Anales AFA Vol. 36 Nro. 3 (Septiembre 2025 - Diciembre 2025) 58 - 62
ONDAS DE ALFVÉN DE GRAN AMPLITUD EN MAGNETOHIDRODINÁMICA
CONSIDERANDO LOS TÉRMINOS INERCIALES DE LA LEY DE OHM
LARGE AMPLITUDE ALFVÉN WAVES IN MAGNETOHYDRYNAMICS CONSIDERING
INERTIAL TERMS IN THE OHM’S LAW
P.A. Sallago*1
1Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas – Universidad Nacional De La Plata Paseo del Bosque s/n – (1900) La Plata –
Argentina
Recibido: 30/12/2024 ; Aceptado: 20/05/2025
Las ondas de Alfvén incompresibles han sido detectadas en una variedad de plasmas espaciales y astrofísicos. Algunos
de estos plasmas pueden ser estudiados dentro del marco de la magnetohidrodinámica con condiciones extendidas. En
este trabajo se estudia la propagación de ondas de Alfvén de gran amplitud en plasmas uniformes, cuando se tienen en
cuenta el gradiente de presión electrónica, los términos de Hall e inerciales de la ley de Ohm. En lugar de linealizar el
sistema de ecuaciones y desarrollar la perturbación en ondas planas, se propone que satisfaga las condiciones de onda de
Alfvén. De esta forma, se encuentra una solución que, en el límite cuando se desprecian los términos inerciales, coincide
con el resultado encontrado por Sallago y Platzeck (2004), para las ondas de Alfvén en la magnetohidrodinámica con
término de Hall.
Palabras clave: plasmas espaciales, ondas de Alfvén, magnetohidrodinámica.
Incompressible Alfvén waves have been detected in a variety of space and astrophysical plasmas. Some of these plasmas
can be studied within the framework of magnetohydrodynamics with extended conditions. In this work, the propagation
of large amplitude Alfvén waves in uniform plasmas is studied, when the electronic pressure gradient, Hall’s term and
the inertial terms of Ohm’s law are taken into account. Instead of linearizing the system of equations and developing
the perturbation into plane waves, Alfvén waves conditions are imposed. In this way, a solution is found that, in the
limit when the inertial terms are neglected, coincides with the result found by Sallago and Platzeck (2004), for Alfvén
waves in magnetohydrodynamics with Hall term.
Keywords: space plasmas, Alfvén waves, magnetohydrodynamics.
https://doi.org/10.31527/analesafa.2025.36.3.58 ISSN - 1850-1168 (online)
* pato@fcaglp.unlp.edu.ar
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I. INTRODUCCIÓN
Las ondas de Alfvén pueden propagarse en todo tipo de ambiente, tanto en los plasmas astrofísicos como plasmas
espaciales. En los plasmas astrofísicos se las postula como una posible causa de fast radio burst en pulsars acompañados
por cuerpos pequeños [1] , o se las postula creadas por perturbaciones cerca de la superficie de magnetares [2],[3]. En los
plasmas espaciales las ondas de Alfvén han sido medidas desde el siglo pasado por distintas sondas espaciales. Recien-
temente, Suliaman et al. (2024) [4] estudiaron las mediciones de la sonda Juno al cruzar las alas de Alfvén (estructuras
creadas por la superposición de ondas de Alfvén) producidas por la luna Io al orbitar en la ionósfera de Júpiter, Romanelli
et al. (2024) [5] las observaron en la magnetósfera de Marte por mediaciones de la misión MAVEN. También Huang et
al. (2023) han estudiado las ondas de Alfvén de gran amplitud en el viento solar registradas por los instrumentos a bordo
de Parker Solar Probe [6].
Por otra parte, cuando se estudian los fenómenos en plasmas dentro de la aproximación magnetohidrodinámica, se debe
reflexionar sobre la importancia relativa de los términos de la ley de Ohm generalizada [7] , ya que las características de
algunos de los plasmas espaciales hacen necesario incluir los términos de Hall y de gradiente de presión electrónica en la
ley de Ohm [8], [9], [10]. También, Nahuel et al. [11] ya han estudiado los plasmas con términos inerciales, en el límite sin
colisiones, siendo representativos de diversos escenarios como por ejemplo en las proximidades de la zona de reconección
en la cola de magnetosfera terrestre.
Si se considera un plasma de hidrógeno totalmente ionizado, que se mueve con velocidad V, no relativista, la ley de
Ohm generalizada resulta [7]
E+V×B−ε
ρJ×B+ε∇pe
ρ
−J
σ−aE∂
∂tJ
ρ+J
ρ·∇V
+ (V·∇)J
ρ−εJ
ρ·∇J
ρ
=0,(1)
donde σes la conductividad eléctrica, ε=mi/eyaE=εme/e. El tercer y cuarto término son los términos de Hall
y gradiente de presión electrónica, el quinto es el término resistivo y los últimos cuatro, los términos inerciales. Priest
muestra que los términos inerciales son importantes solo si el tiempo característico del problema a estudiar es del orden
del tiempo de colisión electrón-ión.
El sistema de ecuaciones de la magnetohidrodinámica cuando se considera un plasma conductor perfecto σ→∞en la
ecuación (1), en ausencia de fuerzas viscosas y gravitatorias, está compuesto por:
la ecuación de continuidad
∂ ρ
∂t+∇·(ρV) = 0,(2)
la ecuación de movimiento (que resulta modificada)
ρ∂V
∂t+ (V·∇)V=−∇p+J×B−aE(J·∇)J
ρ,(3)
la expresión de la solenoidicidad del campo B
∇·B=0,(4)
la ecuación de inducción
∂B
∂t=∇×V−mi
eρJ×B+mi
eρ∇pe
−aE∂
∂tJ
ρ+J
ρ·∇V+ (V·∇)J
ρ
−mi
eJ
ρ·∇J
ρ.(5)
El sistema de ecuaciones se completa con la ecuación de estado y una ley para la energía. Nótese que la ecuación de
movimiento presenta un término adicional. Kimura y Morrison (2014) [12] , luego de realizar un análisis de escala de los
términos de la ecuación de movimiento, comentan que quizás podría despreciarse este término considerándoselo pequeño
frente a los otros y que esta acción llevaría a la introducción de efectos disipativos ficticios.
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Por otra parte, Sallago y Platzeck (2004) [13] resolvieron las ecuaciones de la magnetohidrodinámica con término de
Hall (HMHD), sin linealizar, para el caso en que las perturbaciones pueden identificarse como ondas de Alfvén de corte
en plasmas magnetizados con campos de fondo uniformes. Mostraron que, para que una perturbación se propague sin
deformarse, la densidad de corriente debe satisfacer una condición de proporcionalidad con su rotor, que en el límite
linealizado considerando ondas planas, corresponde a que el campo de inducción magnética de perturbación esté circular-
mente polarizado; la velocidad de grupo resulta dependiente del parámetro que cuantifica esta çondición de polarización",
y en el límite para término de Hall despreciable, coincide con la forma conocida de velocidad de Alfvén sin término de
Hall.
En este trabajo se muestra la existencia de ondas de Alfvén de gran amplitud en plasmas magnetizados con campos de
fondo uniformes, cuando se tienen en consideración el término de Hall, el gradiente de presión electrónica y los términos
inerciales de la ley de Ohm generalizada. En lugar de linealizar el sistema de ecuaciones y desarrollar la perturbación
en ondas planas, se le impondrá a la perturbación que satisfaga las condiciones características de las ondas de Alfvén
de corte. Se muestra que en el límite cuando los términos inerciales resultan despreciables, la solución coincide con la
descripta por Sallago y Platzeck (2004) [13] en HMHD.
II. ONDAS DE ALFVÉN
Supongamos que en un plasma con campos de fondo uniformes ρ0,p0,V0,B0, se propagan perturbaciones incompre-
sibles como un paquete de ondas, esto es con dependencia espacio temporal
f(r,t) = f(r−V′
gt),(6)
donde V′
ges la velocidad de grupo que se propone sea de la forma
V′
g=V0−β0B0(7)
con β0una constante a determinar.
También se propone que exista una relación entre las perturbaciones en velocidad y campo de inducción magnética, tal
que
V1=β0B1+VC,(8)
donde VCes un vector compensador.
Además, cuando se calcularon las ondas de Alfvén de gran amplitud con término de Hall [13], resultaban proporcionales
la corriente y su rotor, con factor de proporcionalidad by, en consecuencia J1=bB1/µ. Se pide que esta propiedad se
mantenga para las ondas de Alfvén cuando se incluyen los términos inerciales de la ley de Ohm.
Por último, debe existir una cantidad física que se conserve en la región de perturbación. Como puede verse de la
ecuación (6), resulta que
∂/∂t=−V′
g·∇.(9)
De la ecuación de continuidad surge que una solución posible es que sea nula la perturbación en densidad. En conse-
cuencia, la ecuación de inducción (5) se simplifica pues el término del gradiente de presión electrónica no influye en la
ecuación de inducción. Debido a las ecuaciones (5)y(9) y a que los campos de fondo son uniformes, puede escribirse
∂B/∂t=−V′
g·∇B=∇×V′
g×B.(10)
Trabajando con la ecuación de inducción resulta
∇×V′
g×B=∇×V−εb
µρ B1×B
+aEV′
g·∇bB1
µρ −bB1
µρ ·∇V
−(V·∇)bB1
µρ +εbB1
µρ ·∇bB1
µρ .(11)
Teniendo en cuenta identidades vectoriales, usando las relaciones (7)y(8), se obtiene
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∇×VC−εb
µρ B1×B
+aE−∇β0B+VC·bB1
µρ
+bB1
µρ ×∇×β0B+VC
+(β0B+VC)×b2B1
µρ
+ε
2∇bB1
µρ 2=0.(12)
Si VC=ζB1, entonces la ecuación (12) resulta
∇×ζ−εb
µρ −aE
b2β0
µρ B1×B0=0,(13)
de donde se obtiene el valor de ζ
ζ=εb
µρ 1+mebβ0
e.(14)
De la misma manera puede trabajarse la ecuación de movimiento
V−V′
g·∇V−V′
g=−∇p
ρ+J
ρ×B
−aEJ
ρ·∇J
ρ.(15)
Utilizando identidades vectoriales resulta
∇×V−V′
g×V−V′
g+∇
2V−V′
g
2=
−∇p
ρ+J
ρ×B−aE∇×J
ρ×J
ρ
−aE
2∇J
ρ
2.(16)
Tomando rotor de la ecuación (16), reemplazando la relación entre las perturbaciones en velocidad y campo de inducción
magnética y el valor de la velocidad de grupo, se obtiene una ecuación para hallar el valor de β0:
β2
0+ζ β0−1
µρ0=0,(17)
reemplazando ζ
β2
01+εb2
µρ
me
e+εb
µρ β0−1
µρ0=0.(18)
El valor de β0resulta
β0=µρ e
(µρ e+b2εme)−εb
2µρ
±1
√µρ sb2ε2
4µρ +b2aE
µρ +1.(19)
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Reemplazando en la ecuación (7) se obtiene el valor de la velocidad de grupo
V′
g=V0+B0(µρ e
(µρ e+b2εme)εb
2µρ
±1
√µρ sb2ε2
4µρ +b2aE
µρ +1).(20)
Reemplazando en la ecuación (8) se obtiene la relación entre las perturbaciones en velocidad y campo de inducción
magnética
V1=B1εb
2µρ ±1
√µρ sb2ε2
4µρ +b2aE
µρ +1 .(21)
Para que se satisfaga la ecuación (16), una cantidad física en la región perturbada debe ser constante. Esta cantidad física
se identifica como P∗
P∗=p
ρ0+aEb2B2
1
2ρ2
0µ2+|β0B+ζB1|2
2.(22)
Los términos inerciales traen como consecuencia que la velocidad de grupo de las ondas de Alfvén es dependiente de
la constante de proporcionalidad bentre la densidad de corriente y su rotor, como en el caso con término de Hall, y
de la cantidad relacionada con aE. Cuando no se tienen en cuenta los términos inerciales, se reobtiene el valor de la
velocidad de grupo para las ondas de Alfvén en HMHD en plasmas uniformes [13]. Además, a partir de la condición de
proporcionalidad entre la densidad de corriente y su rotor, tomando rotor en la ecuación (8) se obtiene una relación entre
la perturbación en vorticidad ωy la perturbación en densidad de corriente Jsimilar a la que también existe para las ondas
de Alfvén en campos uniformes con y sin término de Hall,
ω= (β0+ζ)µJ.(23)
En el límite linealizado cuando se desarrolla la perturbación en ondas planas, considerando V0=0, se obtiene la siguiente
relación de dispersión
ω∗=1
(1+b2de2)εb
2µρ (B0·k)
±sb2di2
4+b2de2+1(B0·k)2
µρ (24)
donde de ydi son la profundidad de penetración para electrones e iones, respectivamente. Estas cantidades valen de2=
me/(e2nµ)=aE/(µρ)ydi2=mi/(e2nµ)=ε2/(µρ). Nótese que di ≫de y, en consecuencia, la relación de dispersión
toma el aspecto
ω∗=ωHall
(1+b2de2).(25)
donde ωHall es el valor hallado para el caso HMHD ([13]), con b2=|k|2. Se obtienen dos casos límite, dependiendo de
si b2de2≪1 o si b2de2≫1. En el primer caso, resulta ser ωHall que tienden a las ondas de whistler de la aproximación
de plasma frío. En el segundo caso puede verse para propagación paralela al campo de fondo, que ω∗≫Ωiyω∗≈
Ωe, donde ΩiyΩeson la girofrecuencia de los iones y electrones, respectivamente. Como se trata de ondas que se
propagan en la dirección del campo magnético de fondo y, en el límite de plasma frío en ese intervalo sólo se encuentran
las ondas electromagnéticas, se las cataloga también como ondas whistler, de acuerdo con Zhang et al. (1999) [14].
En estos valores de frecuencias, estas ondas han sido detectadas en las regiones de la magnetósfera terrestre donde es
válida esta aproximación, durante mediciones de varias misiones espaciales, por ejemplo del "Magnetospheric Multiscale
spacecraft"(MMS). Referencias de mediciones de ondas con dirección de propagación cercana a la del campo magnético
de fondo medidas por MMS, pueden encontrarse en el trabajo de Vörös et al.(2019) [15].
La ecuación (24) es la misma relación de dispersión que obtienen Abdelhamid et al.(2016) utilizando una metodología
Hamiltoniana [16]. Existen dos aspectos a remarcar que diferencian los resultados de este trabajo y sus antecedentes en
[13] de los de Abdelhamid et al. (2016)[16]. Ellos [16] encuentran para el límite HMHD que solamente se propaga la onda
con polarización derecha, como sucede con los whistlers en el límite de plasma frío. En contraposición, imponiendo las
condiciones de onda de Alfvén, Sallago y Platzeck (2004) [13] mostraron que pueden propagarse ondas con los dos tipos
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de polarización circular (ver, [13]). También Abdelhamid et al.(2016)[16] afirman que los paquetes de onda se deforman
mientras se propagan, o sea que se comportan distinto de los solitones. Sin embargo, a pesar que estén presentes términos
dispersivos, se pueden construir (a partir de soluciones linealizadas) paquetes de onda que se propaguen sin deformarse,
siempre que los vectores de onda tengan el mismo |k|, como mostraron anteriormente Sallago y Platzeck(2004) para la
velocidad de grupo de las ondas de Alfvén en HMHD [13].
En el caso que se encuentra en estudio en este trabajo, de la ecuación (24), tomando |k|como un valor constante, se
obtiene la velocidad de grupo independiente de la dirección del vector de onda:
Vg=∇kω∗||k|=constante =1
(1+|k|2de2)ε|k|
2µρ B0
±B0
|B0|s|k|2di2
4+|k|2de2+1|B0|2
µρ .(26)
Esta velocidad de grupo es la misma que la hallada en la ecuación (20), si la velocidad de fondo se toma igual a cero.
Finalmente, cuando no se tienen en cuenta los términos inerciales, la velocidad de grupo y la relación entre las pertur-
baciones en velocidad y campo de inducción magnética toman los valores encontrados en la solución con término de Hall
[13], la cantidad P∗en la ecuación (22) se reduce a la presión total generalizada P∗[13] que vale
P∗=p
ρ0+1
2|aB+εb
µρ B1|2.(27)
Esto sucede porque ζ→εb/µρ yβ0→a, donde la cantidad aproviene de la expresión para la velocidad de grupo de las
ondas de Alfvén con término de Hall, V′
gHall =V0−aB0.
III. CONCLUSIONES
En este trabajo se estudia de manera analítica, la propagación de ondas de gran amplitud que cumplan las condiciones
de ondas de Alfvén de corte. Estas ondas son solución del sistema de ecuaciones de la MHD sin linealizar en el caso
especial en que se tienen en cuenta los términos de Hall, gradiente de presión electrónica y términos inerciales en la ley
de Ohm. La velocidad de grupo depende de la velocidad del plasma, del campo de inducción magnética de fondo, del
parámetro bque realza la importancia del término de Hall y de la profundidad de penetración para los iones y electrones.
La perturbación en densidad de corriente y su rotor satisfacen una relación de proporcionalidad, como sucedía en el caso
de ondas de Alfvén en la magnetohidrodinámica con término de Hall. Se encuentra que estas soluciones corresponden
a perturbaciones que se propagan como un paquetes de ondas, existe una relación entre las perturbaciones en velocidad
y campo de inducción magnética, y además existe una cantidad física que permanece constante en la región perturbada.
Cuando los términos inerciales se desvanecen, la solución coincide con la descripta para las ondas de Alfvén de gran
amplitud en HMHD por Sallago y Platzeck (2004) [13].
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