Anales AFA Vol. 33 Nro. 1 (Abril 2022 - Julio 2022) 6-11
https://doi.org/10.31527/analesafa.2022.33.1.6
Física médica
ESTUDIO ANALÍTICO Y POR SIMULACIÓN MONTE CARLO DE LA INFLUENCIA DE
CAMPOS MAGNÉTICOS INTENSOS EN LA TRAYECTORIA DE ELECTRONES CON
ENERGÍAS TÍPICAS DE RADIOTERAPIA MRI-LINAC
ANALYTICAL AND MONTE CARLO SIMULATION STUDY OF THE INFLUENCE OF
STRONG MAGNETIC FIELDS ON THE PATH OF ELECTRONS WITH ENERGY
TYPICAL OF MRI-LINAC RADIOTHERAPY
A. Gayol*1,2, M. Valente** 1,2,3
1Instituto de Física Enrique Gaviola, CONICET, FAMAF, UNC, Córdoba, 5000, Argentina.
2Laboratorio de Investigaciones e Instrumentación en Física Aplicada a la Medicina e Imágenes por
Rayos X - LIIFAMIR x
, FAMAF, Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba, 5000, Argentina.
3Centro de Física e Ingeniería en Medicina CFIM & Depto. de Ciencias Físicas, Universidad de la
Frontera, Temuco, 4780000, Chile.
Autor para correspondencia: * amielgayol@gmail.com ** mauro.valente@gmail.com
Recibido: 05/07/2021; Aceptado: 17/12/2021
ISSN 1850-1168 (online)
Resumen
El transporte y colisión de radiación puede describirse tanto por métodos analíticos como numéricos.
El formalismo estándar de Boltzmann derivado de la mecánica estadística requiere reformulaciones
específicas para contemplar la interacción con campos electromagnéticos externos. La verificación
de la correcta implementación del acoplamiento con campos electromagnéticos externos en códigos
de simulación Monte Carlo es de particular relevancia para confirmar la viabilidad del uso de esta
herramienta para describir aplicaciones complejas como radioterapia guiada por imágenes integrando
escáner de resonancia magnética al campo radiante de radiación ionizante con los consecuentes efec-
tos dosimétricos.
El presente trabajo reporta sobre la factibilidad y fiabilidad de los códigos Monte Carlo FLUKA y
PENELOPE para describir la trayectoria de electrones implementando el acoplamiento con campos
magnéticos intensos. Los resultados obtenidos confirman la capacidad de FLUKA y PENELOPE pa-
ra modelar las alteraciones en las trayectorias de electrones por efecto de campo magnético externo,
demostrando además un excelente acuerdo entre ambos códigos y con el modelo teórico-analítico
utilizado.
Palabras clave: IGRT, campos magnéticos, simulaciones Monte Carlo.
Abstract
Both analytical and numerical methods have proven to be suitable for describing radiation trans-
port and interactions. The standard Boltzmann formalism derived from statistical mechanics requires
to be specifically re-formulated to account for the interactions with external electromagnetic fields.
Verifying the proper implementation of the external electromagnetic field coupling in Monte Carlo
simulation codes is a key issue to confirm the feasibility of using such a tool to describe complex
applications like image-guided radiotherapy based on integrating magnetic resonance scanner to the
radiant field of ionizing radiation along with the subsequent dosimetric effects.
The present work reports on the feasibility and reliability of the Monte Carlo FLUKA and PENELO-
PE main codes to assess electron trajectory in presence of strong magnetic fields. The obtained results
confirm the ability of FLUKA and PENELOPE to model the alterations in the electron trajectories
1
due to external magnetic field effects, also demonstrating an excellent agreement between both codes
and with the theoretical-analytical model.
Keywords: IGRT, magnetic fields, Monte Carlo simulation.
1. INTRODUCCIÓN
La reciente incorporación de sistemas de imágenes por resonancia magnética (MRI) en los pro-
cedimientos terapéuticos con haces de fotones de megavoltaje producidos por aceleradores lineales
de uso clínico (LINAC) representa un nuevo tipo de tecnología que ha generado grandes expectativas
futuras, ya que permite la guía del tratamiento mediante imágenes in situ del paciente para la radio-
terapia de alta precisión [1]. Estos dispositivos, denominados MRI-LINAC por una de las principales
empresas manufactureras de aceleradores de uso clínico, Elekta®, ofrecen una mejora en la resolu-
ción temporal y en la visualización dinámica de la anatomía del paciente durante el tratamiento. De
este modo, es posible implementar compensaciones por movimientos, una planificación adaptativa en
tiempo real, y potencialmente, una intensificación del tratamiento [2].
La utilización del MRI-LINAC puede modificar el depósito de dosis en el paciente respecto a las
técnicas convencionales de radioterapia [3], ya que el funcionamiento del dispositivo terapéutico está
basado en el uso de campos magnéticos intensos, los que podrían alterar el campo de radiación ioni-
zante. Las trayectorias de electrones secundarios, y de partículas cargadas en general, son alteradas
por acción de la fuerza de Lorentz, pudiendo causar variaciones locales en la dosis [4]. Por tanto, en
este tipo de dispositivos híbridos de tratamiento guiado por imágenes debe tenerse en cuenta ciertas
consideraciones, tales como la interacción de los electrones secundarios con el intenso campo magné-
tico que produce el imán para adquirir imágenes por resonancia magnética [5]. El estudio del efecto
en el transporte de partículas cargadas acopladas a campos magnéticos externos puede abordarse, en
líneas generales por medio de modelos teórico-analíticos, caracterizaciones experimentales en caso
de contar con sistemas dosimétricos apropiados y, alternativa y/o complementariamente por medio de
modelado computacional con herramientas previamente convalidadas para este tipo de aplicaciones.
Por su parte, las simulaciones Monte Carlo son un conjunto de algoritmos matemáticos compu-
tacionalmente implementados que permiten el modelado de sistemas estocásticos mediante la uti-
lización de números aleatorios [6]. Las técnicas numéricas basadas en el método Monte Carlo han
probado ser una excelente herramienta para resolver numéricamente integrales definidas, y por lo
tanto, se ha extendido su aplicación al modelado del transporte de radiación bajo el formalismo de
Boltzmann [7], a partir de reformular la ecuación principal de Boltzmann en términos puramente de
integrales definidas. En particular, los códigos de simulación Monte Carlo, FLUKA [8-10] y PENE-
LOPE [11,12], han sido largamente validados en aplicaciones de física atómica, de radiaciones y
médica, demostrando una gran capacidad y precisión para el modelado del transporte de radiación
ionizante en diferentes materiales, incluyendo la versatilidad de incorporar campos electromagnéti-
cos a través de rutinas definidas por el usuario. De este modo, es posible calcular la trayectoria de
las partículas cargadas considerando los efectos producidos por campos magnéticos, similares a los
utilizados en la técnica de MRI-LINAC.
Existen varios trabajos recientes que reportan estudios sobre las alteraciones dosimétricas pro-
ducidas por la presencia de intensos campos magnéticos. A. J. Raaijmakers et. al., por ejemplo, han
estudiado el impacto en la dosis debido a las alteraciones de la trayectoria de los electrones producto
de la presencia de campos magnéticos intensos, utilizando abordajes experimentales y por simulacio-
nes Monte Carlo con el código Geant4 [13]. Por otro lado, el trabajo de R. G. Figueroa et. al. reporta
sobre el cálculo analítico del radio de curvatura y los ángulos de deflexión de haces de electrones
emitidos por un LINAC, sometidos a imanes permanentes de alta intensidad, utilizando un modelo
teórico electrodinámico con consideraciones relativistas, comparando posteriormente estos resultados
con valores obtenidos mediante simulaciones Monte Carlo con el código FLUKA [14].
En este contexto, uno de los principales objetivos del presente trabajo, es calcular por medio de
una aproximación teórica y mediante simulaciones Monte Carlo con los códigos FLUKA (versión
2
2020.0.6) y PENELOPE (versión 2008), el radio de curvatura en la trayectoria de electrones con
energías similares a las presentes en el campo de la radioterapia, sometidos a la presencia de un campo
magnético intenso, comparable al campo necesario para obtener imágenes por resonancia magnética.
Asimismo, se presenta una comparación exhaustiva entre los códigos de simulación implementados,
evaluando su capacidad de modelar los efectos de los campos magnéticos intensos utilizados en la
técnica de MRI-LINAC.
2. MÉTODOS Y MATERIALES
Configuración de estudio
Con el propósito de cuantificar la alteración en la trayectoria de los electrones ocasionada por la
presencia de campo magnético, así como también realizar una comparación entre los diferentes códi-
gos de simulación utilizados, se estudió el caso de haces de electrones propagándose en el vacío en
presencia de campo magnético constante, con el objetivo de atribuir las alteraciones única y exclusi-
vamente al efecto de acoplamiento con el campo magnético externo. Los valores de energía cinética
(E) utilizados para el haz de partículas fueron 0.5 MeV, 1.0 MeV, y 6.0 MeV. Intensidades de campo
magnético (B) de 0.25 T, 0.50 T, 1.0 T, 1.50 T y 2.0 T fueron empleadas con cada energía reportada.
Se remarca que los valores considerados para dichos parámetros representan valores característi-
cos de radioterapia y de MRI, respectivamente.
Las magnitudes típicas de campos magnéticos aplicadas en los tratamientos con MRI-LINAC son
0.5 T y 1.5 T [15,16]. Dado que en el presente trabajo se busca examinar la influencia de Ben el
radio de curvatura de la trayectoria de los electrones, siguiendo una metodología similar a la utilizada
por Raaijmakers et. al. en estudios previos [17], se optó por cubrir un amplio rango de intensidades,
teniendo en cuenta los valores de Bmencionados anteriormente.
Por otro lado, se decidió utilizar los valores de Ereportados, dado que 6 MV es el potencial
acelerador del haz típicamente propuesto para el dispositivo de radioterapia [18], y por lo tanto, la
máxima energía cinética que los electrones pueden alcanzar es de 6 MeV; mientras que 0.5 MeV y
1 MeV son valores representativos dentro del espectro de electrones secundarios producidos por los
fotones incidentes.
Mediante la interfaz gráfica Flair [19] se llevaron a cabo las simulaciones en FLUKA. Utilizando
las cartas BEAM, BEAMPOS y MGNFIELD presentes en la misma, se fijaron los parámetros nece-
sarios para representar un haz monoenergético y filiforme de electrones propagándose en la dirección
ˆ
k, correspondiendo a la dirección creciente del eje Z, dentro de una región con un campo magnético
constante en la dirección ˆ
i, correspondiendo a la dirección creciente del eje X. La incorporación del
campo magnético en la simulación del proceso de irradiación se implementó por medio de la carta
MGNFIELD, utilizando un STEPSIZE de 0.1 mm, y la definición de las propiedades del campo en un
file externo producido por el usuario, donde se especificó tanto la intensidad y la dirección del campo
en cada coordenada del set-up diseñado, como indica esquemáticamente la Fig. 1.
Mediante la incorporación del archivo a la interfaz de trabajo, se creó un programa ejecutable para
poner en funcionamiento la simulación considerando la presencia del campo magnético.
En cuanto a PENELOPE, utilizando el archivo traject.in distribución de PENELOPE v.2008, se
llevaron a cabo las simulaciones del transporte de partículas cargadas en vacío con presencia de campo
magnético. Los valores de la dirección e intensidad del campo, energía y tipo de partícula, así como
también de la dirección inicial del haz de radiación, se fijaron en acuerdo con las disposiciones del
set-up diseñado, descrito anteriormente para el caso de FLUKA. Los demás parámetros presentes en
traject.in se establecieron considerando las recomendaciones del archivo penfield.f, también incluido
en el paquete de distribución del código PENELOPE v.2008.
En ambos códigos, la cantidad de partículas primarias fue tal que las incertidumbres estadísticas
resultaran menores al 2%.
3
FIG. 1: Esquema simplificado del set-up diseñado para los estudios con simulación Monte Carlo de la altera-
ción en la trayectoria de electrones por presencia de campo magnético externo.
Procesamiento de datos y tratamiento de incertezas
En ambos códigos se llevó registro de la trayectoria de los electrones, generando un archivo como
output de cada simulación en el que se guardó el valor de las coordenadas cartesianas de las partículas
en cada uno de los pasos (STEP) del proceso de transporte. Los archivos de output conteniendo
los resultados fueron procesados por medio de un programa, en plataforma MatLab, de desarrollo
propio. Se implementó una metodología original para determinar finalmente en cada caso de estudio
el radio de curvatura RFyRPpara FLUKA y PENELOPE, respectivamente. La misma, se basó en
el ajuste de la ecuación de una circunferencia a las trayectorias correspondientes, tal como se reporta
esquemáticamente en la Fig. 2para el caso de energía cinética de 6 MeV.
FIG. 2: Esquema representando la metodología para el ajuste de la trayectoria de electrones de 6MeV pa-
ra determinar el radio de curvatura, utilizando los resultados proporcionados por PENELOPE (izquierda) y
FLUKA (derecha).
Dado que RFyRPfueron determinados directamente sobre la trayectoria de los electrones, la
incerteza asociada se estimó en términos del tamaño de píxel, ∆p, lo que da cuenta de la resolución
espacial del mapeo realizado por la simulación. FLUKA permite determinar la longitud y el numero
de subdivisiones de la región con campo magnético, LyNrespectivamente, de modo que ∆pFLUKA
queda determinado por la expresión (1). En cuanto a PENELOPE, como la longitud de cada tramo de
la trayectoria se calcula mediante subrutinas específicas del código que hacen uso de Ey la dirección
inicial, se determinó ∆pPENELOPE según la distancia Euclídea, correspondiente a la expresión (2). En
ella, los subíndices jyj+1 refieren a la posición actual e inmediatamente posterior de la partícula
para el j-ésimo camino libre, respectivamente.
∆pFLUKA =L
N=σRF(1)
4
∆pPENELOPE =q(xj+1−xj)2+ (yj+1−yj)2+ (zj+1−zj)2
=σRP.
(2)
Por otro lado, acorde a la expresión (3), y haciendo uso de los valores de EyBreportados previa-
mente, se calcularon los valores teóricos para el radio de curvatura en cada caso (Rr). Dicha expresión
analítica fue derivada por R. G. Figueroa et. al. [14], considerando un enfoque puramente relativista.
En ella, myerefieren respectivamente a la masa en reposo y a la carga del electrón; ca la velocidad
de la luz en el vacío; E0a la energía en reposo del electrón y γal factor de Lorentz, dado por la
expresión (4), en donde vrepresenta la velocidad del electrón.
Rr=γmc2
eB s1−1
(1+E
E0)2(3)
γ=1
q1−v2
c2
(4)
Asumiendo a EyBcomo fuentes de incerteza de la aproximación teórica, se determinó su incerti-
dumbre mediante teoría de propagación de errores. En el caso de la energía, en base a la información
reportada por trabajos previos del espectro energético típicamente presente en los dispositivos de MRI-
LINAC [18],se consideró, a modo de ejemplo, una variación de 3 %, que resulta representativa de las
incertezas en sistemas de detección espectroscópicos como detector de Germanio ultrapuro enfriado
por nitrógeno líquido, como el modelo GL1010 de CANBERRA, capaz de realizar determinaciones
experimentales [20] de espectros de alta energía en rangos comparables a las energías producidas en
el LINAC. En relación al campo magnético, se consideró a la homogeneidad/uniformidad como la
fuente de incertezas, valor que asciende a 4 ppm, aproximadamente, para el campo en los dispositivos
MRI de 1.5 T acoplados a LINACs Elekta, utilizados comúnmente en los prototipos MRI-LINAC para
radioterapia [21].
3. RESULTADOS Y DISCUSIONES
TABLA 1: Valores del radio de curvatura de la trayectoria de los electrones en vacío con presencia de campo
magnético constante.
E [MeV] B [T] RP[cm] RF[cm] Rr[cm]
0.5 0.25 1.16 ±0.03 1.14 ±0.01 1.16 ±0.02
0.5 0.50 0.58 ±0.01 0.56 ±0.01 0.58 ±0.01
0.5 1.00 0.291 ±0.007 0.28 ±0.01 0.291 ±0.005
0.5 1.50 0.194 ±0.005 0.19 ±0.01 0.194 ±0.003
0.5 2.00 0.146 ±0.004 0.14 ±0.01 0.146 ±0.002
1.0 0.25 1.90 ±0.05 1.88 ±0.01 1.90 ±0.03
1.0 0.50 0.95 ±0.02 0.93 ±0.01 0.95 ±0.02
1.0 1.00 0.47 ±0.01 0.45 ±0.01 0.474 ±0.008
1.0 1.50 0.316 ±0.008 0.31 ±0.01 0.316 ±0.005
1.0 2.00 0.237 ±0.006 0.23 ±0.01 0.237 ±0.004
6.0 0.25 8.7±0.2 8.64 ±0.03 8.7±0.2
6.0 0.50 4.3±0.1 4.31 ±0.03 4.33 ±0.08
6.0 1.00 2.17 ±0.05 2.15 ±0.03 2.17 ±0.04
6.0 1.50 1.44 ±0.04 1.44 ±0.03 1.44 ±0.03
6.0 2.00 1.08 ±0.03 1.07 ±0.03 1.08 ±0.02
5
La Tabla 1resume los principales resultados obtenidos para el radio de curvatura en función de
los valores de energía cinética e intensidad de campo magnético utilizados, provenientes tanto de los
ajustes a las trayectorias logrados por simulaciones Monte Carlo, como de la aproximación teórica.
Se observa que, dada una energía, el valor del radio decrece a medida que Baumenta. Este resul-
tado se muestra de acuerdo con las leyes del electromagnetismo; y en el contexto del presente trabajo
es de notar que la intensidad del campo magnético externo del escáner de resonancia magnética, tiene
un impacto directo en el efecto sobre las trayectorias de los electrones, y partículas cargadas en gene-
ral. Por otro lado, dada una intensidad de campo, el radio de curvatura aumenta junto con la energía
cinética de los electrones. Este resultado también se muestra de acuerdo con las leyes del electro-
magnetismo, y en el contexto del presente trabajo cabe mencionar que la alteración relativa de las
trayectorias de electrones, o partículas cargadas en general, se presentará más intenso para energías
cinéticas menores. Considerando que el radio de curvatura es una magnitud geométrica que coincide
con el inverso del valor absoluto de la curvatura en cada punto [22], se concluye que fijando un valor
de E, la deflexión en la trayectoria de los electrones es más pronunciada para intensidades elevadas
del campo magnético, mientras que para un valor fijo de campo magnético, la trayectoria se ve cada
vez menos perturbada al aumentar la energía cinética de las partículas cargadas.
También puede apreciarse a partir de la Tabla 1que los valores obtenidos para RFyRPson
comparativamente indistinguibles. Esta comparación demuestra una equivalencia entre los resultados
provistos por lo dos códigos de simulación utilizados. Asimismo, se confirma la capacidad de los
mismos de incorporar la presencia de campos magnéticos en el estudio del transporte de radiación en
vacío.
FIG. 3: Dependencia del radio de curvatura con la intensidad del campo magnético (para energía cinéti-
ca constante) comparando con modelos analíticos, junto a sus correspondientes incertidumbres. Energía de
0.5MeV (a), energía de 1.0MeV (b) y energía de 6.0MeV (c).
Por otro lado, puede también inferirse a partir de la Fig. 3, que se obtuvo un excelente acuerdo
entre la formulación relativista para el radio de curvatura, y los valores obtenidos mediante FLUKA y
PENELOPE. Se remarca así la necesidad de un modelo analítico con un abordaje relativista, para los
valores de energía utilizados en el presente estudio, típicos en el ámbito de la radioterapia en general.
La concordancia entre los valores del radio obtenido analíticamente con las simulaciones, constituye
una prueba de sostén para la viabilidad y confiabilidad de ambos códigos para modelar el transporte
de radiación en presencia de campos magnéticos intensos, al menos en vacío.
Por último, a modo de verificación externa de la metodologia desarrollada, se consideró como
referencia para comparación, el valor del radio para el caso de un haz de electrones de 6 MeV sometido
a un campo magnético de 0.9 T, logrado con FLUKA y reportado por R. G. Figueroa et. al. [14]. Los
resultados de la comparación se reportan en la Tabla 2.
6
TABLA 2: Radio de curvatura de la trayectoria de un haz de electrones de 6MeV sometido a un campo
magnético de 0.9T , logrado por R. G. Figueroa et. al. obtenido con FLUKA (columna 1) y con la metodología
propia desarrollada (columnas 2 y 3).
Valor reportado
por R. G. Figueroa
et. al. [cm]
RP[cm]Rr[cm]
2.4±0.1 2.41 ±0.06 2.41 ±0.04
4. CONCLUSIONES
Se desarrollaron dos herramientas independientes de simulación Monte Carlo adaptando subru-
tinas de los códigos FLUKA y PENELOPE, capaces de determinar alteraciones en la trayectoria de
electrones, y que pueden extenderse a partículas cargadas en general, en presencia de campos magné-
ticos intensos. En base a las herramientas de simulación desarrolladas, se modeló el efecto de campos
magnéticos intensos sobre la trayectoria de electrones con energía cinética dentro del rango de in-
terés para la radioterapia, logrando reproducir condiciones generales similares a las presentes en los
tratamientos de radioterapia guiada por imágenes con los dispositivos de MRI-LINAC.
Además, se propuso, desarrolló e implementó una metodología para estimar el radio de curvatu-
ra a partir de la trayectoria de los electrones, y de partículas cargadas en general, obtenidas de las
simulaciones Monte Carlo; así como un modelo para el tratamiento de las incertezas asociadas.
Por otro lado, se utilizó un modelo analítico reportado en literatura para describir el radio de
curvatura, considerando una aproximación relativista.
Los resultados obtenidos confirman que la curvatura de la trayectoria de los electrones, y de las
partículas cargadas en general, depende fuertemente de la intensidad del campo magnético al que
están sometidos, así como también de la energía cinética que poseen.
Al comparar los valores del radio de curvatura logrados mediante simulaciones Monte Carlo, y
la posterior metodología de tratamiento de datos e incertezas, con la formulación teórica, se confir-
mó la conveniencia de un enfoque relativista dentro del rango energético comúnmente utilizado en
radioterapia.
Se realizó una evaluación comparativa preliminar entre los códigos de simulación utilizados ob-
teniendo resultados por demás satisfactorios en términos del excelente acuerdo, basado en la indistin-
guibilidad de los resultados, entre ambos códigos. Asimismo, se confirmó la viabilidad y robustez de
éstos para incorporar y modelar el efecto de los intensos campos magnéticos.
Por último, cabe destacar que debido al hecho de que los electrones, radiación directamente io-
nizante, intervienen de manera significativa en el depósito de dosis en radioterapia, la información
reportada en el presente estudio sobre su comportamiento bajo la influencia de campos magnéticos
similares a los utilizados en la técnica de MRI-LINAC, se da cuenta de la relevancia derivada de la
presencia de campos magnéticos intensos en cuanto a los potenciales cambios dosimétricos al im-
plementarse esta tecnología MRI-LINAC, así como también la relevancia y creciente necesidad de
estudio de dicho proceso.
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