
( ) 1/ 3cr
. Nuestros resultados numéricos
mostrarán que de hecho este es el caso (ver Fig. 2).
FIG. 2: Función
F
c(k r)
para distintos regímenes de
F
m / k
para fermiones de Dirac a densidad finita. La función
c
entrópica es una cantidad finita que exhibe un comportamiento no monótono del RG.
El comportamiento intermedio entre los puntos fijos depende de
/F
mk
. En el régimen relativista
F
mk
, los
efectos de la carga no trivial siempre dominan en el sentido del RG, y el comportamiento es similar al de los
fermiones quirales.
En el régimen no relativista,
()cr
rápidamente decrece a escalas del orden de
1mr
. Esto es consistente con el
RG siendo dominado por la masa. Para valores más grandes de
r
,
()cr
crece, alcanzando un máximo a
1
F
kr
,
para finalmente tender a
1/ 3
. El mínimo y el máximo en
()
F
c k r
reflejan la competencia entre los operadores
m
y
†
F
; el primero trata de inducir un gap masivo y entrelazamiento nulo, mientras que el segundo
(recordando que
Fm
) trata de inducir entrelazamiento de largo alcance. La función
c
entrópica sensa la
creación de entrelazamiento debido a la densidad finita.
IV. ENTROPÍAS DE RENYI
Las entropías de Renyi y las correspondientes funciones
n
c
entrópicas se definen como 5
Además de brindar los autovalores de
V
, las entropías de Renyi también son importantes debido a su rol en el
replica trick.
En la Ref. 9 estudiaron el modelo
XY
en una red 1d y encontraron un comportamiento sorprendente de las
n
S
,
reminiscente de las oscilaciones de Friedel en un metal. Su predicción analítica de
n
S
en el límite de gran distancia
(2 )
F
log k r n
es
2
(2 )
1
( ) ,
6(2 )
F
nn
n
F
cos k r
nr
S r log A f
nkr
ò
(20)
con
2
1
1
2 ((1 ) / 2) ,
1 ((1 ) / 2)
nn
fnn
(21)
y
1A
en su caso. Similarmente a (18), las entropías de Renyi pueden ser computadas en términos de la función
de dos puntos
ij
C
restringida a una región espacial
V
,
1
() 1).(
1
nn
n
S V Tr log
nCC
(22)
FIG. 3: Funciones
2
c
y
3
c
para un fermión quiral a densidad finita. El límite al continuo se corresponde con
0
F
k
para
F
kr
finito, en donde las amplitudes de las oscilaciones tienden a desvanecerse.
Comencemos nuestro análisis con fermiones de Dirac no masivos en la red (5). Esto nos proveerá un ejemplo de
oscilaciones de Friedel en modelos en la red que desaparecen en el límite al continuo, como se aprecia en la Fig. 3.
A continuación, consideramos el caso masivo. La Fig. 4 muestra nuestros resultados numéricos para
2
c
y
3
c
en
diferentes regímenes de
/F
mk
.
FIG. 4: Funciones
2
c
y
3
c
para todos lo regímenes de fermiones de Dirac a densidad finita. En todos ellos,
excepto para
0m
, hay oscilaciones de Friedel de período
como función de
F
kr
.
Para
1n
encontramos oscilaciones de Friedel en el límite al continuo, no sólo cuando
F
mk
sino que para
otros rangos de
/F
mk
también. Las oscilaciones tienen un valor medio
6
1
n
n
debido a la contribución proveniente
de fermiones livianos de la teoría a bajas energías (13). Más aún, hemos verificado que la dependencia de distancia
grande (20) también ajusta correctamente lejos del límite no relativista. Teóricamente, estos comportamientos
pueden explicarse en términos de una expansión en producto de operadores sobre los bordes del intervalo.7
V. INFORMACIÓN MUTUA
En esta sección analizaremos la información mutua, una medida de información que permite cuantificar la
correlaciones entre dos regiones
A
y
B
. La misma puede definirse en términos de la EE como
( , ) ( ) ( ) ( );I A B S A S B S A B
(23)
y también su versión de Renyi, dada por
( , ) ( ) ( ) ( ).
n n n n
I A B S A S B S A B
(24)
Si se consideran como regiones
A
y
B
dos intervalos de longitudes
A
r
y
B
r
respectivamente, la contribución
dominante para una CFT en el límite
/ , / 1
AB
r L r L
resulta 10
2,
AB
rr
IL
(25)
donde
indica la mínima dimensión asociada a un operador de intercambio admisible por la teoría. En el presente
caso, esto se corresponde con bilineales fermiónicos, con lo cual
1
. Estas contribuciones tienen el mismo
comportamiento de escaleo que los términos no oscilantes que no mezclan
L
y
R
. Por tanto, siguiendo un
argumento similar para la deducción de (25), la información mutua de Renyi en el límite de grandes distancias
resulta
2
2(2 ) ,
n n n F n
r
I a b cos k L
L
(26)
con
,
nn
ab
algunas constantes de
(1)O
.
FIG.5:
()
F
I k L
para un
r
fijo para fermiones de Dirac masivos a densidad finita. Las longitudes
r
fueron
2
F
kr
,
0.5
F
kr
y
0.2
F
kr
para
0.2
F
m
k
,
1
F
m
k
y
5
F
m
k
respectivamente. Están presentes oscilaciones de período
como función de
F
kL
. Sus amplitudes se anulan conforme
/0
F
mk
.
Los resultados numéricos de la información mutua se muestran en la Fig. 5. El decaimiento es más abrupto para
curvas con mayor
F
m
k
, dado que las correlaciones asociadas a operadores que no están localizados en los extremos
de los intervalos replicados, tienden a desvanecerse significativamente para
1
Lm
. Asimismo, para
0
F
m
k
se
observan oscilaciones en todos los regímenes.
Los resultados numéricos de la información mutua de Renyi se muestran en la Fig. 6. Los paneles a), b) y c)
muestran el comportamiento para diferentes masas y para diferentes parámetros de Renyi
n
. Finalmente, en el
panel d) verificamos que la predicción del límite de grandes distancias (26) está en excelente acuerdo con los
resultados numéricos.
.
FIG. 6: Las subfiguras a), b) y c) muestran las simulaciones de
nF
I k L
para un valor fijo r para un fermión de
Dirac masivo. Los parámetros son
F
F
1
k r,m, 2, ,0.2 ;
k 500
m
1
0.5, ,1 ;
200
1
0.2, ,5
100
,
respectivamente. Observamos oscilaciones de Friedel de período kFL, con amplitud dependiente de
F
k
m
. En la
subfigura d) chequeamos el acuerdo con (26). Ajustamos
2
F 2 F
k L I k L
en el límite
F
k L 1
con
1,
F
m
k
5
3
F
kr
y
1
60
F
k
. La expresión usada fue
2C
F 2 F F F
k L I k L A Bcos 2k L k L ,
obteniéndose
C0
.
VI. MEDIDAS DE DISTINGUIBILIDAD
En esta sección nuestro análisis virará la atención hacia otra pregunta en información cuántica: ¿cómo distinguir a
dos matrices densidad
y
? La principal medida para llevar a cabo esta tarea es la entropía relativa entre dos
estados
y
. La misma se define como
Existe una interesante generalización uniparamétrica de la entropía relativa 11,12
para
(0,1) (1, )
y que para
1
recupera a la entropía relativa. Estas están usualmente referidas como las
entropías relativas de Renyi.
FIG. 7: Gráficos de
α
S
con
α [0.5,1.1]
para
m0
, comparando estados con
F
k0
y
F
k 1/ 20
. La
dependencia funcional
2
α α F
S A (k r)
es observada y graficada con una línea continua para todos los
α
considerados. Cuando
α1
los gráficos crean una cota por debajo y por encima de la entropía relativa.
En la Fig. 7 se muestran los resultados numéricos (que se computaron utilizando fórmulas obtenidas en 13) que
comparan a los estados con
0m
fijo, con
0
F
k
(
) y con
1/ 20
F
k
(
). Lo notable en este caso es el
comportamiento super-extensivo dado por
2
()
F
S A k r
para todo
r
.
VII. CONCLUSIONES
En este artículo hemos estudiado varias medidas de información cuántica en Teoría de Campos a densidad finita.
Nos enfocamos en fermiones de Dirac libres a densidad finita en
11
dimensiones espacio-temporales.
Hemos establecido que la función
c
entrópica no es monótona, en rotundo contraste con el comportamiento de
QFTs Lorentz-invariantes. En el análisis de entropías de Renyi se destacan las oscilaciones de Friedel, que
modifican el resultado de la CFT en el orden subdominante. En un futuro, podría ser interesante testear la
existencia de oscilaciones en teorías interactuantes, como por ejemplo, en non-Fermi liquids. Otro resultado
importante a destacar es que encontramos que la información mutua detecta a la superficie de Fermi todavía en el
orden dominante vía nuevos términos oscilatorios. Esta es una medida prometedora para testear sistemas
correlacionados. Finalmente, estudiamos la entropía relativa (y su generalización uniparamétrica) como medida de
distinguibilidad entre estados cuánticos. La entropía relativa exhibe un comportamiento super-extensivo para
estados en distintos sectores de superselección de carga, y además es monótona y finita. Estas propiedades resultan
útiles para un entendimiento no perturbativo de aspectos del flujo del RG a densidad finita. Para continuar en esta
línea, sería muy importante poder determinar cómo extraer propiedades intrínsecas de los puntos fijos a partir de la
entropía relativa. También sugerimos extender el presente trabajo a
2d
y explorar modelos holográficos.
AGRADECIMIENTOS
Se agradece a Horacio Casini por distintas discusiones y comentarios a lo largo del trabajo. LD cuenta con el apoyo
de CNEA y UNCuyo, Inst. GT cuenta con el apoyo de CONICET, ANPCyT, CNEA, y UNCuyo, Inst. Balseiro.
RM cuenta con el apoyo de IST Austria. MS cuenta con el apoyo de CONICET y UNCuyo, Inst. Balseiro.
También se agradece a la Asociación Argentina de Física por la posibilidad de presentar este artículo en el marco
de una Mención Especial por el Premio Luis Másperi 2020.
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