Anales AFA Vol. 36 Nro. 1 (Marzo 2025 - Junio 2025) 12-15

PROPIEDADES DE LAS ONDAS ROTANTES CON SIMETRÍA HELICOIDAL

CLASIFICADAS POR SU VELOCIDAD DE FASE

PROPERTIES OF ROTATING WAVES WITH HELICAL SYMMETRY CLASSIFIED BY

THEIR PHASE SPEED

R. González*1 y C. D. Vigh2,3,4

1Universidad Nacional de General Sarmiento, Instituto de Desarrollo Humano Juan M. Gutierrez 1150, Los Polvorines – (1613)

Buenos Aires – Argentina

2Universidad Nacional de General Sarmiento, Instituto de Ciencias Juan M. Gutierrez 1150, Los Polvorines – (1613) Buenos Aires –

Argentina

3Universidad de Buenos Aires, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Departamento de Física, Buenos Aires. Buenos Aires,

C1428EGA – Argentina

1CONICET-Universidad de Buenos Aires, Instituto de Física Interdisciplinaria y aplicada (INFINA), Buenos Aires. Buenos Aires,

C1428EGA – Argentina

Recibido: 23/08/2024 ; Aceptado: 27/12/2024

En este trabajo se estudian algunas propiedades de las ondas rotantes progresivas (ORP) en un tubo inﬁnito con simetría

helicoidal, como consecuencia de la propiedad dinámica de los ﬂujos de Beltrami [1-3] (PDFB, González, 2014, 2022,

2023). Se muestra que la clasiﬁcación de ondas no interactuantes depende de sus velocidades de fase de la forma

νph(m) = mνph(m=1)donde Ses el signo de la helicidad, lo que implica una velocidad de fase diferente para cada

mo sea una separación de modos con diferentes números azimutales. Que esto da lugar a un método geométrico para

encontrar las ondas no interactuantes en función de su velocidad de fase. Y que esta clasiﬁcación facilita el estudio de

propiedades de estas ondas como por ejemplo el transporte de momento angular que se calcula como ejemplo para un

caso particular.

Palabras Clave:Ondas rotantes progresivas, ﬂujos de Beltrami, simetría helicoidal, propiedad dinámica.

In this work, some properties of progressive rotating waves (ORP) in an inﬁnite tube with helical symmetry are studied,

as a consequence of the dynamic property of Beltrami ﬂows [1-3] (PDFB, González, 2014, 2022, 2023). It is shown

that the classiﬁcation of non-interacting waves depends on their phase velocities of the form νph(m) = mνph(m=1)

where Sis the sign of the helicity , which implies a different phase speed for each m, that is, a separation of modes

with different azimuthal numbers. This gives rise to a geometric method to ﬁnd non-interacting waves based on their

phase velocity. And this classiﬁcation facilitates the study of properties of these waves, such as the transport of angular

momentum, which is calculated as an example for a particular case.

Keywords: progressive rotating waves, Beltrami ﬂuxes, helical symmetry, dynamic property.

https:/doi.org/10.31527/analesafa.2025.36.1.12 ISSN 1850-1168 (online)

* cvigh@campus.ungs.edu.ar

I. INTRODUCCIÓN

A partir del descubrimiento de la propiedad dinámica de los ﬂujos de Beltrami (PDFB) (González[1]) que se cumple

en aquellos ﬂujos que cumplen que:

1. su vorticidad es paralela a la velocidad (ω

ωB=±γ±ν

νB)

2. tiene una dinámica de onda progresiva, es posible realizar una clasiﬁcación de estas ondas en relación con el autovalor

γ±que se expresa en función de la velocidad de fase de la onda.

Esta clasiﬁcación organiza a las ondas entre las que tienen igual autovalor y no intercambian energía o diferente auto-

valor que sí la intercambian y de esta forma facilita el estudio de las propiedades del ﬂujo. Ya hemos estudiado algunas

de estas propiedades desde antes de descubrir la PDFB y en la actualidad[2-6] tomando diferentes geometrías y simetrías.

En particular el estudio de ﬂujos de Beltrami (FB) con simetría helicoidal en un tubo, fue realizado en un artículo pionero

por Dritschel[7] aplicado tanto a hidrodinámica como a magnetohidrodinámica (MHD). Luego nosotros lo estudiamos en

hidrodinámica en una expansión entre dos tubos, enfocando en la cuestión de la estabilidad[4]. En el trabajo del 2014[1]

generalizamos el estudio a ﬂujos de Beltrami no axisimétricos y mostramos que el ﬂujo de Beltrami helicoidal se podía

obtener como un caso particular del mismo. En este trabajo enfocamos nuevamente en la simetría helicoidal de un ﬂujo

(FH) en un tubo inﬁnito, con el objeto de estudiar sus propiedades especíﬁcas. Y como se diferencia del caso no axisimé-

trico, no helicoidal. En la sección II introducimos la PDFB en la que se enmarca el trabajo. En la sección III mostramos la

aplicación de la PDFB a ondas rotantes no axisimétricas en un tubo inﬁnito y en la sección IV lo hacemos a ondas rotantes

progresivas con simetría helicoidal, realizamos la clasiﬁcación de modos de la forma explicada previamente y obtenemos

su propiedad central y en la sección Vestudiamos el transporte del momento angular de la onda helicoidal. Como ya

hemos reseñado en un trabajo previo[4] los ﬂujos tipo Beltrami, aparecen en fenómenos de ﬂujos en rotación rígida que

se perturban, en fenómenos atmosféricos, en MHD y fenómenos solares y astrofísicos, en el estudio de la turbulencia y

en aplicaciones tecnológicas en turbo maquinaria y máquinas de fusión con conﬁnamiento magnético.

II. PROPIEDAD DINÁMICA DE LOS FLUJOS DE BELTRAMI

La propiedad dinámica [1], consiste en que los FB generados por rotación (Ω

Ω

Ω=Ωz), cumplen una ecuación de onda

rotante progresiva (ORP), en el sistema rotante, que es una solución exacta de las ecuaciones de Euler, con las siguientes

características

∇×ν

νB=γ±ν

νB(1)

∂ ν

νB

∂t=±Ω

γ±

∂ ν

νB

∂z(2)

Con simetría helicoidal deﬁniendo ϕ=θ−κzla ec. 2se transforma en

∂ ν

νB

∂t=±ΩK

γ±

∂ ν

νB

∂ϕ(3)

donde siendo ν

νB=ˆ

νB(r)ei(mϕ−σt)resulta que:

σ±=∓2Ω

γ±mκ(4)

Observamos que en términos de θy z, κ, que es el pitch de la onda helicoidal y es κ=2π

p, siendo p el paso de la hélice

juega el rol de un vector de onda, en la que γ(k)±depende de la conﬁguración i.e de su geometría, de su simetría y de sus

condiciones de contorno. De forma tal que, la combinación de dos FB con ν

ν=ν

νB1+ν

νB2y con igual γ±, es también un

FB con el mismo autovalor. En efecto

ω=∇×ν

ν=∇×(ν

νB1+ν

νB2) = ±γ±(ν

νB1+ν

νB2) = ±γ±ν

ν(5)

Por lo tanto, en la ecuación de momentos de Euler el término no lineal ν

ν×ω

ω=0 y esto signiﬁca que no hay trans-

ferencia de energia entre ambos FB. Esta característica permite clasiﬁcar los FB a partir de la igualdad o diferencia de

los autovalores γ, autovalor, que se convierte así, en un autovalor clasiﬁcador. Por eso, en las conﬁguraciones que es-

tudiamos, establecemos, a partir de trabajos previos[1-6], qué son los autovalores y que forma adquiere la relación de

dispersión resultante al especiﬁcarlo en la ec. 3.

III. ONDAS ROTANTES PROGRESIVAS NO AXISIMÉTRICAS EN UN TUBO INFINITO

En este caso consideramos una ORP propagándose a lo largo del eje de rotación con un FB en coordenadas cilíndricas

(González[1], 8-13). Al ser el vector de onda axial, adimensionalizando en adelante, el tiempo con Ωy la longitud con el

radio del tubo a, la ec. 12 adquiere la siguiente forma adimensionalizada:

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σ±=∓2

γ±mk (6)

y luego

γ±=∓2k

σ±=2

νph±

=γ±

ph (7)

Por lo tanto, el autovalor clasiﬁcador se determina con la velocidad de fase en forma adimensional y lo denominamos γph.

A cada velocidad de fase le corresponde un autovalor. Estas ondas deben cumplir la condición de contorno de anulación

de la velocidad radial en la pared del cilindro. Por lo tanto, se cumplen las ecs. 6y7, pero ahora existe una relación

deﬁnida por la siguiente ecuación, para r=1,

mJm(µ±)±µ±k

γs

J′

m(µ±) = 0 (8)

Donde Jmes la función de Bessel de orden m y J′

msu derivada y ses el signo positivo o negativo, según que el ﬂujo

sea co-rotante o contra-rotante. Debido a la ec. 2, los autovalores γ±

ph dependen de m, y, por lo tanto, la cantidad de

autovalores resulta discretizada por m, pero, a su vez, para cada m, γ±

ph depende de ken forma continua. Los modos de

igual autovalor se encuentran sobre una recta de velocidad de fase constante, pero están representados por los puntos de

intersección de esta recta con los gráﬁcos que resultan de las ecs. 6y8para dicha velocidad de fase. De acuerdo con el

criterio de clasiﬁcación, estos modos no intercambian energía. Los modos con diferentes autovalores, que sí intercambian

energía, pueden ser tratados, por ejemplo, mediante interacciones triádicas resonantes[5].

FIG. 1: los puntos sobre la recta representan modos con velocidades de fase, νph =−0.1. Los puntos verdes corresponden a m =0,

los azules a m =1y los rojos a m =2.

En la Fig.1, la recta contiene a los pares (k,σ) con igual velocidad de fase, es decir, por la ec. 7, con igual autovalor

γ+

ph .

IV. ONDAS ROTANTES PROGRESIVAS CON SIMETRÍA HELICOIDAL EN UN TUBO INFINITO

En un tubo inﬁnito ν

νB=ˆ

νBs(r)ei(mϕ−σt)con ˆ

νB(r)=(fs(r),gs(r),hs(r), siendo fs(r),gs(r),hs(r), las componentes

según r,ϕ,z.

fs(r) = im1

rJm(µsr) + sµsκ

γs

Jm(µsr)(9)

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gs(r) = −µsJm(µsr)−sm2κ

rγs

Jm(µsr)(10)

hs(r) = sµ2

rγs

Jm(µsr)(11)

donde µ2

s=γ2

s−m2κ2ys=±es el signo de la helicidad deﬁnida como sγ. Además, se cumple la condición de

contorno de fs(1) = 0

Jm(µs) + sµsκ

γs

Jm(µs) = 0 (12)

que expresa la anulación de la velocidad radial en la pared del tubo.

En este caso, usando la ec. 4se obtiene

γ±=∓2mκ

σ±=∓2m

νph±

(13)

con νph±=σ±

κy luego pedir que γ±sea constante signiﬁca que 2m

νph±=constante y por lo tanto la velocidad de fase es

proporcional a m. Es importante aclarar que la onda helicoidal no depende de z, y que κes el pitch de la onda helicoidal,

pero que, en términos de z, juega el rol de un vector de onda constante una vez elegido, por lo que esta velocidad de

fase deﬁnida suigeneris, tiene el objetivo de utilizar el método de análisis gráﬁco análogo al de la Fig. 1en función de κ,

puesto que la simetría helicoidal es un caso particular de no axisimetría, pero con kconstante. Es lo que hacemos en la

Fig. 2. Entonces hay dos novedades en relación con el caso no axisimétrico, no helicoidal, por un lado la frecuencia es

proporcional a m, para un mismo γ±y un mismo κy por otro lado, para un mismo γ±hay una recta en el plano (κ,σ)

con diferente velocidad de fase para cada m. Ambas cosas representadas en la Fig.2.

FIG. 2: los puntos sobre las rectas representan modos helicoidales. Los puntos azules corresponden a m=1 con, νph±=−0.07 , los

rojos a m=2 con, νph±=−0.14 , y los naranja a m=3 con νph±=−0.28 .

V. TRANSPORTE DE MOMENTO ANGULAR DE LA ONDA

Una de las ventajas de la clasiﬁcación de las ondas es la de facilitar la visualización de las propiedades que implica.

Aparte de su propiedad central que es la dependencia de su velocidad de fase con m, para un mismo autovalor, vamos

a ilustrar esto con el estudio del transporte de momento angular de la onda promediado temporalmente en un período, a

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través de la sección del tubo, utilizando como parámetros a la constante de la hélice y la velocidad de fase deﬁnida en 13.

Para ello tomamos

Lz=Z1

0Z2π

⟨νBz νBϕ⟩r dr dϕ(14)

con ⟨⟩ =RT

0()dt

Tpromedio temporal en un período Tde la onda. Además, se toma la parte real de la velocidad ν

νB(r) =

νBs(r)ei(mϕ−σt)con ˆ

νBs(r) = ( fs(r),gs(r),hs(r)), usando las expresiones 9-11 que se expresan en función de νphsusando

13. La expresión resultante es entonces

Lz=Z1

0Z2π

fs(r,νph,κ)hs(r,νph,κ)⟨sin(mϕ−σst)2⟩r dr dϕ

πZ1

fs(r,νph,κ)hs(r,νph,κ)rdrdϕ

(15)

De esta forma, para los modos representados en la Fig. 2, podemos obtener Lzpara cada m,syνphs. En la Fig. 3

representamos Lzpara m=1,2,3, s= + ys=−las velocidades de fase indicadas.

VI. CONCLUSIONES

Algunas de las conclusiones son:

I. A diferencia del caso general no axisimétrico, no helicoidal en el que una única velocidad de fase deﬁne la cla-

siﬁcación de modos no interactuantes, para todos los números azimutales m, en el caso con simetría helicoidal,

son posibles diferentes velocidades de fase siguiendo la fórmula νph(m) = mνph(m=1), siempre que esta últi-

ma corresponda a una onda que satisfaga las condiciones de contorno. Es decir que el autovalor se elige tomando

γ±=∓2

νph±(m=1)y las velocidades de fase para los demás números azimutales correspondientes a dicho autovalor

se obtienen según la fórmula indicada previamente. Podríamos decir que la simetría helicoidal separa los modos

azimutales que antes se encontraban en una misma recta correspondiente a una misma velocidad de fase, en rectas

diferentes con velocidades de fase diferentes tal como se observa en la Fig.2.

II. Un método para obtener los modos correspondientes a cada velocidad de fase, es la intersección de la recta σs=

−sνphκcon las curvas que surgen de la ec. 12 que anula la velocidad radial en el tubo (2),

III. salvo para los modos (m,κ,σ,Lz) = (1,0.52,−0.07,0.78)y(m,κ,σ,Lz) = (3,0.37,−0.21,0.76)para los cuales Lzes

positivo, los restantes modos tienen Lznegativo y para un mismo mexiste un mínimo de Lzentre κ=0 y κmax. Como

se observa en la Fig.3, el κmax son decrecientes con relación a m,

IV. para un mdado, las coordenadas (κ,Lzmin )son las mismas para las frecuencias positivas y negativas y se van des-

plazando en el orden de las décimas de estos valores para los demás modos del mismo m, volviendo a coincidir en

(κmax,0)para Lz=0.

V. Las velocidades según ϕson prácticamente coincidentes para cada mcuando s= + ós=−para los valores de κque

se corresponden entre las dos helicidades (correspondencia dada por el orden de aparición de los modos y que dan

κaproximados), mientras que las velocidades según zson opuestas para un mismo mpara cada signo. Sin embargo

para el FB, el balance de la integral 15, para los valores de κcorrespondientes a cada helicidad, da siempre negativo,

salvo para los modos señalados en el inciso III, para los cuales Lzes positivo.

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FIG. 3: Flujos de momento angular de las ondas. Los puntos azules,rojos y naranja, corresponden a m=1, νph+=−0.07; m=2-

νph+=−0.14,y m=3- νph+=−0.28respectivamente. Los puntos verdes, lila y marrón, corresponden a m=1, νph−=−0.07, m=2,

νph−=−0.14, y m=3, νph−=−0.28.

REFERENCIAS

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doi.org/10.1063/1.4901971.

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[3] R. González, G. Sarasua y C. D. Vigh. Dynamical property and triadic interaction of Beltrami-type rotating waves. Physics of

Fluids 35 (ago. de 2023).ISSN: 1089-7666. http://dx.doi.org/10.1063/5.0158922.

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