Anales AFA Vol. 33 Nro. 3 (Octubre 2022 - Enero 2023) 85-89
https://doi.org/10.31527/analesafa.2022.33.3.85
Fluidos y Plasmas
ONDAS DE ALFVÉN DE GRAN AMPLITUD EN PLASMAS PARCIALMENTE
IONIZADOS
LARGE AMPLITUDE ALFVÉN WAVES IN PARTIALLY IONIZED PLASMAS
P. A. Sallago *1
1Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas – Universidad Nacional De La Plata, Paseo del
Bosque s/n – (1900) La Plata – Prov. Buenos Aires – Argentina.
Autor para correspondencia: * pato@fcaglp.unlp.edu.ar
Recibido: 29/12/2021; Aceptado: 07/05/2022
ISSN 1850-1168 (online)
Resumen
En este trabajo se estudia la propagación de ondas de Alfvén de amplitud finita en plasmas parcial-
mente ionizados (PIP, por su sigla en inglés) cuando los términos de gradiente de presión electró-
nica, de Hall y ambipolar de la ley de Ohm se tienen en consideración. En lugar de linealizar el
sistema de ecuaciones y desarrollar la perturbación en ondas planas, se propone que la misma satis-
faga las condiciones de onda de Alfvén. De este modo se encuentra una solución que, en el límite
cuando el plasma está totalmente ionizado, coincide con el resultado hallado por Sallago y Platzeck
(doi:10.1029/2003JA009920) para las ondas de Alfvén en la magnetohidrodinámica con término de
Hall. Además, si los términos de Hall y de gradiente de presión electrónica se anulan, el amortigua-
miento en el límite linealizado es igual al hallado por De Pontieu, B. Martens, P. C. H. y Hudson, H.
S. (doi = 10.1086/322408), si se impone que el plasma se comporte como un conductor perfecto.
Palabras clave: ondas de Alfvén, plasmas, ionización parcial.
Abstract
In this paper it is analyzed the propagation of large amplitude Alfvén waves in partially ionized plas-
mas (PIP) when electronic pressure, Hall and ambipolar terms of Ohm’s law are taken into account.
Instead of linearize and develope the perturbation in monochromatic waves, it is proposed that the per-
turbation satisfy the Alfvén wave’s conditions. As a result, a solution is found that in the fully ionized
limit, it coincides with Sallago and Platzeck solution for Alfvén waves in Hall magnetohydrodyna-
mics (doi:10.1029/2003JA009920 ). Furthermore, if electronic pressure and Hall term are null, in the
linearized limit, the damping is equal to the one described by De Pontieu, B. Martens, P. C. H. and
Hudson, H. S. (doi = 10.1086/322408), if one imposes that the plasma be a perfect conductor.
Keywords:Alfvén waves, plasmas, partial ionization.
1. INTRODUCCIÓN
La característica principal de ondas de Alfvén de corte en la magnetohidrodinámica ideal , cuando
se considera la ley de Ohm simple, es que se propagan con una velocidad de grupo paralela al campo
de inducción magnética de fondo en el sistema de referencia en el que plasma está en reposo. Además,
las ondas de Alfvén son perturbaciones incompresibles, existe una relación entre las perturbaciones en
velocidad y en campo de inducción magnética, y la presión total (plasma más magnética) es constante
[1]. Las mismas han sido detectadas desde el comienzo de la era espacial, en una amplia variedad de
plasmas como el viento solar [2] y en la magnetósfera de la Tierra [3,4]. En algunos de estos sistemas
1
la densidad y el campo de inducción magnética son tales que los términos de gradiente de presión
electrónica y de Hall en la ley de Ohm no pueden despreciarse [5,6].
Las ondas de Alfvén con término Hall han sido estudiadas por otros autores como Mattei [7],
Woodward y McKenzie [8,9], Pokhotelov et al. [10], entre otros. Ellos linealizan el sistema de ecua-
ciones de la magnetohidrodinámica o imponen dependencias particulares para las perturbaciones.
En lugar de linealizar las ecuaciones magnetohidrodinámicas y buscar ondas monocromáticas, Sa-
llago y Platzeck impusieron las condiciones características de ondas de Alfvén tanto para el caso con
ley de Ohm simple en plasmas no uniformes[11] como en el caso con término de Hall y gradiente de
presión electrónica en plasmas uniformes [12]. Este último trabajo en adelante será mencionado como
(SP04). Además Sallago y Platzeck mostraron que las ondas de Alfvén pueden propagarse, cuando se
tienen en cuenta la presión electrónica y el término de Hall , si se cumple una condición sobre la de-
pendencia espacial de la densidad de corriente. Esta condición, llamada “condición de polarización”,
relaciona la densidad de corriente y su rotor. En el caso linealizado, con pequeñas perturbaciones y
ondas monocromáticas, esta condición significa que la perturbación en campo de inducción magnéti-
ca debe estar polarizada circularmente [7,10], por este motivo no es posible imponer la condición de
adiabaticidad ya que el sistema resultaría sobredeterminado.
Por otra parte, cuando se estudian plasmas parcialmente ionizados existe una cantidad relativa de
neutros que se pondera de diversas maneras mediante las siguientes relaciones:
x=ni
(nn+ni),(1)
la fracción de ionización [13], fracción del plasma sin ionizar [1]
f=nn
(nn+ni),(2)
o mediante el grado de ionización [14]
µ=(ni+nn)
(2ni+nn),(3)
donde niynnson la densidad número de los iones y de los neutros respectivamente. Distintos autores
denominan de manera distinta al plasma. Algunos consideran dos fluidos, uno cargado y otro neutro.
Estas consideraciones deberán ajustarse dependiendo del grado de acoplamiento de los iones y los
neutros. Mayores detalles pueden verse el trabajo de Khomenko et al. (2012) [15].
En relación con los plasmas parcialmente ionizados, pueden encontrarse tanto en regiones del Sol
quieto como del Sol activo, así como en lo ionosfera terrestre. Vinculado con las zonas solares activas,
el estudio de los fenómenos que soportan los tubos de flujo magnético son de interés para el análisis
del comportamiento en las estructuras solares, tanto en el análisis de las manchas solares como en los
loops coronales [16] y que en su mayoría han sido realizados considerando uniformes las variables
físicas no perturbadas. Cuando se admiten variaciones espaciales, el término correspondiente a la
derivada de la cantidad de estado de equilibrio multiplicada por la perturbación es despreciado por
considerarlo de segundo orden [17]. La importancia relativa de los distintos términos de la ley de Ohm
en los ejemplos de PIP mencionados pueden verse en los trabajos de Leake et al. [18] y de Ballester
et al. [14]. Estos valores son analizados a partir de modelos como VALC [19]yC7[20], entre otros.
En el presente trabajo se tiene un gas compuesto por la suma del gas cargado (eléctricamente
cuasi neutro) y el gas neutro, para el que se considera que alcanzó la temperatura de equilibrio una
vez completada su capacidad de ionización. En la Sec. 2se demuestra que las ondas de Alfvén de gran
amplitud pueden propagarse, cuando se tienen en cuenta la presión electrónica, los términos de Hall
y ambipolar en la ley de Ohm. En la Sec. 3se muestra que esta solución tiende a la encontrada por
Sallago y Platzeck [12] si el término ambipolar se desvanece y que la solución linealizada es similar
a la solución linealizada de De Pontieu et al. (2001) [21] (en adelante, DP01), si en esta última se
considera conductividad infinita.
2
2. MÉTODOS
Para poder discutir la solución del sistema de ecuaciones de los PIP en la aproximación magneto-
hidrodinámica, primero se recordarán algunas ideas.
Ley de Ohm generalizada
Se llega a la expresión de la ley de Ohm generalizada desde el modelo de plasma compuesto por
iones, electrones y neutros y, considerando que el plasma sea eléctricamente neutro, resulta [1]:
J
σ=
E+
V×
B−1
eni
J×
B+1
eni
∇pe
+F(
J×
B)×
B,(4)
donde ees la carga del protón, niel número de protones por unidad de volumen, pela presión electró-
nica y Fes igual a una expresión en función de la frecuencia de colisión ión-neutro y de la fracción
de ionización [13]
F=(1−x)2
xρνin
.(5)
Ecuaciones de la PIP-MHD
Se suele designar como PIP-MHD a la magnetohidrodinámica cuando en la ley de Ohm se tienen
en cuenta la fracción de ionización y los términos que hemos discutido anteriormente y cuando a
pesar de la presencia significativa de neutros los componentes del plasma están acoplados [22].
Las ecuaciones de continuidad, movimiento y la ecuación
∇·
B=0, son iguales a las de la mag-
netohidrodinámica ideal. La ecuación que resulta modificada es la ecuación de inducción, ya que se
obtiene de reemplazar la ley de Ohm en la ley Faraday.
Para un plasma en las condiciones precedentes las ecuaciones son:
∂ ρ
∂t+
V·
∇ρ+ρ
∇·
V=0,(6)
ρ"∂
V
∂t+
V·
∇
V#=−
∇p+
J×
B,(7)
∇·
B=0,(8)
∂
B
∂t=
∇×
V−1
eni
J+F
J×
B×
B
+1
eni
∇pe.(9)
Esta última ecuación puede reescribirse en función de la fracción de ionización (5),
∂
B
∂t=
∇×
V−ε
xρ
J+F
J×
B×
B
+ε
xρ
∇pe,(10)
3
donde ε=mi/e.
Ondas de Alfvén
En esta subsección se buscan soluciones de las ecuaciones de la PIP-MHD, no linealizadas, que
puedan ser identificadas como ondas de Alfvén. Esta identificación tendrá en cuenta que dichas solu-
ciones tengan las siguientes propiedades: las perturbaciones se propagan con una velocidad de grupo
que, en el sistema de referencia en que el plasma se encuentra en reposo, sea paralela al campo
magnético de fondo, las perturbaciones de los campos de velocidad y de campo magnético están re-
lacionados, la perturbación es incompresible y que existe una magnitud que permanece constante.
Además, se impondrá que las soluciones tiendan, en el límite cuando el término de ambipolar es des-
preciable, a las ondas de Alfvén con término de Hall del tipo correspondiente. Por otro lado, para que
las ondas de Alfvén con término de Hall puedan satisfacer todas las ecuaciones, debe imponerse una
condición adicional de “polarización” (ver SP04), por lo que también deberán estarlo las ondas en
PIP-MHD.
Se supone que en un plasma con campos de fondo uniformes ρ0,p0,
V0,
B0, se propagan pertur-
baciones incompresibles, con dependencia espacio temporal
f(r,t) = f(r−
V′
A∗t),(11)
donde
V′
A∗=
V0−a∗
B0(12)
es la velocidad de grupo y a∗es una constante que habrá que determinar para mostrar la influencia de
los términos de la ley de Ohm.
Con estas suposiciones, de la ecuación de continuidad (6) resulta nula la perturbación en densida-
des:
ρ1=0.(13)
Debido a ésto, la ecuación de inducción (10) se simplifica. Como
∇ρ=0, por ser ρ0uniforme y ρ1
nulo, resulta que
∂
B
∂t=
∇×
V−ε
xρ
J+F
J×
B×
B,(14)
con lo que puede verse que el término gradiente de presión electrónica no influye en las soluciones
buscadas.
Ahora se deben encontrar las perturbaciones
V1,
B1,
J1yp1que satisfagan a las ecuaciones.
Debido a que ∂/∂t=−
V′
A∗·
∇,y proponiendo la siguiente relación entre las perturbaciones en
velocidad y campo magnético
V1=a∗
B1+u,(15)
la ecuación de inducción toma la siguiente forma:
∇×
V−
V′
A∗−ε
xρ
J1+F
J1×
B×
B=0,(16)
luego de reemplazar
V−
V′
A∗resulta
∇×a∗
B+u−ε
xρ
J1+F
J1×
B×
B=0,(17)
4
que es
∇×u−ε
xρ
J1+F
J1×
B×
B=0,(18)
y resulta
u=ε
xρ
J1−F
J1×
B(19)
Como puede verse, u=0 cuando no hay perturbación y , cuando la fracción de ionización tiende a la
unidad (o Ftiende a cero), resulta que u→
α, donde
α=ε
J/ρcorresponde a la solución totalmente
ionizada con término de Hall (ver SP04). Tomando divergencia de (15) puede verse que debido a la
condición de incompresibilidad, se satisface también
∇·
B=0 si
∇·u=0, esto implica una condición
entre
J1y
B0.
Finalmente, reemplazando la relación entre las perturbaciones en velocidad y campo magnético y
el valor de la velocidad de grupo en la ecuación de movimiento, se obtiene:
ρ0 ε
xρ0
J1−F
J1×
B+a∗
B·
∇ ε
xρ0
J1
−F
J1×
B+a∗
B=−
∇p+
J1×
B.(20)
El miembro de la izquierda del igual puede reescribirse utilizando identidades vectoriales, con lo que
la ecuación de movimiento (20) resulta así
ρ0
∇×ε
xρ0
J1−F
J1×
B+a∗
B×ε
xρ0
J1
−F
J1×
B+a∗
B=
J1×
B−
∇p+
+ρ0
2
ε
xρ0
J1−F
J1×
B+a∗
B
2.(21)
Tomando el rotor de esta expresión (21), se tiene la siguiente ecuación
∇×
∇×ε
xρ0
J1−F
J1×
B+a∗
B×
ε
xρ0
J1−F
J1×
B+a∗
B−
J1×
B=0
(22)
En el caso totalmente ionizado con término de Hall, el rotor de la densidad de corriente y la
densidad de corriente estaban relacionadas,
∇×
J1=b
J1, resultando en una condición de polarización
(SP04). Para el presente caso proponiendo que
∇×(
J1×
B)≈C
J1, reemplazando en la ecuación (22),
se obtiene
∇×a∗2µ−FCa −1
ρ0
J1+εa∗
xρ0
∇×
J1×
B+ε
xρ0a∗−FC
a∗
J1=0.(23)
5
que implica que la única solución posible es la siguiente
a∗2µ−FCa∗−1
ρ0
J1+εa∗
xρ0
∇×
J1=0 (24)
y, en consecuencia se tiene
∇×
J1=b∗
J1,(25)
que es una “condición de polarización”.
Luego de reemplazarla en la ecuación (24), se obtiene la siguiente relación entre las constantes
a∗,b∗yC
a∗2+a∗εb∗
xρ0µ−FC
µ−1
µρ0
=0 (26)
o lo que es lo mismo, se obtienen los valores de a∗
a∗=−1
2εb∗
xρ0µ−FC
µ
∓
s1
4εb∗
xρ0µ−FC
µ2
+1
ρ0µ.(27)
Por lo tanto, la velocidad de grupo resulta dependiente del parámetro de proporcionalidad entre la
densidad de corriente y su rotor, así como del factor de ionización
V′
A∗=
V0+εb∗
2xρ0µ−FC
2µ
B0
±
B0
|B0|s|B0|2
4εb∗
xρ0µ−FC
µ2
+|B0|2
ρ0µ.
(28)
Retornando a la ecuación de movimiento, reemplazando la condición de polarización y el valor de a∗,
resulta la constancia en la región perturbada de una cantidad : la “presión total generalizada modifi-
cada” P∗m
P∗m=p+ρ0a∗2
2
B+ε
a∗ρ0µ
J1
2
=constante ,(29)
La “presión total generalizada modificada” tiende a la “presión total generalizada ” del caso totalmen-
te ionizado con término de Hall cuando x→1 ya que a∗→a.
Nótese además que a partir de la condición de “polarización” se obtiene
w1=
J1
a∗ρ0µ.(30)
Una relación entre la vorticidad y la densidad de corriente similar a ésta también existe para las ondas
de Alfvén en campos uniformes cuando se tiene en cuenta el término de Hall (ver SP04).
Además, como la presión del plasma debe ser siempre positiva, la amplitud de las perturbaciones
no es arbitraria. Se debe remarcar que hay un flujo de calor que proviene del gradiente de presión
electrónica, como ya sucedía en el caso totamente ionizado con término de Hall.
6
Comparación con el resultado de DP01
Con el objetivo de realizar la comparación con los resultados de DP01 [21], primero se repasará el
significado de la condición de “polarización” (25) para la densidad de corriente en el límite linealizado
cuando se consideran ondas planas. Si la perturbación del campo magnético se puede expresar de la
forma
B1=
b1exp[ik(z−V′
A∗t)],(31)
la densidad de corriente cumplirá la condición solicitada (25) si la amplitud b1satisface la relación
b1=−ib∗
|
k|2
k×
b1,(32)
Esto se puede satisfacer únicamente si el campo magnético tiene componentes en xeydesfasadas en
π/2,
B1=b1
√2(˘eX±i˘eY)exp[ik(z−V′
A∗t)] ,(33)
resultando b∗=±k. Por lo tanto, la condición que es necesario imponer sobre
J1para tener una
perturbación del tipo alfvénica se reduce en este caso a que la onda esté polarizada circularmente. En
este caso para la frecuencia se obtiene esta expresión
ω=
V′
A∗·
k=
V0·
k+εb∗
2xρ0µ−FC
2µ
B0·
k
±
B0·
k
|B0|s|B0|2
4εb∗
xρ0µ−FC
µ2
+|B0|2
ρ0µ
(34)
Por otra parte, en el límite linealizado, cuando el término de Hall sea mucho menor que el ambi-
polar, considerando el caso con
V0=0, la frecuencia ωLim se escribe así
ωLim =
B0·
ka∗
Lim = (
B0·
k)−FC
2µ∓1
ρ0µ.(35)
Reemplazando el valor de CyFpuede verse que existe una cantidad γque evalúa el valor del amor-
tiguamiento de las ondas por efecto del término ambipolar:
γ=(1−x)2
2xνin
(
B0·
k)2
µρ0
.(36)
Puede verse que γdepende principalmente de la relación entre la “frecuencia de Alfvén” ωA= (
B0·
k)/√µρ0y la frecuencia de colisión entre los iones y los neutros. Debido a que para hallar el valor
de ωLim se consideró
FC
2µ<B0
√ρ0µ,(37)
para estos resultados se espera que las ondas se propaguen con amortiguación pequeña.
En el caso analizado en DP01, estos autores consideran conductividad finita y ondas linealmente
polarizadas. Si se toma en SP01 el límite de conductividad infinita, el resultado del cálculo del valor
del amortiguamiento γde DP01 resulta idéntico a (36). Es importante remarcar que el motivo por el
que se adoptó la polarización circular en este análisis reside en que las ondas de Alfvén con término
7
de Hall se propagan si se encuentran circularmente polarizadas [7,12].
3. CONCLUSIONES
Se ha encontrado que para plasmas parcialmente ionizados, bajo ciertas condiciones, existen solu-
ciones no linealizadas que se comportan con las características o propiedades de las ondas de Alfvén
de corte. La perturbación en densidad de corriente y su rotor satisfacen una relación de proporciona-
lidad como sucedía en el caso de ondas de Alfvén en la magnetohidrodinámica con término de Hall.
Cuando el plasma tiende a estar totalmente ionizado, la solución tiende a la hallada para ondas de
Alfvén en la magnetohidrodinámica con término de Hall. En el límite linealizado se encuentra que, a
pesar de que el término ambipolar es disipativo, bajo ciertas condiciones las ondas pueden propagarse
con amortiguación pequeña.
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