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Anales AFA Vol. 33 Nro. 4 (Enero 2023 - Marzo 2023) 90-98
https://doi.org/10.31527/analesafa.2022.33.4.90
Óptica y Fotofísica
SISTEMA DE MEDICIÓN DE ERROR DE FOCO: CONSIDERACIONES PRÁCTICAS
DEL DISEÑO
FOCUS ERROR MEASUREMENT SYSTEM: PRACTICAL DESIGN
CONSIDERATIONS
F. Zaldivar Escola *1
1 Laboratorio de Haces Dirigidos (LHD) – Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires –
(FIUBA-CONICET). Paseo Colón 850 – (C1063ACV) San Telmo – Ciudad de Buenos Aires –
Argentina.
Autor para correspondencia: * fzaldivar@fi.uba.ar
Recibido: 10/07/2022; Aceptado: 20/09/2022
ISSN 1850-1168 (online)
Resumen
Se presenta un estudio detallado de las consideraciones prácticas del diseño de un sistema de
medición de error de foco mediante simulaciones numéricas basadas en matrices de rayos ABCD
para haces gaussianos. Los resultados obtenidos pueden aplicarse equivalentemente a los casos de
medición por reflexión o por transmisión, dado que los mismos resultan idénticos a menos de un
cambio de variables. En todos los casos, los cálculos consideran la forma real del tipo de detector
utilizado debido a que éstos poseen gaps que separan los diversos cuadrantes, afectando a su
eficiencia. Las distancias involucradas entre los componentes ópticos son barridas a fin de estudiar
el comportamiento de la sensibilidad, permitiendo maximizarla dependiendo de la aplicación.
Palabras clave: error de foco, haz astigmático, haz gaussiano.
Abstract
A detailed study of the practical design considerations for a focus error measurement system
through numerical simulations, based on ABCD ray matrix for Gaussian beams, is presented. The
results obtained can be applied in an equivalent way to the cases of reflection or transmission
measurement, since these are identical by means of a change of variables. In all cases, the
calculations consider the actual shape of the detector used, since these have gaps that separate the
quadrants, affecting their efficiency. The distances involved between the optical components are
swept in order to study the behavior of the sensitivity, maximizing it depending on the application.
Keywords: focus error, astigmatic beam, gaussian beam.
I. INTRODUCCIÓN
El método de medición de error de foco utilizando un haz de luz astigmático [1, 2] se utiliza
ampliamente debido a su fácil operación, alta sensibilidad y bajo costo. Actualmente, el mismo se
incorpora en los diseños de la mayoría de los cabezales de lectoras y grabadoras de CD, DVD y
Blu-Ray, y existe un gran número de aplicaciones en ciencia entre las cuales pueden destacarse los
sistemas de medición de desplazamientos lineales y angulares [3], perfilometría [4-6], medición de
espesores [7], interferometría [8], acelerómetros [9], medición de propiedades térmicas [10] y los
desarrollos del grupo para la caracterización de la absorción de óptica utilizada para láseres de muy
alta potencia [11-13].
2
El sistema puede dividirse en 4 etapas: 1-Láser de prueba, 2-Óptica de enfoque, 3-Detector y
4Generador de la señal de error de foco. El láser de prueba utilizado posee un perfil gaussiano que
puede ser elíptico y astigmático o circular y su astigmatismo generarse en la etapa 2 por medio de la
utilización de al menos una lente cilíndrica. La longitud de onda (λPrueba) del láser de prueba es
elegida en función de las propiedades ópticas de la muestra y dependiendo de si el sistema se
construye para la medición por transmisión [11-13] o por reflexión [10].
Así mismo, la etapa 2 depende del sistema de medición deseado y en su diseño se busca lograr
que el haz se enfoque sobre el detector a un tamaño determinado por las dimensiones del mismo. En
la etapa 3, típicamente se utiliza un detector de cuatro cuadrantes para medir la variación del perfil
de intensidad del haz astigmático. Este detector está conformado por un arreglo de cuatro
fotodiodos idénticos (C1, C2, C3 y C4) dispuestos uno en cada cuadrante de un sistema de ejes
cartesianos. Existen variantes que utilizan una cámara CCD [7] de forma análoga a un detector de
cuatro cuadrantes simplemente particionado las imágenes adquiridas en cuatro cuadrantes elegidos
convenientemente. Si bien, en algunos casos, esto facilita el sistema óptico cuando se desea
observar la muestra en simultaneo con la medición de desenfoque y permite independizarse de la
orientación del detector respecto a la orientación del haz astigmático, esto posee la desventaja de
que el sistema de detección se vuelve más lento debido a los tiempos de adquisición de la cámara y
la necesidad de postprocesamiento. La señal detectada es denominada señal de error de foco y se
compone a partir de la señal de tensión proveniente de cada uno de los cuadrantes, mediante el
cálculo del desbalance en las diagonales (C1+C3)-(C2+C4). Este cálculo es realizado en la etapa 4
ya sea por medio de amplificadores operacionales [13] o mediante la digitalización de cada canal y
el postprocesamiento.
La mayoría de las aplicaciones utilizan configuraciones heredadas del diseño incorporado en los
cabezales comerciales, cuyo principal objetivo es la minimización de la cantidad de elementos
ópticos para la reducción de costos y espacio, dejando en último lugar a la sensibilidad como una
magnitud a maximizar bajo estas restricciones, siempre y cuando se satisfagan los requerimientos de
un sistema determinado. Por otra parte, si bien la base de funcionamiento del método es muy
conocida sigue habiendo una falta de consenso en cuanto a la elección óptima de los parámetros y
se han realizado trabajos de maximización de la sensibilidad del sistema para diversas
configuraciones [11, 12, 14, 15].
En la Sección II se discute el formalismo para la construcción de una simulación numérica,
basada en matrices de rayos ABCD para haces gaussianos [16], que permite el cálculo de la
sensibilidad del sistema medición de error de foco como función de sus parámetros constructivos. A
diferencia de las configuraciones utilizadas en la mayoría de las aplicaciones, la configuración
propuesta corresponde al caso de un haz gaussiano circular cuyo astigmatismo es generado en la
etapa 2 a partir del uso de dos lentes cilíndricas idénticas, dado que posee la ventaja de tener un
mayor control de los parámetros del sistema. En la Sección III se presenta el procedimiento seguido
para el diseño del sistema de medición de error de foco utilizado en un trabajo previo de este grupo
[12], con el objetivo de mostrar el comportamiento de las ecuaciones presentadas en la Sección II.
Finalmente, en la Sección IV, se presentan las conclusiones generales del trabajo y se detallan
consideraciones prácticas a tener en cuenta para el diseño de un sistema de medición de error de
foco.
II. FORMALISMO
Configuraciones desacopladas
La Fig. 1 muestra esquemas básicos del sistema de medición por reflexión y por transmisión
(caso haz gaussiano circular). La medición por reflexión es utilizada cuando se desea conocer el
apartamiento de una muestra a lo largo del eje normal a su superficie, como es el caso de los
sistemas de control de foco automatizado. Por otra parte, la medición por transmisión no es sensible
a dicho apartamiento sino al gradiente del índice de refracción de la muestra, una magnitud
3
controlada en los sistemas de medición por lente térmica [12, 13]. Para el caso por reflexión (Fig.
1a), el haz previamente colimado se refleja primero en el semiespejo SE1 y se enfoca mediante la
lente L1 sobre la superficie altamente reflectante de la muestra (a λPrueba) de la cual se desea conocer
su posición Z1. La porción del haz de prueba reflejada sobre la superficie es colectada por la lente
L1 y dirigida a un sistema de lentes cilíndricas LCx y LCy luego de atravesar el semiespejo SE1. En
esta etapa el sistema se vuelve idéntico al de transmisión (Fig. 1b) que alcanza las lentes cilíndricas
luego de atravesar una muestra con coeficiente de transmisión alto a λPrueba. El haz de prueba
utilizado posee un perfil gaussiano circular, pero mediante el uso de las lentes cilíndricas LCx y LCy,
cuyos ejes son colocados perpendiculares entre sí, se lo vuelve astigmático. De esta forma,
colocando el detector de cuatro cuadrantes (4Q) con sus ejes a 45◦ respecto a los ejes de las
lentes cilíndrica es posible medir el desenfoque del haz de prueba en la posición del detector.
FIG. 1: Esquemas básicos del sistema de medición de error de foco (a) por reflexión y (b) por transmisión.
La Fig. 2 muestra un ejemplo de la variación del perfil de intensidad de un haz astigmático sobre
el detector de cuatro cuadrantes y la señal de error de foco (FE, por sus siglas en inglés)
normalizada por la señal suma (C1+C2+C3+C4), como se expresa en la Ec. (1). Se grafica en
función de la dirección de propagación z de dicho haz, normalizada por el parámetro ZR (rango de
Rayleigh), para un caso particular de astigmatismo simétrico. En este trabajo se denomina
astigmatismo simétrico cuando los radios mínimos de cada eje de la elipse (cinturas Wc) del haz
gaussiano en las direcciones e son iguales y asimétrico cuando no lo son.
(C1+C3)−(C2+C4)
FE = (1)
C1+C2+C3+C4
Como puede observarse en la Fig. 2, en este caso particular que se obtiene al desplazar el
detector en la dirección de propagación , la antisimetría del perfil de intensidad del haz respecto a
la posición z = 0 (haz circular) se traduce en una señal FE antisimétrica que pasa por cero en dicha
posición, dado que todos los cuadrantes se igualan. Nótese además que a medida que z aumenta en
cualquiera de las direcciones, la señal FE va tendiendo a cero nuevamente dado que las elipses
comienzan a sobresalir del área del 4Q, llegando a llenarlo por completo. En los esquemas de la Fig.
1 el detector se mantiene fijo y lo que produce el cambio del perfil de intensidad sobre el detector es
el desenfoque debido ya sea a un corrimiento Z1 (para el caso de reflexión) o a la variación del
índice de refracción (para el caso de transmisión). La pendiente de la zona lineal alrededor de la
posición de desenfoque 0 (resaltada con una línea de trazos en la Fig. 2) determina la sensibilidad
del sistema, por lo que su maximización es fundamental. El problema se vuelve complejo si el
astigmatismo no es simétrico, algo común en muchos sistemas debido a la incorporación de, por
4
ejemplo, sistemas ópticos intermedios o sistemas de barrido que obligan a alejar los componentes
del sistema de medición de error de foco.
Propagación del haz de prueba
Para estudiar la sensibilidad de los sistemas de medición de error de foco es necesario conocer
cómo varía la señal FE en función de los parámetros del sistema. Esta señal dependerá de las
integrales de superficie de la intensidad I que llegue a cada cuadrante. A partir de la Ec. (1) esto
resulta:
FIG. 2: Esquema típico de la señal FE (Ec. (1)) obtenida en un detector de cuatro cuadrantes cuando se
barre un haz astigmático simétrico en su dirección de propagación . Los mapas de la parte inferior
representan el perfil de intensidad del haz sobre el detector en los puntos marcados en azul sobre la señal
FE. La distancia de propagación z se encuentra normalizada por ZR (rango de Rayleigh) y las coordenadas
del detector (xd, yd), se normalizan por el tamaño de la cintura del haz Wc.
(2)
Para un modo gaussiano elíptico se tiene que la intensidad puede ser escrita como:
(3)
donde se incluye un prefactor de forma que la intensidad total del haz es normalizada a 1 y, dado
que las integrales de la Ec. (2) se realizan sobre la superficie de cada cuadrante del detector, las
coordenadas (x, y) del sistema óptico son transformadas a coordenadas sobre el detector (xd, yd)
rotado 45◦.
Los parámetros Wx y Wy en la Ec. (3) son los radios de cada eje de la elipse, donde la intensidad
cae a 1/e2 del valor máximo y pueden ser calculados a partir de los parámetros gaussianos complejos
qx y qy de las direcciones e , respectivamente, como se indica en la Ec. (4).
(4)
5
siendo k0 el número de onda, Rs el radio de curvatura del haz y el complejo conjugado de qs . En
particular, los valores mínimos alcanzados por Wx y Wy (cintura del haz) se denotan como WCx y
WCy, respectivamente.
El problema parte entonces del cálculo de los parámetros qr del haz en la posición del detector
para cada eje por separado, para luego computar las integrales de la Ec. (2). En particular estas
integrales deben ser calculadas considerando que los detectores de cuatro cuadrantes poseen una
longitud finita y gaps que separan los diversos cuadrantes, mayormente en el centro, lo cual reduce
su eficiencia.
Mediante el uso de las matrices de rayos ABCD para haces gaussianos [16], es posible resolver
la propagación del haz de prueba que atraviesa cada uno de los sistemas de medición de la Fig. 1
bajo la aproximación paraxial y obtener los parámetros qr en la posición del detector de cuatro
cuadrantes. Esto permite simular la señal FE para diversas configuraciones y obtener la sensibilidad
del sistema en cada caso.
La Fig. 3a muestra un esquema de la propagación de los haces a través del sistema óptico para el
caso de medición por reflexión. La misma corresponde a una adaptación de la Fig. 1a donde solo se
representa el haz de prueba reflejado para un caso enfocado y uno desenfocado. El haz de prueba
posee un parámetro gaussiano q1 en la posición focal objeto de la lente L1, ubicada a una distancia f1
hacia la izquierda de la misma. Esta es la posición de foco de la muestra (Z1 = 0), por lo que el haz
reflejado posee igual parámetro gaussiano q1 en la misma posición. Luego de atravesar la lente L1,
la cintura del haz se ubica en la posición focal imagen, ubicada a una distancia f1 hacia la derecha de
la misma, con un parámetro gaussiano q0. A partir de allí el haz se propaga libremente una distancia
f+δ0-Dz para el eje , o f+δ0+Dz para el eje . Cada lente cilíndrica de distancia focal f enfoca al
haz, que luego se propaga una distancia f+Zdet+Dz para el eje o f+Zdet-Dz para el eje . La
posición Zdet corresponde al plano donde los radios Wx y Wy del haz, de parámetros gaussianos qx y
qy en los ejes e , se hacen iguales para el caso Z1 = 0. Esto conlleva a un perfil de intensidad
circular que anula la señal FE.
FIG. 3: Esquema de propagación del haz de prueba para el caso de (a) reflexión y (b) transmisión. La
referencia de colores indica, en ambas figuras, el camino de los haces enfocados o desenfocados, en cada
dirección, por (a) un desplazamiento de la muestra Z1 o (b) la inducción de una lente térmica LT.
6
Si la muestra se aleja de la posición de foco ( ), la reflexión del haz de prueba se desenfoca,
trasladándose su cintura una distancia 2Z1 y manteniendo el parámetro gaussiano q1 debido a la
superficie especular de la muestra. Luego al atravesar la lente L1 éste se enfoca a una distancia Z0r
de la distancia focal imagen de dicha lente con parámetro gaussiano q0r. Este desplazamiento
produce un cambio en el perfil de intensidad sobre el detector de cuatro cuadrantes, lo cual es
parametrizado a partir de la señal FE.
Análogamente, la Fig. 3b muestra un esquema de la propagación de los haces a través del
sistema óptico para el caso de medición por transmisión. El haz de prueba incide sobre la muestra
con parámetro gaussiano q0. Para el caso en que no existe un gradiente de índice de refracción, el
haz se propaga de manera equivalente al caso de la Fig. 3a con Z1 = 0. Por otra parte, si se genera
dicho gradiente, por ejemplo, mediante la inducción de una lente térmica (LT) con distancia focal
fgn, como en [12, 13], esto afectará el haz que atraviesa la muestra enfocándolo a una distancia Z0t
de la superficie incidida con un parámetro gaussiano q0t. Nuevamente, este desenfoque conllevará a
un cambio en el perfil de intensidad del haz que alcanza el detector de cuatro cuadrantes
modificando la señal FE.
Equivalencia de las configuraciones
El problema de estudio de la sensibilidad del sistema para la medición de error de foco por
reflexión o por transmisión para un parámetro gaussiano común q0, resulta equivalente si se
considera el cambio de variables que iguala los parámetros:
(5)
Es decir que se busca la transformación que hace que ambos sistemas den como resultado que
un mismo haz se enfoca en una posición idéntica y con el mismo parámetro gaussiano, antes de
atravesar las lentes cilíndricas.
Para calcular la posición Z0r y el parámetro q0r consideremos la matriz de rayos que describe la
propagación hasta dicho punto. Esto es:
(6)
De manera análoga, para calcular Z0t y q0t consideremos la matriz de rayos hasta este punto:
(7)
De forma general se tiene que un haz que ingresa con un parámetro gaussiano qin, a un sistema
óptico descripto por la matriz de rayos ABCD, emerge del mismo con parámetro qout el cual
transforma como [16]:
(8)
De esta manera, los parámetros complejos gaussianos de los casos de estudio resultan:
7
(9)
donde Re(q0) = Re(q1) = 0 (parte real) por tratarse de parámetros gaussianos donde el haz se
encuentra enfocado (Radio de curvatura R → ∞ ).
Si se repite esta condición de parte real nula para q0r y q0t, para hallar las posiciones donde el haz
se enfoca nuevamente, se obtiene:
(10)
que se satisfacen para:
(11)
A su vez en estas posiciones, los parámetros complejos gaussianos resultan:
(12)
En particular para Z0r = 0 se tiene:
(13)
Por lo que, reemplazando la Ec. (13) en (12) y (11) puede verse que la equivalencia entre los
problemas se tiene para el cambio de variables:
(14)
Finalmente, la matriz del sistema completo que considera el haz llegando hasta el detector de
cuatro cuadrantes puede escribirse para ambos casos (transmisión y reflexión) como:
(15)
donde el signo superior corresponde a la dirección ˆx y el signo inferior a la dirección ˆy. Siendo:
(16)
8
y la posición Zdet es donde Wx = Wy (o análogamente W2x = W2y ) para el caso Q = 0, que a partir de
las Ecs. (4) y (8), con qin = q0 y qout = qx, se obtiene:
(17)
Reemplazando los elementos de la matriz de la Ec. (16), la Ec. (17) se satisface cuando:
(18)
que tiene como posibles soluciones:
(19)
(20)
(21)
siendo la solución en Ec. (19) la correspondiente al caso trivial en que no hay astigmatismo. La
solución en Ec. (20) corresponde al caso de astigmatismo simétrico donde las cinturas del haz en las
direcciones ˆx e ˆy son iguales (Wcx = Wcy). Las soluciones en Ec. (21) corresponden al caso de
astigmatismo asimétrico donde dichas cinturas son diferentes . Esta diferencia provoca
que la divergencia en uno y otro eje sean diferentes lo cual conlleva a la existencia de dos
soluciones, entre las posiciones focales del haz en uno y otro eje, y que carece de utilidad
para este estudio dada la magnitud de los valores que puede alcanzar, dependiendo de los
parámetros |q0|, f, δ0 y Dz que se utilicen.
Simulación numérica
Conocida la posición del detector Zdet en función de los parámetros |q0|, f, δ0 y Dz y los radios Wx
y Wy en función de los parámetros |q0|, f, δ0, DZ y Q, es posible calcular las integrales de la Ec. (2)
en forma numérica, teniendo en cuenta la geometría del detector. La integral numérica de FE es
expresada como sumatoria en la Ec. (22). Estas sumatorias se realizan a lo largo de cada cuadrante
de coordenadas xd(m), yd(l) discretizadas con un paso ∆det en los intervalos [xd(−mmax), xd(mmax)] y
[yd(−lmax), yd(lmax)], respectivamente. Los gaps intermedios entre los cuadrantes del detector son
considerados asignado a cada punto (xd(m), yd(l)), un peso igual a p(m,l) = 1 si se encuentra dentro de
un cuadrante o de p(m,l) = 0 si se encuentra dentro de un gap.
(22)
donde:
9
(23)
y el denominador es la señal compuesta por la suma total de los cuatro cuadrantes:
(24)
La sensibilidad del sistema estará determinada por la pendiente del gráfico de señal FE (Ec. (2))
vs Q (Ec. (14)) alrededor de Q = 0. Ésta pendiente dependerá de los parámetros |q0|, f, δ0 y Dz y se
calcula como:
(25)
En este trabajo, la sensibilidad es calculada numéricamente a partir de la interpolación lineal de
la expresión para FE en la Ec. (22) evaluada en un entorno de Q = 0 para un conjunto discreto de
valores de Q. La elección particular de los parámetros |q0|, f, δ0, Dz y Q dependerá del caso de
estudio.
II. CASO DE ESTUDIO
En [12] se utiliza un sistema de medición por transmisión (véase Fig. 1b), empleando un láser
HeNe que emite un modo gaussiano circular de longitud de onda λ = 632.8 nm. En ese caso el
parámetro Q corresponde a la lente térmica inducida por un segundo láser (bombeo) concéntrico
con el de láser de prueba. Este láser calienta localmente la muestra generando un gradiente del
índice de refracción que enfoca el láser de prueba. La resolución espacial esperada para el barrido
conlleva a una cintura del haz de prueba enfocado en la posición de la muestra de W0 = 23 µm lo
que lleva a un valor |q0| ≃ 2.6 mm. Por otra parte, la geometría y dimensiones del detector de cuatro
cuadrantes utilizado se representan en el mapa de la Fig. 4. Dicho detector posee un gap entre
cuadrantes de 13 µm, un gap central de 65 µm y un tamaño aproximado de 503 µm × 503 µm por
cada cuadrante. La distancia focal de las lentes cilíndricas se eligió buscando que el radio del haz,
en la posición del detector, sea de dimensiones comparables a la de los cuadrantes para el caso δ0 =
DZ = 0, resultando en f = 75 mm. De esta manera, habiéndose prefijado los valores de |q0| y f, la
sensibilidad del sistema solo dependerá de los parámetros δ0 y DZ.
A su vez, el mapa de la Fig. 4 es utilizado en la simulación numérica correspondiendo a las
posiciones en las que el algoritmo desarrollado calcula la intensidad del haz en las coordenadas del
detector de cuatro cuadrantes. El paso elegido para la coordenada espacial en cada dirección del
detector es ∆det = 1 µm.
FIG. 4: Mapa de coordenadas del detector de cuatro cuadrantes utilizado para el cálculo de las integrales
de la ecuación (2). La imagen mostrada posee un paso 10 veces mayor al utilizado para permitir apreciar el
reticulado.
10
FIG. 5: Mapas en función del espacio de coordenadas (2Dz/f, δ0/f), definidas en la Fig. 3, de (a) Wx
adimensionalizado por el tamaño del gap central (escala logarítmica) y (b) posición donde se coloca el
detector de cuatro cuadrantes normalizada por f, Soluciones de interés de la Ec. (18).
Los valores de Wx en el detector para Q = 0 (Wx = Wy, ver Ec. (17)) son presentados en forma
de mapa en la Fig. 5a adimensionalizados por el valor del tamaño medio del gap central (65 µm) del
detector (en escala logarítmica) y en función de las variables normalizadas 2Dz/f (distancia total
entre las lentes cilíndricas) y δ0/f.
La Fig. 5b muestra un mapa de las soluciones de interés de la Ec. (18) normalizadas por f (Zdet/f)
nuevamente para el espacio de coordenadas (2Dz/f, δ0/f). A lo largo de este estudio el parámetro Dz
fue barrido entre 0 y f con pasos de f/300 y el parámetro δ0 entre 0 y 2f con pasos de f/150.
Como puede observarse en la Fig. 5a, Wx puede tomar valores de aproximadamente un orden de
magnitud menor que el tamaño del gap central. Este hecho afecta considerablemente a la señal suma
(Ssuma, ver Ec. (24)), dado que en el interior del gap la misma se anula. Por otra parte, la Fig. 5b
permite conocer la posición donde debe colocarse el detector de cuatro cuadrantes para una dada
configuración. Puede observarse que para δ0/f<1 , esta posición es independiente de la distancia
entre las lentes cilíndricas, mientras que para δ0/f>1 , comienza a verse una dependencia con dicha
distancia que se hace más relevante a medida que la misma crece.
La Fig. 6 muestra una comparación de los mapas de la señal Ssuma en el espacio de coordenadas
(2Dz/f, δ0/f) para el caso en que el gap es considerado (Fig. 6a) y para el caso en que no (Fig. 6b).
Puede observarse que en el caso que el gap es considerado, la señal Ssuma toma valores mínimos
cuando Wx es menor que el tamaño del gap, mientras que cuando no es considerado, la misma toma
valores máximos (cercanos a log10(1)=0 por la normalización).
11
FIG. 6: Mapas en función del espacio de coordenadas (2Dz/f, δ0/f), definidas en la Fig. 3, de la señal Ssuma en
escala logarítmica para el caso (a) considerando los gaps del detector (b) sin considerarlos.
Finalmente, para estudiar la sensibilidad del sistema se realizó el cálculo numérico de la señal
FE a partir de la Ec. (22), barriendo los parámetros Dz y δ0 como se indicó anteriormente y el
parámetro Q entre -10 m−1 y 10 m−1 con pasos de 2 m−1.
La Fig. 7 muestra la comparación de los mapas de los valores alcanzados por el valor absoluto
de la derivada (sensibilidad del sistema) de la Ec. (25), nuevamente para los casos con gaps (Fig.
7a) y sin gaps (Fig. 7b). Puede observarse que los valores alcanzados por la derivada considerando
el gap son superiores al caso sin gap en la región donde el haz comienza a ser menor que el tamaño
del gap central (ver Fig. 5a). Esto se debe a que el centro del detector de cuatro cuadrantes, funciona
como un pinhole que afecta a la señal Ssuma (ver Fig. 6a) y vuelve más sensible al sistema ante
variaciones de la forma del haz. Si bien este hecho presenta una mejora en la sensibilidad del
sistema, obliga a un aumento de la potencia del haz de prueba dado que la señal suma decae en esa
misma región.
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FIG. 7: Mapas en función del espacio de coordenadas (2Dz/f, δ0/f), definidas en la Fig. 3, del valor absoluto
de la derivada (sensibilidad del sistema) de la Ec. (25) en escala logarítmica, para el caso (a) considerando
los gaps del detector (b) sin considerarlos. Las zonas blancas en la esquina inferior izquierda de cada mapa,
corresponden a valores fuera de la escala graficada donde la derivada tiende a cero. La línea sobre el mapa
delimita el cambio de signo de la derivada.
Por otra parte, en ambos casos la derivada presenta un cambio de signo a partir de la región
delimitada con una línea de trazos en el mapa. Esto puede observarse en la Fig. 8 donde se muestran
los radios del haz Wx, Wy en la posición del detector y la señal FE como función del parámetro Q
para dos pares (2DZ/f, δ0/f) diferentes, uno en la región de derivada positiva y otro en la región de
derivada negativa. Nótese que este cambio de signo corresponde a la inversión de las posiciones de
las cinturas del haz en una y otra dirección respecto al punto Q = 0.
Cabe destacar que la elección final de las posiciones dependerá del sistema particular a
desarrollar debido a que la interposición de otros elementos ópticos e incluso las piezas propias de
montaje de los componentes de este sistema, limitarán las distancias mínimas de Dz y δ0 que se
puedan alcanzar.
III. CONCLUSIONES
Dado el amplio espectro de aplicaciones de los sistemas de medición de error de foco, la
optimización de su sensibilidad es altamente relevante. Esta optimización, requiere de información
que depende fuertemente de la aplicación particular y de las componentes elegidas para su
construcción. Sin embargo, se ha mostrado que, para las configuraciones desacopladas propuestas,
es posible tratar a los sistemas de medición por reflexión o por transmisión de manera análoga a
partir de un simple
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FIG. 8: Radios del haz de prueba Wx, Wy en la posición del detector y señal FE como función del parámetro
Q para (a) (2Dz/f = 1.8, δ0/f=1.3), (b) (2Dz/f = 0.2, δ0/f=1.3).
cambio de variables y se ha desarrollado un método de cómputo de la sensibilidad de dichos
sistemas a partir de una simulación numérica.
Dentro de las componentes a elegir, se halla el detector a utilizar. En el caso de usarse un
detector de cuatro cuadrantes, además de la forma y tamaño del mismos, es necesario considerar los
gaps donde no se detecta la luz incidente. Por un lado, si el haz se enfoca a un tamaño mucho menor
al tamaño del gap central se produce una pérdida de la señal suma lo cual obligará a aumentar la
potencia del haz. Este aumento, quedará limitado por la tolerancia del detector utilizado.
Por otra parte, a partir de la simulación numérica detallada, se observó un aumento de la
sensibilidad del sistema en zonas donde el radio del haz es igual o menor al tamaño del gap central,
el cual actúa como un pinhole volviendo al detector más sensible ante variaciones de la forma del
haz en comparación con un caso sin gap. En particular, esta sensibilidad aumenta aún más cuando
se atraviesa la región de cambio de signo de la derivada de la Ec. (25), en la cual las cinturas del haz
en cada dirección invierten el orden en el cual se ubican respecto del detector.
Este resultado permite notar la existencia de una relación de compromiso entre la pérdida de la
señal suma por sobre-enfocado y el aumento en la sensibilidad del sistema. En general y a modo de
conclusión final, bastará con concentrar los esfuerzos en el diseño del sistema, de modo que el radio
del haz sobre el detector sea del orden del tamaño del gap central. Luego a partir de un análisis del
sistema, empleando de la simulación propuesta, corregir las posiciones de los componentes ópticos
de modo de aumentar la sensibilidad al límite máximo establecido por las dimensiones reales que
pueden definirse.
AGRADECIMIENTOS
Se agradece a la Universidad de Buenos Aires y al Consejo Nacional de Investigaciones
Científicas y Técnicas (CONICET) por el financiamiento de este trabajo.
14
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