Anales AFA Vol. 34 Nro. 2 (Junio 2023 - Septiembre 2023) 33-37
https://doi.org/10.31527/analesafa.2023.34.2.33
Física Nuclear
EFECTO DE LA RENORMALIZACIÓN DEL FACTOR ESPECTROSCÓPICO EN EL
DECAMIENTO DEL 212Po
RENORMALIZED GROUND STATE ALPHA DECAY OF 212Po
A. C. Dassie *1,2,3, R. M. Id Betan 1,2,3
1Instituto de Física Rosario (CONICET-UNR), Esmeralda y Ocampo, S2000EZP Rosario,
Argentina
2Departamento de Física FCEIA (UNR), Av. Pellegrini 250, S2000BTP Rosario, Argentina
3Instituto de Estudios Nucleares y Radiaciones Ionizantes (UNR), Riobamba y Berutti, S2000EKA
Rosario, Argentina
Autor para correspondencia: * dassie@ifir-conicet.gov.ar
Recibido: 10/01/2023; Aceptado: 25/01/2023
ISSN 1850-1168 (online)
Resumen
En el siguiente trabajo describimos el decaimiento alfa del núcleo 212Po mediante el formalismo del
modelo de capas con estados de energía compleja. Las representaciones de un protón y un neutrón
se determinan por un potencial de Woods-Saxon. Para la interacción entre nucleones se utiliza un
potencial efectivo con factor de forma Gaussiano dependiente del espín e isoespín. El factor espec-
troscópico de cuatro nucleones y el ancho de partícula simple son calculados microscópicamente
para el decaimiento alfa. Se estudia la estabilidad del protocolo de renormalización del factor espec-
troscópico, garantizando así su significado físico de probabilidad, y la influencia del mismo sobre el
decaimiento alfa calculado. Se observa que la renormalización corrige el tiempo de vida media calcu-
lado en un ∼40%, obteniéndose así un valor tres veces mayor al experimental únicamente utilizando
los grados de libertad de los nucleones y su interacciones.
Palabras clave: decaimiento alfa, modelo de capas nuclear, renormalizacion.
Abstract
In the present work, we use the complex-energy shell model formalism to describe the alpha decay of
the 212Po nucleus. Single-particle bases constructed from Woods-Saxon potentials are used to build
many-body basis. Spin-isospin Gaussian effective interaction between all pairs of nucleons is con-
sidered. Four-body spectroscopic factor and single-particle width are calculated. The stability of the
spectroscopic factor renormalization protocol is demonstrated, thus ensuring its physical significance,
and its influence on the calculated alpha decay is presented. It is observed that the renormalization
modifies the calculated half-life by ∼40%, which is a value three times larger than the experimental.
Still, without appealing to any cluster structure from the beginning, i.e., all calculations were carried
out using single nucleon degree of freedom.
Keywords: alpha decay, complex energy nuclear shell model, renormalization.
1. INTRODUCCIÓN
El decaimiento alfa puede ser considerado como un proceso de dos pasos [1] . En primer lugar, un
clúster alfa se forma dentro del núcleo primario y reside en un estado metaestable. Este primer proceso
es descrito mediante la amplitud de preformación g(R)que representa la probabilidad de formación
1
de la partícula alfa, obtenido al evaluar el overlap entre las funciones de onda del núcleo primario
(A), el residual (A−4) y el alfa. En segundo lugar, la partícula alfa formada atraviesa la barrera de
potencial y escapa del núcleo. Este proceso se calcula utilizando la probabilidad de penetración.
Teniendo esto en cuenta, el ancho de decaimiento absoluto puede ser obtenido a partir de la ex-
presión de la teoría general de reacciones [2]
ˆ
ΓL=ˆ
SLΓsp
L(1)
donde ˆ
SLes el factor espectroscópico renormalizado y Γsp
Les el ancho de decaimiento de partícula
simple.
2. FORMALISMO
Un modelo de cinco cuerpos es utilizado para el estudio del estado fundamental del 212Po. El
potencial de campo medio de Woods-Saxon, sumado a la interacción espín-órbita, son optimizados al
espectro experimental de un protón y un neutrón interactuando con el carozo 208Pb. Con estos estados
se construyen los niveles de energía de los núcleos 210Pb, 210Po y 210Bi.
Los estados de menor energía obtenidos para nn ypp son utilizados para construir una base de cua-
tro nucleones, a través de la cual se diagonaliza el Hamiltoniano de cinco cuerpos, H=Hnn +Hpp +Vnp,
donde Vnp es la interacción residual entre protones y neutrones, y Hnn yHpp son los Hamiltonianos
de dos protones y dos neutrones, respectivamente:
Vnp =V(
r1,
r3) +V(
r1,
r4) +V(
r2,
r3) +V(
r2,
r4)
Hnn =hn(
r1) + hn(
r2) +V(
r1,
r2)
Hpp =hp(
r3) + hp(
r4) +V(
r3,
r4) + e2
|
r3−
r4|
con e2=1.43997MeVfm y Vla interacción efectiva Gaussiana dependiente del espín e isoespín
V(r) = Vse(r)P
se +Vto(r)P
to +Vte(r)P
te +Vso(r)P
so
con r=|
ri−
rj|,P
τel proyector sobre uno de los canales de espín-isoespín τ={se,to,se,so}y
Vτ(r) = Vτe−r2
β2
τ(2)
con Vτconstante.
2.1. Funciones de onda de dos partículas
Los autovalores generados por el potencial de Woods-Saxon sumado al espín-orbita y al potencial
de Coulomb
h(¯r)ψa,ma(¯r) = εaψa,ma(¯r)(3)
son utilizados como representación de partícula simple, con a={na,la,ja}yεala energía de partícula
simple relativa al carozo.
De las bases de neutrones y protones formamos las bases de dos partículas idénticas en el acople
j j
ΨJπM
ab (
r1,
r2) = NJ
ab ∑
P
(−)PP[ψa(
r1)ψb(
r2)]JπM(4)
donde Nab =1
√2(1+δab)yPes el permutador de los números cuánticos con (−)P=1 o (−)P=
(−)ja+jb−J+1para permutaciones pares o impares, respectivamente.
2
Los estados de dos neutrones y dos protones correlacionados son calculados a través de las ecua-
ciones de Schrödinger de tres cuerpos
HnnΨJπ
nnMnn =EJπ
nn ΨJπ
nnMnn (5)
HppΨJπ
ppMpp =EJπ
pp ΨJπ
ppMpp (6)
con ΨJπMexpandida en la base de dos cuerpos ΨJπM
ab
ΨJπM=∑
a≤b
XJπ
ab ΨJπM
ab .(7)
Las amplitudes XJπ
ab , están normalizadas con la métrica de Berggren [3], es decir ∑a≤b(XJπ
ab )2=1.
2.2. Funciones de onda de cuatro partículas
Los estados de neutrones y protones correlacionados ΨJπ
nnMnn yΨJπ
ppMpp , respectivamente, son
utilizados para generar la base de cuatro partículas
{ΨJπM
JnnJpp = [ΨJπnn
nn ΨJπpp
pp ]JπM=|JnnJpp,Jπ⟩}.(8)
Entonces, la función de onda de cuatro nucleones correlacionados son
|ΨJπM⟩=∑
JnnJpp
ZJπ
JnnJpp |JnnJpp,Jπ⟩(9)
donde la sumatoria puede contener más de un Jny/o Jppara el mismo número cuántico.
En la base utilizada, los elementos de matriz de cuatro cuerpos de los Hamiltonianos Hnn and Hpp
son diagonales [4], y entonces la ecuación de autovalores se escribe
∑
J′
nnJ′
pp h(EJnn +EJpp )δJ′
nnJnn δJ′
ppJpp +
+⟨JnnJpp,Jπ|Vnp|J′
nnJ′
pp,Jπ⟩ZJπ
J′
nnJ′
pp =
=EJπZJπ
JnnJpp
donde EJπson las energías de cuatro cuerpos relativas al carozo.
2.3. Factor espectroscópico del decaimiento alfa
La amplitud de preformación de la partícula alfa en el formalismo utilizado puede escribirse como
[5]
gL(R) =ZdΩRZdξαZdξD
ΨJπMAφα(ξα)ΨD
jm(ξD)YM
L(R)∗
JπM
(10)
donde φαes la función de onda intrínseca normalizada de la partícula alfa, YM
Les la parte angular del
movimiento del centro de masa de la partícula alfa y ΨD
jm es la función de onda del núcleo residual.
ξαyξDson las coordenadas intrínsecas de la partícula alfa y del núcleo residual, respectivamente.
El factor espectroscópico SLcontiene información sobre la probabilidad de formar un “cluster”
alfa en el núcleo primario. En términos de la amplitud de formación, SLpuede escribirse como [1]
SL=Z∞
0
g2
L(R)R2dR.(11)
3
2.4. Renormalización del factor espectroscópico
Interpretar al factor espectroscópico SLcomo probabilidad de formación de la partícula alfa es
problemático pues la función Ahφα(ξα)ΨD
jm(ξD)YM
L(R)i∗
JπMno está correctamente normalizada [1,
6,7] .
El factor espectroscópico con significado físico [6,7](también conocido como cantidad de “clus-
terización”) se obtiene de
ˆ
SL=Z∞
0
ˆg2
L(R)R2dR (12)
donde ˆgLes la amplitud de preformación modificada
ˆgL(R) = ZN−1/2
L(R,R′)gL(R′)R′2dR′.(13)
Para calcular N−1/2
L(R,R′), se expanden las autofunciones del “norm kernel” Nen una base
ortonormalizada de funciones Gaussianas (SGB) [5,7]˜
FL(R,Rk)con Rkpuntos equidistantes por ∆R
en el intervalo (0,Rmax)yk=1, ..., M, siendo Mla dimensión de la base.
2.5. El ancho de decaimiento en el modelo de dos cuerpos
El tiempo de vida media del decaimiento alfa puede ser calculado a partir del ancho reducido
de partícula simple. La expresión en la aproximación de dos cuerpos para el ancho reducido es la
siguiente [8]:
Γsp
L=¯h2Re(k)
µ|uL(r)|2
H+
L(η,kr)
2(14)
siendo µla masa reducida del sistema α+208 Pb, uLla correspondiente función de onda de Gamow,
H+
Lla función de Coulomb saliente, y η=2Zcoreµe2
¯h2kel parámetro de Coulomb-Sommerfeld. La función
de onda de partícula simple es calculada utilizando un potencial de Woods-Saxon más la interacción
de Coulomb.
El tiempo de vida media es entonces obtenido mediante Tsp
1/2=ln(2)¯h
Γsp
L
, a través del cual, junto con
el factor espectroscópico renormalizado, se obtiene el ancho reducido ˆ
ΓL=ˆ
SLΓsp
Ly el tiempo de
vida media [2]
ˆ
T1/2=Tsp
1/2
ˆ
SL
.(15)
3. APLICACIONES
3.1. Bases de partícula simple
El espacio de partícula simple es modelado con estados ligados y resonancias a través de un
potencial de Woods-Saxon, sumado Coulomb en el caso de protones. Los parámetros del Hamilto-
niano de partícula simple (referentes al potencial Woods-Saxon y Coulomb), se presentan en la Tabla
2. Estos parámetros fueron optimizados mediante el algoritmo de minimización χ2[9] a las ener-
gías experimentales de la Tabla 1. En dicha Tabla también presentamos las energías calculadas de
209Pb =208 Pb +n y 209Po =208 Pb +p.
La única resonancia que incorporamos es el 2p1/2para protones. Como la parte imaginaria de esta
resonancia es del orden de 10−15 MeV, decidimos no incorporar su contorno para la completitud de la
base de Berggren [3], pues no se verán modificados los estados de dos y cuatro partículas por la parte
imaginaria insignificante.
4
TABLA 1: Energías experimentales [10] y calculadas [11] para neutrones y protones (en MeV) en el carozo
208Pb. Las energías calculadas se obtuvieron a partir de los parámetros de la Tabla 2. La parte imaginaria del
2p1/2de protones calculada es del orden de 10−15 MeV.
209Pb 209Bi
Estado εExp ενEstado εExp επ
1g9/2−3.937 −3.936 0h9/2−3.799 −3.798
0i11/2−3.158 −3.129 1 f7/2−2.586 −2.585
0j15/2−2.513 −2.521 0i13/2−1.845 −1.844
2d5/2−2.372 −2.430 1 f5/2−0.660 −0.408
3s1/2−1.904 −1.822 2p3/2−0.409 −0.103
1g7/2−1.445 −1.537 2p1/20.121 0.766
2d3/2−1.400 −1.373
TABLA 2: Parámetros de campo medio para neutrones y protones (errores en paréntesis). El radio de Coulomb
es rc=1.359(0.3)fm.
Nucleón V0(MeV) Vso(MeV fm)
Neutrón 33.445(0.6)17.286(4.5)
Protón 52.834(0.7)17.711(5.2)
Nucleón a(fm) r0(fm)
Neutrón 0.840(0.1)1.485(0.4)
Protón 0.744(0.3)1.359(0.3)
3.2. Las representaciones
Los cálculos de los niveles de energía de dos y cuatro partículas fueron realizados tomando como
punto de partida dos representaciones de la base de partícula simple. La representación Icontiene,
para neutrones, los estados de la capa sdgi que se encuentran por encima del número mágico 126,
y para protones contiene los estados de la capa p f h que se encuentran por encima del número má-
gico 82. La representación II, parte de la representación Iy le agrega el estado de partícula simple
“intruder” en la capa: el 0 j15/2en neutrones y el 0i13/2en protones. Respecto a las bases utilizadas
por Glendenning y Harada en su publicación [4], incorporamos tres nuevos estados, tanto en protones
como en neutrones.
3.3. Interacción de dos cuerpos
Para la interacción de dos cuerpos, se tomó como referencia la publicación [4], principalmente
para fijar los βde las interacciones y apagar los potenciales Vso yVto. En relación al trabajo anterior
[5], se utiliza una interacción efectiva entre nucleones y se considera la interacción protón-neutrón.
Las intensidades de los potenciales fueron optimizadas utilizando el algoritmo χ2tomando como
referencia las energías experimentales de los estados 0+y 2+para nn, 0+y 4+para pp, y 1 ≤J≤9
yπ=−para np.
Respecto a los isótopos 210Pb y 210Po, obtenemos una muy buena descripción del estado funda-
mental, pero con baja precisión de los estados excitados, tal cual se observa en la referencia [4] .
Respecto al 210Bi, al igual que en la publicación de Glendenning y Harada, no logramos respetar la
inversión entre los estados 0−y 1−, pero si obtenemos una gran descripción de los estados excitados
pares e impares ajustados.
4. RESULTADOS
Las intensidades de la Tabla 3fueron aplicados para el cálculo del estado fundamental del 212Po.
Si se utiliza el potencial Vte definido en la Tabla 3, para la representación Ise obtiene una energía
de Egs(212Po) = −19.118MeV mientras que para la representación II la energía es de Egs(212Po) =
5
TABLA 3: Potenciales de dos partículas (en MeV) para las interacciones espín-isoespín de dos cuerpos en
las dos representaciones. Las intensidades fueron optimizadas utilizando el algoritmo χ2[9]. Los potenciales
Vso y Vto se mantuvieron siempre en cero. Para nn se utilizó βse =1.9fm, para pp βse =1.4fm y para np
βse =1.58fm yβte =1.3 fm.
VτRepresentación I
nn pp np
se −24.426 −37.752 −1.195
te − − −137.909
VτRepresentación II
nn pp np
se −23.261 −32.689 −1.445
te − − −137.332
−19.100MeV. Para recuperar la diferencia de ∼200keV respecto al valor experimental EExp
gs (212Po) =
−19.341MeV, debemos ajustar el potencial Vte por una constante χI=1.118 y χII =1.131, para la
representación IyII, respectivamente. En la Tabla 4presentamos las amplitudes parciales mayores
a un 1%, para ambas representaciones estudiadas. Como las amplitudes más importantes son las que
solo incorporan a los primeros estados pares 0+
1,2+
1,4+
1,..., decidimos acotar la base de dos par-
tículas utilizada en el marco de cuatro cuerpos, de forma que solo estos primeros estados pares la
compongan. En la Tabla 4también presentamos las amplitudes del estado fundamental así obtenidas,
donde podemos observar que restringir la base de dos partículas afecta de manera insignificante al
estado fundamental de cuatro partículas.
TABLA 4: Amplitudes parciales de la función de onda del estado fundamental del 212Po, obtenidas en cada
una de las representaciones, tanto con la base de dos cuerpos completa como acotada.
Base completa Base acotada
|Jπ
n,Jπ
p⟩Rep. IRep. II Rep. IRep. II
|0+
10+
1⟩0+
10.830 0.836 0.831 0.835
|2+
12+
1⟩0+
10.362 0.356 0.364 0.359
|4+
14+
1⟩0+
10.269 0.262 0.280 0.277
|6+
16+
1⟩0+
10.217 0.212 0.239 0.236
|8+
18+
1⟩0+
10.170 0.167 0.203 0.203
A partir de estos resultados, se calculó la amplitud de preformación g(R)y se obtuvieron los
consiguientes factores espectroscópicos sin normalizar: SI=1.181 ·10−3ySII =1.698 ·10−3. Es
destacable que la inclusión de los estados “intruders” 0 j15/2y 0i13/2en la base de neutrones y proto-
nes, respectivamente, genera un incremento del ∼50 % en el factor espectroscópicos del sistema.
4.1. Ancho reducido de partícula simple
Si consideramos al núcleo alfa sin estructura, podemos estudiar al mismo como una partícula
en las cercanías del carozo 208Pb, afectada por el potencial generado por el mismo. Los parámetros
utilizados para este potencial de Woods-Saxon son [12] : V0=143.054 MeV, a=0.69 fm y r0=
1.315fm, de forma que describe la siguiente energía de la partícula alfa, incluyendo la corrección por
apantallamiento [13] : Qα=QExp +∆Eap =8.986MeV, con QExp =8.9542MeV y ∆Eap =31.8keV.
De esta manera, obtenemos que el ancho medio de partícula simple es Γsp =0.183 ·10−12 MeV,
y una consecuente vida media de Tsp
1/2=2.500ns, dos órdenes de magnitud del valor experimental
TExp
1/2=0.2952(13)µs [10] . Si incorporamos los factores espectroscópicos hasta aquí obtenidos, para
J=M=0 tendremos los siguientes tiempos de vida media T1/2=Tsp
1/2/S:
T1/2(I) = 2.111 µsT1/2(II) = 1.468 µs.(16)
6
Vemos que incluso con la segunda representación, el tiempo de vida media calculado es mayor
al doble que el experimental. Esto se debe a la no normalización del factor espectroscópico, el cual
entonces no está representando realmente la “cantidad de clusterización” del sistema.
4.2. Renormalización
Rmax[fm]
13
14
15
16
17
18
∆R[fm]
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
S
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Rmax[fm]
13
14
15
16
17
18
∆R[fm]
0.42
0.44
0.46
0.48
0.50
0.52
0.54
S
0.0004
0.0008
0.0012
0.0016
0.0020
0.0024
0.0028
0.0032
FIG. 1: Superior. Diferentes superficies del factor espectroscópico renormalizado ˆ
Sen función de ∆R y Rmax.
Inferior. Convergencia de ˆ
Scon ∆R→0.42fm.
Para renormalizar los factores espectroscópicos, nos basaremos en las publicaciones de Fliessbach
y Mang [6,7]. Como fue presentado, el “norm kernel” depende de ∆RyRmax. En la Fig. 1Superior,
presentamos la dependencia del factor espectroscópico renormalizado ˆ
Scomo función de ∆RyRmax,
en la Representación II. Allí podemos observar varias superficies de ˆ
Sque son independientes de
Rmax, donde aquellas con ∆R>0.55 fm divergen, mientras que la única superficie que presenta una
meseta y converge es aquella con 0.55 fm >∆R cuando ∆R→0.42 fm, que observamos en la Fig. 1
Inferior. Estos valores de ∆Rson consistente con el utilizado por Fliessbach y Mang [6], ∆R=0.46 fm.
Tomando este valor para ∆Robtenemos ˆ
S=2.98·10−3, que es el valor que se mantiene durante toda
la meseta de la Fig. 1Inferior.
El hecho de que no exista convergencia para valores de ∆R∈(0,0.42 fm]U[0.55,∞fm)yRmax ∈
(0,13fm]U[18,∞fm)puede deberse a que la representación dada por las funciones Gaussianas (SGB)
no es adecuada, sea porque los estado están muy separados entre ellos o porque existe solapamiento
[7].
Los valores espectroscópicos renormalizados obtenidos en cada representación son los siguientes:
ˆ
SI=2.01 ·10−3ˆ
SII =2.98 ·10−3(17)
a través de los cuales, se obtienen los siguientes tiempos de vida media:
ˆ
T(I) = 1.241 µsˆ
T1/2(II) = 0.837 µs.(18)
El valor obtenido con la representación I, es aproximadamente un orden de magnitud mayor que
el experimental, mientras que con la representación II, el valor obtenido es aproximadamente 3 veces
el experimental. Estos resultados aun se encuentran lejos del valor experimental, pero no debemos
de perder de vista que las representaciones de partícula simple utilizan solo estados ligados, más
una única resonancia prácticamente ligada. Esto es alentador, pues esperamos que incorporando los
estados resonantes en neutrones y protones, logremos disminuir la diferencia y acercarnos aun más al
valor experimental.
7
5. CONCLUSIONES
En el trabajo presentado se estudió el decaimiento alfa del núcleo 212Po en el modelo de capas
nuclear complejo utilizando un formalismo de cinco cuerpos con una interacción Gaussiana efectiva
entre pares de nucleones dependiente del isoespín.
Utilizando dos representaciones de partícula simple, se calcularon los factores espectroscópicos
Sdel sistema. Se observó que incorporar los estados “intruder” en las bases de partícula simple
incrementó el factor espectroscópico en un ∼50%. A la hora de implementar la renormalización
del factor espectroscópico, se siguió un protocolo que permitió notar una estabilidad del mismo en
las cercanías de los parámetros utilizados por los trabajos pioneros. Esta renormalización permitió
observar en ambas representaciones un incremento del ∼70 % del ˆ
S.
Junto con el factor espectroscópico renormalizado, se necesitó del ancho de partícula simple para
obtener finalmente el observable tiempo de vida media. Así, con un ancho de partícula simple tres or-
denes de magnitud menor que el experimental, para la representación Ide partícula simple, se obtuvo
un tiempo de vida media ∼4.2 veces mayor al experimental, mientras que para la representación II,
el tiempo de vida media calculado es ∼2.8 veces mayor al experimental.
Estos resultados deben ser considerados como un escalón importante en la construcción final
del decaimiento. Al ser un trabajo en proceso, se espera que incorporar estados resonantes en las
representaciones acerque el valor calculado al valor experimental. No debemos perder de vista que
si incorporamos resonancias más anchas, los contornos y sus estados de dispersión necesariamente
deben ser incluidos en la base.
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo ha sido financiado por el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas
PIP-0930.
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