Anales AFA - XVI Meeting on Recent Advances of Physics of Fluids and its Applications 1-5
CLASIFICACIÓN DINÁMICA DE FLUJOS DE BELTRAMI
DYNAMIC CLASSIFICATION OF BELTRAMI FLOWS
R. González*1
1Instituto de Desarrollo Humano (IDH) – Universidad Nacional De General Sarmiento,
Juan María Gutierrez 1150 – (1613) Buenos Aires – Argentina.
Recibido: 02/08/2021; Aceptado: 29/11/2021
Se estudian cuatro configuraciones de flujos de Beltrami (FB) definidos como ∇×v=±γ±v, en la que γ>0 es un
autovalor y que poseen una dinámica de onda rotante progresiva (ORP) que cumple la propiedad dinámica (PD) [1],
lo que permite clasificarlos en base a los autovalores que resultan en cada configuración. La primera configuración
corresponde a un dominio en volumen infinito sin contornos. El autovalor de clasificación resulta γ±=k, donde kes
el módulo del vector de onda que forma un ángulo θcon el eje de rotación. Resultan ORP planas de amplitud finita,
transversales, dispersivas, circularmente polarizadas y con espectro continuo. La segunda configuración, posee igual
dominio que la configuración uno. El autovalor clasificador es γ±
ph =2/
vph±
siendo vph la velocidad de fase, con
vph+<0 y vph−>0. Son ORP axi-simétricas o no axi-simétricas a lo largo del eje de rotación, de amplitud finita,
no dispersivas y con movimiento entre cilindros concéntricos en los que se anula la velocidad radial. En la tercera
configuración el fluido está confinado en un cilindro infinito. El autovalor clasificador es nuevamente γ±
ph pero resulta
discretizado por las condiciones de borde en la pared del cilindro. Se ejemplifica la clasificación para vph+=−0.1 y
tres modos rotantes con m=0, m=1 y m=2. Son ORP dispersivas de amplitud finita. La cuarta configuración consiste
en un flujo roto traslatorio, caracterizado por el número de Rossby R0=U
aΩque es flujo de entrada de un cilindro
semi infinito. El autovalor clasificador es γ±
ph con vph±=∓R0. Son ORP, del mismo tipo que en el cilindro infinito, pero
que dependen de R0. Se muestra que estas ondas existen sólo en el intervalo R0∈(0,0.642]. Donde para R0=0.642
se tiene sólo m=1 y a medida que R0decrece surgen sucesivamente los modos m=0 y m≥2 Se observa que, para
un mismo R0las ondas de igual signo de frecuencia no intercambian energía. Para cada configuración se analizan las
posibilidades y condiciones de interacciones triádicas resonantes.
Palabras Clave: flujos de Beltrami, ondas rotantes progresivas, interacciones triádicas resonantes.
We study four configurations of Beltrami flows (BFs) defined as ∇×v=±γ±v, where γ>0 is an eigenvalue and
which have a progressive rotating wave dynamics (PRWs) that satisfies the dynamic property (DP) [1], which allows us
to classify them on the basis of the eigenvalues that result in each configuration. The first configuration corresponds to an
infinite volume domain without contours. The classifier eigenvalue is γ±
ph =2/
vph±
where kis the modulus of the wave
vector that forms an angle θwith the rotation axis. The result is a finite-amplitude, transverse, dispersive, circularly
polarised, planar PRWs with a continuous spectrum. The second configuration has the same domain as configuration
one. The classifying eigenvalue is γ±
ph =2/
vph±
with vph being the phase velocity, with vph+<0 and vph−>0. They
are axi-symmetric or non-axi-symmetric along the axis of rotation, of finite amplitude, non-dispersive and with motion
between concentric cylinders at which the radial velocity equals zero. In the third configuration the fluid is confined in
an infinite cylinder. The classifying eigenvalue is again γ±
ph but it results discretized by the boundary conditions on the
cylinder wall. Classification is exemplified for vph+=−0.1 and three rotating modes with m=0, m=1 y m=2. These
are finite amplitude dispersive PRWs. The fourth configuration consists of a rotational-translational flow, characterized
by the Rossby number R0=U
aΩwhich is an intake flow to a semi-infinite cylinder. The classifying eigenvalue is γ±
ph
with vph±=∓R0. These are PRWs, of the same type as in the infinite cylinder, but dependent on R0. It is shown that
these waves exist only in the interval R0∈(0,0.642]. Where for R0=0.642 one has only the mode with m=1 and as
R0decreases the modes m=0 and m≥2 arise successively. It is observed that, for the same R0, waves of the same
sign of frequency do not exchange energy. For each configuration the possibilities and conditions of resonant triadic
interactions are analyzed.
Keywords: Beltrami flows,rotating progressive waves, resonant triadic interactions.
https://doi.org/10.31527/analesafa.2022.fluidos.1 ISSN 1850-1168 (online)
I. INTRODUCCIÓN
En la continuidad de la investigación de los flujos de
Beltrami [1-3] que son aquellos que cumplen la condición
∇×v=±γ±v,γ>0 , analizamos diferentes propiedades
que nos permiten ahora, realizar una clasificación de estos,
basada principalmente en su dinámica y sus autovalores re-
* rgonzale@campus.ungs.edu.ar
sultantes. Los flujos aquí tratados, son generados a partir de
la rotación del fluido, debido a la fuerza de Coriolis y por
ello resultan en ondas rotantes progresivas (ORP), que son
soluciones exactas de la ecuación de Euler, aunque en la bi-
bliografía [4] aparecen como perturbaciones infinitesimales
que permiten despreciar el término no lineal de dicha ecua-
ción, ya que no se advierte, que tal término, en este caso, es
©2022 Anales AFA 1
nulo.
En la naturaleza, los FB aquí estudiados, se pueden en-
contrar en flujos rotantes atmosféricos como los tornados o
en remolinos marinos. Mientras que son comunes en turbo
maquinaria con flujos roto-traslatorios, como por ejemplo
en las turbinas instaladas en las represas.
En la sección II, presentamos la propiedad dinámica de
los FB que muestra que las ORP con iguales autovalores,
no intercambian energía y es la clave de dicha clasificación.
En la sección III desarrollamos gráfica, numérica y ana-
líticamente la clasificación de FB en cuatro configuraciones
diferentes.
Y en la sección IV sacamos algunas conclusiones.
II. PROPIEDAD DINÁMICA DE LOS FLUJOS DE
BELTRAMI
La propiedad dinámica [1], consiste en que los FB ge-
nerados por rotación (Ω
Ω
Ω=Ωz), cumplen una ecuación de
onda rotante progresiva (ORP), en el sistema rotante, que
es una solución exacta de las ecuaciones de Euler, con las
siguientes características
∇×vB=±γ±vB(1)
∂vB
∂t=±Ω
γ±
∂vB
∂z(2)
σ±=∓2Ω
γ(k)±kz(3)
en la que γ(k)±depende de la configuración i.e de su
geometría, de su simetría y de sus condiciones de contorno.
De forma tal que, la combinación de dos FB v=vB1+vB2
con igual γ±, es también un FB con el mismo autovalor. En
efecto
ω
ω
ω=∇×v=∇×(vB1+vB2) = ±γ±(vB1+vB2) = ±γ±v
(4)
Por lo tanto, en la ecuación de momentos de Euler el tér-
mino no lineal v×ω
ω
ωy esto significa que no hay transferen-
cia de energía entre ambos FB.
Esta característica permite clasificar los FB a partir de la
igualdad o diferencia de los autovalores γ, autovalor, que se
convierte así, en un autovalor clasificador. Por eso, en las
cuatro configuraciones que siguen, establecemos, a partir de
trabajos previos [1-5], qué son los autovalores γy que forma
adquiere la relación de dispersión resultante al especificarlo
en la Ec. (3) y analizamos, por un lado, la clasificación co-
rrespondiente y, por otro, las condiciones de existencia de
interacciones triádicas resonantes entre modos con diferen-
tes γ.
III. CLASIFICACIÓN DE LOS FB MEDIANTE SU
AUTOVALOR γ
Ondas rotantes progresivas en un dominio de volumen
infinito y sin contornos
A) Ondas Planas
En un trabajo previo [5], mostramos que, en una geome-
tría rectangular, es posible obtener una ORP plana de tipo
Beltrami con un vector de onda kque forma un ángulo θ
con ele eje de rotación z. La Ec. (3) y el autovalor para este
caso, satisfacen las siguientes ecuaciones adimensionaliza-
das:
σ±=∓2
γ±kz,γ±=k(5)
σ±=∓2Cosθ,0≤θ≤π
2(6)
De esta forma el autovalor clasificador es k, y la frecuen-
cia depende sólo del ángulo θ. Esta ORP es transversal, cir-
cularmente polarizada, co-rotante (σ−>0) o contra-rotante
(σ+<0), y de espectro continuo, dispersiva y de amplitud
finita. En la literatura se trata este tipo de ondas o como una
aproximación infinitesimal, y no como una solución exacta
de las ecuaciones de movimiento, despreciando el término
no lineal [4], o en forma exacta [6], pero, en ambos casos,
sin dar cuenta de que el flujo es de tipo Beltrami.
Por lo tanto, los modos pueden clasificarse en dos clases:
aquellos con σ+y el mismo valor de kpara el autovalor γ+
y aquellos con σ−y el mismo valor de kpara el autovalor
γ−todos en el rango 0 ≤θ≤π
2(Fig. 1).
La interacción triádica resonante ([7], [8], [9]) entre mo-
dos se produce cuando k1=k2+k3y±σ1=±σ2±σ3.
Para modos con distintos γi,i=1,2,3estas condiciones se cum-
plen cuando los vectores de onda de la tríada forman un
triángulo escaleno y ∓cosθ1=∓cosθ2∓cosθ3debido a la
Ec. (6).
FIG. 1: El arco de circunferencia rojo es la representación polar
de los modos de igual γ
Dado que el ángulo θ1es intermedio entre θ2yθ3, enton-
ces, si los tres modos tienen el mismo signo de frecuencia,
la última igualdad no se cumpliría por ser el coseno una
función decreciente. Por lo tanto, sólo son posibles interac-
ciones resonantes entre modos, con uno de ellos con signo
de frecuencia distinto al de los otros dos.
B) Ondas rotantes progresivas axi-simétricas y no axi-
simétricas en coordenadas cilíndricas
En este caso consideramos una ORP propagándose a lo
largo del eje de rotación con un FB en coordenadas cilín-
dricas [1] (Ecs. (7) - (12)). Al ser el vector de onda axial, la
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Ec. (3) adquiere la siguiente forma
σ±=∓2
γ±k(7)
y luego
γ±=∓2k
σ±=∓2
vph±
=γ±
ph (8)
Por lo tanto, el autovalor clasificador se determina con
la velocidad de fase adimensionalizada y lo denominamos
γph y, aunque no hay una relación de dispersión que ligue
aσ±con kque son independientes, deben cumplirse las
restricciones k<γ±
ph y|σ±|<2. Como γ±>0, de la Ec. (8)
resulta que σ+<0 y σ−>0 (contra-rotante y co-rotante).
La anulación de la velocidad radial, para un modo dado:
m
rJm(µ±r)±µ±k
γs
J′
m(µ±r) = 0,µ±=qγ±
ph
2−k2(9)
resulta en una serie rnde radios que dependen de m, entre
los cuales se produce el movimiento. La ORP es de ampli-
tud finita y no dispersiva.
El caso axi-simétrico se obtiene haciendo m=0.
En la Fig. 2se representan los modos con igual γ±
ph , au-
tovalor que no depende de m. Cada γ±
ph corresponde a una
vph±, que es la pendiente de una recta en el plano σ−ky
sólo los modos representados en una recta, tienen el mismo
autovalor y constituyen una clase. Cualquier recta que parta
del origen y esté contenida entre σ−=2 y σ+=−2 es po-
sible. Ahora, las interacciones triádicas resonantes ocurren
cuando
k1=k2+k3,σ1=σ2+σ3,m1=m2+m3(10)
para γi,i=1,2,3, diferentes.
FIG. 2: Las rectas oblicuas, representan modos con velocidades
de fase, vph±=∓9.,∓1.,∓0.5es decir, de iguales γ±=2/9.,2.,
4.
Ondas rotantes progresivas en un cilindro infinito
Son ondas del mismo tipo que las descritas en B) pero, a
diferencia de aquellas, deben cumplir la condición de con-
torno de anulación de la velocidad radial en la pared del
cilindro. Por lo tanto, se cumplen las Ecs. (7)y(8), pero
ahora existe una relación definida por la siguiente ecuación,
para r=1,
mJm(µ±)±µ±k
γs
J′
m(µ±) = 0 (11)
FIG. 3: Los puntos sobre la recta representan modos con velo-
cidades de fase, vph+=−0.1. Los puntos verdes corresponden a
m=0, los azules a m =1y los rojos a m =2.
Debido a la Ec. (11), los autovalores γ±
ph dependen de m,
y, por lo tanto, a diferencia de la configuración 2, la cantidad
de autovalores resulta discretizada por m, pero, a su vez,
para cada m,γ±
ph depende de ken forma continua.
Como en B, los modos de igual autovalor se encuentran
sobre una recta de velocidad de fase constante, pero están
representados por los puntos de intersección de esta recta
con los gráficos que resultan de las Ecs. (7) y (11) para dicha
velocidad de fase.
De acuerdo con el criterio de clasificación, estos modos
no intercambian energía. Los modos con diferentes autova-
lores, que sí intercambian energía, pueden ser tratados, por
ejemplo, mediante interacciones triádicas resonantes, que,
en este caso, deben cumplir la Ec. (10).
En la Fig. 3, la recta contiene a los pares (k,σ)con igual
velocidad de fase, es decir, por la Ec. (8), con igual autova-
lor γ+
ph.
Para σ+<0 la cantidad de modos con igual γ+
ph varía
de uno con γ+
ph(m=0,i=1)=2.40483, correspondiente a
la mayor velocidad de fase vph+=−0.831, donde iindi-
ca el número de sub-modo de m=0 a un número infini-
to numerable de sub-modos de diferentes m, a medida que
|vph±| → 0. Un análisis similar puede hacerse para σ−>0.
Ondas rotantes progresivas en un cilindro semi infinito
con un flujo de entrada roto- traslatorio
En este caso, el flujo de entrada al tubo semi infinito, es
un FB axi-simétrico con autovalor γ=2Ω
Usuperpuesto a
una rotación y una traslación axiales de valores ΩyUres-
pectivamente [1,2,6], que adimensionalizado con el radio
adel tubo resulta γ=2Ωa
U=2
Ro . Por lo tanto, la Ec. (7) de
las ORP resulta,
σ±=∓Rok (12)
yvph±=∓Ro Entonces las características de las ORP
son las mismas que las de la configuración 3, pero ahora
dependientes del número de Rossby.
La asimetría de las curvas con m=0 de la Fig. 4, que
representa la relación σ±(Ro)determinada por las Ecs.
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FIG. 4: Las curvas verdes corresponden a m =0, las azules a
m=1y las rojas a m =2.
(9) y (12), se debe a la mayor inercia del flujo contra-
rotante con respecto al co-rotante, siendo el modo m=1
el de mayor inercia. Las ondas existen sólo en el intervalo
Ro ∈(0,0.642]y el primer modo que surge para Ro decre-
cientes, es el de m=1 para Ro =0.642, luego el m=0 para
Ro =0.522 y m=2 para Ro =0.425. Luego van aparecien-
do los modos y sub-modos en orden creciente de m. Para
m=1 y Ro =0.633, resulta σ+=−1, que es estacionario
en el sistema inercial.
Trazando rectas verticales para un dado Ro las intersec-
ciones con las curvas con σ+<0 por un lado y con las cur-
vas con σ−>0 por otro, nos dan los puntos que representan
a los modos de igual velocidad de fase (vph+ovph−) decir
de igual autovalor (γ+oγ−) definiendo entonces las clasi-
ficaciones. Lo ejemplificamos en la Fig. 5para Ro =0.1 y
los modos con m=0,1,2.
FIG. 5: Los puntos sobre la recta representan modos con velo-
cidad de fase, vph+=−0.1. Los puntos verdes corresponden a
m=0, los azules a m =1y los rojos a m =2.
Una consecuencia de la propiedad dinámica entonces es
que, para un dado Ro los modos con igual signo de fre-
cuencia, como los de la Fig. 5, no intercambian energía. Pe-
ro, si interactúa una onda de frecuencia negativa con otra u
otras de frecuencia positiva, sí puede darse un intercambio
de energía.
IV. CONCLUSIONES
Los FB estudiados aquí, caracterizados por las Ecs. (1)
- (3), son ondas progresivas, soluciones exactas de la ecua-
ción de Euler. Por lo tanto, los autovalores γ±dependen
de las características de la onda, determinadas por la geo-
metría, la simetría y las condiciones de contorno de cada
configuración.
La Propiedad Dinámica de los FB, determina que la inter-
acción de ondas con igual autovalor (no sólo en valor sino
también en signo) no intercambian energía. Esto nos permi-
tió utilizar al autovalor, como clasificador de estas ondas.
Los autovalores son γ±=kpara la configuración 1 de
geometría rectangular y γ±
ph =∓2
vph±para las restantes tres
configuraciones con geometría cilíndrica, con valores con-
tinuos en las configuraciones 1 y 2, y discretos en las 3 y
4.
Esto nos permitió analizar las posibilidades de interac-
ción de ondas con intercambio de energía en cada confi-
guración, en función de k,vph±yσ±utilizando métodos
analíticos, gráficos y numéricos.
Por ejemplo, no hay intercambio de energía entre modos
con igual signo de frecuencia en los siguientes casos:
I. modos de igual ken la configuración 1 (Fig. 1),
II. modos con igual velocidad de fase en la configuración
2 (Fig. 2),
III. modos que resultan de la intersección de las rectas con
igual velocidad de fase y curvas de la relación de dis-
persión en la configuración 3 (Fig. 3),
IV. modos que resultan de la intersección de las rectas
Ro =Constante con las curvas de la relación σ±(Ro)
en la configuración 4 (Fig. 4).
Vale decir que la igualdad de autovalores incluye tener
el mismo signo como supra índice de forma que γ+=γ−
aunque sus valores fueran idénticos.
Asimismo, en función de los mismos parámetros, se esta-
blecieron las condiciones de interacción triádica resonante
para las cuatro configuraciones.
Una mención especial merece la configuración 4 con po-
tenciales aplicaciones a flujos roto traslatorios, como, por
ejemplo, los que ocurren en los conductos de turbinas hi-
dráulicas. La característica central que resulta es que, en el
rango en que existen, Ro ∈(0,0.642], la cantidad de mo-
dos para cada Ro que se puede obtener a partir de la in-
tersección de la recta Ro =constante, con las curvas de la
relación σ±(Ro)(Figs 4y5) aumenta a medida que Ro dis-
minuye. Pero de tal forma que los tres primeros modos con
m=1,0,2 en ese orden, aparecen recién entre Ro =0.642
para m=1 y Ro =0.425 para m=2. Y tanto el resto de
los sub-modos de estos modos, como los modos con m>2
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y sus sub-modos, aparecen para Ro <0.425 y también se-
parados entre sí, aunque con una separación que tiende a
cero a medida que Ro →0 , de modo que la cantidad de
modos, para un mismo Ro, se vuelve infinita numerable pa-
ra Ro →0. Esto, junto a la imposibilidad de intercambio de
energía para modos con el mismo signo de frecuencia, y el
mismo Ro, hace prever una menor cantidad de interaccio-
nes que pudiesen desestabilizar la configuración alcanzada.
Todo lo dicho muestra que, por un lado, son posibles es-
tas ORP no axi-simétricas que son FB de amplitud finita en
un cilindro y por otro, que las posibles inestabilidades por
interacciones entre modos se den para Ro →0.
Ha sido reportado [10] que no era posible una pérdida de
axi-simetría en un flujo roto-traslatorio, pero bajo condicio-
nes experimentales que utilizan un Ro =0.83 en el que no
hay aún ORP.
Hay otras consecuencias, así como preguntas planteadas
sobre la estabilidad y las posibilidades de interacción triádi-
cas resonantes, que superan el alcance de este trabajo y son
motivo de investigación. Pero es importante señalar que fi-
nalmente, estas cuestiones están claramente vinculadas con
los autovalores y que estos a su vez dependen de los pa-
rámetros de las ondas, por lo que en definitiva son estos
parámetros, que dependen de las configuraciones, los que
determinan las posibilidades de estabilidad o inestabilidad
o tipos de interacciones. Por ejemplo, si queremos ver las
posibilidades de interacción triádica resonante en configu-
raciones cilíndricas, sabemos que dos ondas con iguales ve-
locidades de fase vph2−=vph3−=vph decir con iguales au-
tovalores, no intercambian energía. Si planteamos la posibi-
lidad de su interacción resonante con una tercera onda con
autovalor diferente, esto no será posible ya que por la Ec.
(11), resulta
vph1−=σ−
1
k1
=σ−
2+σ−
3
k2+k3
=k2vph2−+k3vph3−
k2+k3
=vph
y entonces γ+
ph1=γ+
ph2=γ+
ph3y por lo tanto no intercambian
energía.
REFERENCIAS
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