Anales AFA Vol. 37 Nro. 3 (Septiembre 2026 - Diciembre 2026) 61 - 68
PROPIEDAD DINÁMICA DE ONDAS ALFVÉNICO-INERCIALES. BIFURCACIÓN DE
FRECUENCIA CERO ENTRE ESTADOS ESTACIONARIOS ALFVÉNICOS PUROS
DYNAMICAL PROPERTY OF ALFVENIC-INERTIAL WAVES. ZERO FREQUENCY
BIFURCATION BETWEEN PURE ALFVENIC STEADY STATES
R. González*1,3, C. D. Vigh2,3,4 y F. Kenig1
1Universidad Nacional de General Sarmiento, Instituto de Desarrollo Humano
Juan M. Gutierrez 1150, Los Polvorines – (1613) Buenos Aires – Argentina
2Universidad Nacional de General Sarmiento, Instituto de Ciencias
Juan M. Gutierrez 1150, Los Polvorines – (1613) Buenos Aires – Argentina
3Universidad de Buenos Aires, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Departamento de Física, Buenos Aires
Buenos Aires, C1428EGA – Argentina
4CONICET-Universidad de Buenos Aires, Instituto de Física Interdisciplinaria y aplicada (INFINA), Buenos Aires
Buenos Aires, C1428EGA – Argentina
Recibido: 06/03/2026 ; Aceptado: 28/08/2026
En este trabajo se analiza la existencia de la Propiedad Dinámica de los flujos de Beltrami [1-7] en Magnetohidro-
dinámica (MHD) [1,5,6]. Se encuentra que para un equilibrio MHD en rotación rígida y con un campo magnético
azimutal B0=ξΩ0rφcon ξ=Q0/Ω, las perturbaciones beltramizadas y alineadas b=cv, cumplen una dinámica de
onda viajera, si los factores de alineamiento ξyccumplen una condición de consistencia que neutralice los efectos del
shear azimutal. Se encuentra una contracción de frecuencias con respecto al espectro inercial puro y un desdoblamiento
Zeeman clásico. En esas condiciones, cuando ξ=1, se produce una bifurcación de frecuencia cero, entre dos estados
alfvénicos, puros, el segundo de mayor complejidad y auto organizado durante un proceso de relajación a dicho estado
de energía mínima global.
Palabras Clave: Ondas viajeras alfvénico-inerciales,perturbaciones beltramizadas, propiedad dinámica ,estados de
alfvén puros, contracción de frecuencias, bifurcación de frecuencia cero, relación de consistencia..
This paper analyzes the existence of the Dynamic Property of Beltrami flows [1-7] in Magnetohydrodynamics (MHD)
[1,5,6]. It is found that for an MHD equilibrium in rigid rotation and with an azimuthal magnetic field B0=ξΩ0rφ
with ξ=Q0/Ω, beltramizedand aligned perturbations b=cvfollow a traveling wave dynamics if the alignment factors
ξand csatisfy a consistency condition that neutralizes the effects of azimuthal shear. A frequency contraction with
respect to the pure inertial spectrum and a classical Zeeman splitting are found. Under these conditions, when ξ=1,
a zero-frequency bifurcation occurs between two pure Alfvén states, the second of which is more complex and self-
organized, during a relaxation process to that state of minimum global energy.
Keywords: Alfvén-inertial traveling waves, Beltramized perturbations, dynamic property, pure Alfvén states,frequency
contraction, zero frequency bifurcation, consistency relation.
https://doi.org/10.31527/analesafa.2026.37.3.61-68 ISSN - 1850-1168 (online)
*rgonzale@campus.ungs.edu.ar
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I. INTRODUCCIÓN
En fluidos neutros se ha desarrollado el concepto de la propiedad dinámica de los flujos de Beltrami (PDFB) (González
[1]) que se cumple en aquellos flujos que cumplen que:
1. su vorticidad es paralela a la velocidad ω
ω
ωB=±γ±ν
ν
νB
2. tiene una dinámica de onda progresiva y es posible realizar una clasificación de estas ondas en relación con el
autovalor γ±que se expresa en función de la velocidad de fase de la onda.
Esta clasificación organiza a las ondas entre las que tienen igual autovalor y no intercambian energía o diferente auto-
valor que sí la intercambian y de esta forma facilita el estudio de las propiedades del flujo.
Ya hemos estudiado algunas de estas propiedades desde antes de descubrir la PDFB y en la actualidad [1-6] tomando
diferentes geometrías y simetrías. El flujo de Beltrami resulta ser el estado final estacionario de un proceso de relajación
turbulenta, bajo la restricción de la conservación de invariantes ideales como la helicidad cinética, la magnética y la
cruzada, que minimiza las respectivas energías sujetas a dichos invariantes [8-12]. Pero cuando se perturba un flujo en
rotación uniforme incompresible, se produce una beltramización [1-3] de la perturbación, que resulta del hecho de que en
el sistema rotante fijo al flujo estacionario, se da el mismo proceso de minimización. De esta forma se obtiene un flujo
de Beltrami no estacionario, cuya dinámica es la de una onda progresiva o viajera. En MHD es conocido también este
estado de equilibrio de Beltrami con flujo, resultante de un proceso de relajación turbulenta [7,8,10,12] en el que se da
una paralelización del campo magnético con la velocidad. En particular el estudio de flujos de Beltrami (FB) con simetría
helicoidal en un tubo infinito, fue realizado en un artículo pionero por Dritschel [7] aplicado tanto a hidrodinámica (HD)
como a MHD en el que se postula una paralelización entre el campo magnético y la velocidad del fluido, a partir de una
configuración magnética de equilibrio basada en la analogía del tipo ω
ω
ω↔j,B↔ν
ν
ν. De esta forma, es factible postular que
las perturbaciones de estos campos, no sólo estarán beltramizados, sino que serán paralelos, de tal forma, que las fuerzas
giroscópicas de Coriolis y de Lorentz, se vuelven semejantes y aportan cada una a las oscilaciones alfvénico-inerciales,
cuyas condiciones de existencia e interacción estudiamos aquí.
Las preguntas son varias. Dritschel sostiene que hay una dinámica de onda rotante con “corrimiento de frecuencia”
con respecto al fluido neutro: ¿se produce sin simetría helicoidal? ¿qué tipo de corrimiento es? ¿Qué características tiene
la interacción entre el campo magnético y la rotación? ¿hay nuevos estados de equilibrio? En ese caso ¿son estables?
Evidentemente, dada esta interacción, las ondas no serán sólo inerciales ni sólo alfvénicas, sino alfvénico-inerciales y
Dritschel [7] nos adelantó su existencia y la propiedad del corrimiento de frecuencia.
Nosotros hemos estudiado la beltramización y su dinámica, en HD, en una expansión entre dos tubos, enfocando en la
cuestión de la estabilidad [2]. En el trabajo del 2014 [1] generalizamos el estudio a flujos de Beltrami no axisimétricos y
mostramos que el flujo de Beltrami helicoidal se podía obtener como un caso particular del mismo.
Como ya hemos reseñado en un trabajo previo[2] los flujos tipo Beltrami, aparecen principalmente, en fenómenos de
flujos en rotación rígida que se perturban, en fenómenos atmosféricos, en MHD y fenómenos solares y astrofísicos, en
el estudio de la turbulencia y en aplicaciones tecnológicas en turbo maquinaria y máquinas de fusión con confinamiento
magnético. Por ello su investigación y los posibles resultados, tienen una amplia e importante gama de aplicaciones
En la sección II, repasamos la Propiedad Dinámica de los FB. En la sección III, establecemos el flujo básico que
perturbamos con perturbaciones tipo Beltrami y campo alineado y establecemos las condiciones de posibilidad de ondas
alfvénico-inerciales no axisimétricas para dicho equilibrio. En la sección IV estudiamos los modos alfvénico-inerciales
en un cilindro infinito. En la sección V, mostramos que hay una bifurcación entre dos estados alfvénicos puros (B=ν
ν
ν
en unidades alfvénicas) Y la peculiaridad de que esta bifurcación no se produce por inestabilidad del equilibrio, sino por
la anulación de la frecuencia de oscilación, debido a las múltiples restricciones geométricas y topológicas, debidas a las
condiciones de existencia de las ondas y a los invariantes dinámicos del flujo MHD.
II. PROPIEDAD DINÁMICA DE LOS FLUJOS DE BELTRAMI EN FLUIDOS NEUTROS
La propiedad dinámica (González[1]), consiste en que los FB generados por rotación (Ω
Ω
Ω=Ωz), cumplen una ecuación
de onda rotante progresiva o viajera (ORP), en el sistema rotante, que es una solución exacta de las ecuaciones de Euler,
con las siguientes características
∇×ν
ν
νB=±γ±ν
ν
νB(1)
∂ ν
ν
νB
∂t=±2Ω
γ±
∂ ν
ν
νB
∂z(2)
en la que γ(k)±depende de la configuración i.e de su geometría, de su simetría y de sus condiciones de contorno. De
forma tal que, la combinación de dos FB ν
ν
ν=ν
ν
νB1+ν
ν
νB2con igual γ±, es también un FB con el mismo autovalor. En
efecto
ω
ω
ω=∇×ν
ν
ν=∇×(ν
ν
νB1+ν
ν
νB2)
=±γ±(ν
ν
νB1+ν
ν
νB2) = ±γ±ν
ν
ν(3)
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Por lo tanto, en la ecuación de momentos de Euler el término no lineal ν
ν
ν×ω
ω
ω=0 y esto significa que no hay trans-
ferencia de energia entre ambos FB. Esta característica permite clasificar los FB a partir de la igualdad o diferencia de
los autovalores γ, autovalor, que se convierte así, en un autovalor clasificador. Por eso, en las configuraciones que es-
tudiamos, establecemos, a partir de trabajos previos [1-6] qué son los autovalores γy que forma adquiere la relación de
dispersión resultante al especificarlo en la misma.
III. DINÁMICA ALFVÉNICO-INERCIAL
En el marco de la MHD ideal e incompresible consideramos las ecuaciones para uy˜
B
∂u
∂t+ω
ω
ω×u+˜
B×j=−∇π(4)
∂˜
B
∂t+∇×(˜
B×u) = 0 (5)
con ω
ω
ω=∇×uyj=∇ט
Btomando las variables definidas por Dritschel [7] expresada en unidades de la velocidad de
alfven, con la velocidad de Alfvén .
VA=B0
√ρµ0
En primer lugar consideramos el siguiente equilibrio MHD estacionario que consiste en una rotación rígida y un campo
azimutal
V0=Ω0rφ
φ
φ,B0=Q0rφ
φ
φ(6)
Ahora realizamos la perturbación del equilibrio estacionario, definiendo perturbaciones beltramizadas con alineamiento
de la velocidad y el campo magnético:
u=Ω0rφ
φ
φ+ν
ν
ν,˜
B=Q0rφ
φ
φ+b(7)
donde ν
ν
νcumple 1y que,
b=cν
ν
ν(8)
entonces
∇×b=c∇×ν
ν
ν=±γ±cν
ν
ν=±γ±b(9)
Donde se usó la ec. 1. Y luego
ω
ω
ω→2Ω0ˆz±γ±ν
ν
ν,j→2Q0ˆz±γ±b(10)
La colinealidad entre la perturbación del campo magnético y la perturbación de la velocidad del fluido y las condiciones
de Beltramización constituyen el “alineamiento de Chandrasekhar- Kendal [13]” y fue planteada por primera vez por
Chandrasekhar [14] con respecto al alineamiento que lleva a la equipartición de energía y al trabajo de la obtención de
las autofunciones del rotor de Chandrasekhar-Kendal [13] que resultan en configuraciones dinámicas estables [13,14].
Luego tomando el rotor de la ecuación de momentos y reemplazando en la ecuación resultante y en la ec. 5, las condiciones
expresadas por las ecs. (6)–(10), resultan:
∂ ν
ν
ν
∂t±2Ω
γ±∇×(z×ν
ν
ν)+Ω(1−cQ0
Ω)∇×(ν
ν
ν×rφ
φ
φ)
±Q0c
γ±∇×(ν
ν
ν×z) = 0
(11)
∂ ν
ν
ν
∂t= (Ω−Q0
c)∇×(ν
ν
ν×rφ
φ
φ) = 0 (12)
Para encontrar la onda viajera que cumpla con la propiedad dinámica, debemos elegir cde forma que se cancelen entre sí
los términos que contienen al versor φ, que expresa el shear azimutal, para lo cual sumamos las dos últimas ecuaciones
miembro a miembro, e igualemos a 0 la suma de estos términos, resultando que,
Ω−Q0
c+,Ω−c,Q0=0 (13)
cuyas raíces son con
c±=1
ξ[1±1−ξ2],ξ=Q0
Ω(14)
así la ec. 14 constituye una relación de consistencia, que posibilita la estructura de perturbaciones tipo beltrami de
velocidad y de campo magnético alineados. Y, reemplazando en la suma de las ecuaciones el valor de cobtenemos cuatro
ecuaciones que resultan de combinar los signos ±del autovalor γ±por un lado y los del coeficiente c±por el otro y
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podemos sintetizar así:
resulta ∂ ν
ν
ν
∂t±Ω−c±Q0
γ±∇×(z×ν
ν
ν) = 0 (15)
IV. ONDAS ALFVÉNICO-INERCIALES PROGRESIVAS NO AXISIMÉTRICAS EN UN TUBO INFINITO
Tomando en cuenta la combinación de signos de γ±yc±, tenemos cuatro ecuaciones que corresponderán a cuatro
ramas de ondas alfvénico-inerciales. Utilizando las ecs. 14 y15 y expandiendo las cuatro posibilidades, llegamos a las
cuatro ecuaciones de ondas progresivas que expresan a la Propiedad Dinámica [1]
∂ ν
ν
ν
∂t=±(1)∓(2)Ω
γ±(1)1−ξ2]∂ ν
ν
ν
∂z(16)
Donde ±(1)y±(2)son los doble signos correspondientes a los autovalores γ±y a los coeficientes de proporcionalidad
c±respectivamente, ecuación que a su vez depende del parámetro ξ=Q0
Ω, que expresa la relación entre la intensidad de
campo y la velocidad de equilibrio:
B0=Q0rφ
φ
φ=ξΩrφ
φ
φ=ξV0(17)
de forma que la velocidad y el campo magnético de equilibrio están alineados, pero con el coeficiente ξ, mientras que
el alineamiento de las perturbaciones tiene coeficiente de proporcionalidad c. La relación de consistencia 14 impone así
un vínculo geométrico entre el equilibrio y las perturbaciones.
Desarrollando la velocidad en una base en coordenadas cilíndricas de Chandrasekhar-Kendal [15]
ν
ν
ν=Cˆ
νBei(kz+mφ)eiσ±(1)±(2)t+cc (18)
con ˆ
νBs(r) = ( fs(r),gs(r),hs(r)),
siendo fss(r),gs(r),hs(r), las componentes según r,φyz.
fs=i[m
rJm(µsr)+sµsk
γs
J′
m(µsr)],(19)
gs= [−µsJ′
m(µsr)−smk
rγs
Jm(µsr)],(20)
hs=sµ2
s
γs
Jm(µsr),(21)
donde µ2
s=γ2
s−k2ys=±es el signo de la helicidad de la onda , definida como sγs.
Las ecs. 16 y18 nos dan las relaciones de dispersión adimensionalizadas de estas ondas con sus cuatro combinaciones
de signo
σ±(1)±(2)=±(1)∓(2)1
γ±(1)1−ξ2k(22)
Vemos que, en relación con las ondas inerciales puras, en la ec. 22 no aparece el factor 2 que figura en la relación de
dispersión de la onda inercial pura sin campo magnético y las frecuencias no son mayores a 1 en valor absoluto. Para un
ξdado, hay dos ramas de frecuencias para cada γ±(1)que son simétricas con respecto al eje k. Por otro lado, la frecuencia
está modulada por el factor 1−ξ2. Dejando fija a Ω, analizaremos el tipo de ondas resultante al variar Q0. Cuando
Q0=Ωy entonces c=1 y tenemos un estado alfvénico puro de equilibrio estacionario dinámico con las líneas de campo
rotando con Ω. Hay equipartición de energía cinética y magnética de las perturbaciones. Para este valor de c, toda la
estructura MHD de Beltrami rota con el fluido para todos los modos posibles del flujo dados por m, k y el signo de la
helicidad. Cuando Q0disminuye, aparecen las ondas viajeras. En primer lugar, al fijar distintos Q0, tendremos diferentes
regiones que le corresponden de la relación de dispersión. Parametricémoslas con ξ, las ondas serán posibles si 0 <ξ≤1.
La propiedad dinámica implica dos aspectos: una dinámica de onda progresiva y la no interacción entre modos con igual
autovalor γ. Pero de la ec. 22 deducimos que
ν±(1)±(2)
ph =±(1)∓(2)1
γ±(1)1−ξ2(23)
de modo que para ξyγdados, queda definida una velocidad de fase de los diferentes modos de la onda. Debe quedar
claro que fijar un ξes fijar el equilibrio MHD dado en la ec. 6y definir la alineación de la velocidad y el campo en la
ec. 17. Luego fijar un γ, para dicho equilibrio, es fijar la velocidad de fase de los modos, o recíprocamente a la velocidad
de fase de una onda le corresponde un γdado por 23. No tiene sentido hablar de interacción de ondas con diferentes ξ,
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FIG. 1: Relaciónes de dispersión local (rectas) y global (curvas), correspondientes a γ+=40.,c+(frecuencia negativa) y
c−(frecuencias positivas) para m =0(verde), m =1(azul) , m =2(rojo), ξ=0.99 (rectas interiores), ξ=0.6(rectas interme-
dias), ξ=0(rectas más externas).
puesto que representan equilibrios de base diferentes. Estos modos, por otro lado, se obtienen al despejar γde la ec. 22 y
reemplazarla en la ec.19, que al igualarla a 0 establece la condición de contorno de anulación de la velocidad radial en la
pared del tubo:
mJm(µ±)±µ±k
γs
J′
m(µ±) = 0 (24)
lo que completará la determinación de la estructura espacial del flujo y del campo.
Si elegimos, por ejemplo, γ±=40, combinado con los tres valores de ξ=0.99,0.6,0+, para las ramas c±, obtenemos
las relaciones de dispersión global representadas en la Fig. 1, para los modos m=0,1,2. En primer lugar, tomamos
la velocidad de fase correspondiente a cada parámetro ν++
ph =−0.0035,−0.020,−0.025, respectivamente. Para estos
valores, dibujamos las tres rectas que representan a la relación de dispersión local dada por la ec. 22. La intersección de
estas rectas, con las curvas que surgen de combinar a la relación de dispersión local con la condición de contorno nos dan
los modos discretizados correspondientes a esta configuración, para dichos parámetros.
Por otro lado, para los mismos valores de ξ, pero para la rama c−, resultan las curvas simétricas con respecto a k de
frecuencias positiva y velocidades de fase positivas de igual valor absoluto que las de las frecuencias negativas. Así, la
primera propiedad que encontramos en estainvestigación, en torno a las ondas alfvénico-inerciales, es el desdoblamiento
del espectro de frecuencias con respecto al espectro correspondiente a ondas inerciales sin campo magnético, lo que es un
efecto Zeeman clásico, pero en este caso, además, en ramas simétricas, correspondientes a c+yc−, lo que implican ondas
progresivas contra rotantes y co rotantes.
Una segunda propiedad, es que se produce una contracción de frecuencias, a medida que ξcrece. Dritschel[7], que
estudia esta configuración de base con alineamiento de las perturbaciones beltramizadas de campo magnético y velocidad,
pero con simetría helicoidal, habla de corrimiento de frecuencias, pero no especifica qué tipo de corrimiento. Mientras
que en el caso HD sin campo magnético (Fig.2) las frecuencias de las ondas en el cilindro varían en el rango (-2,2)[1],
aquí varían en el rango (-1,1). Pero, además, si tomamos las regiones de curvas alrededor de las rectas correspondientes a
las tres velocidades de fase, constatamos gráficamente esta contracción de frecuencias, cumpliéndose además que σ→0
a medida que ξ→1. Vemos como las frecuencias “amontonan” sobre el eje k aumentando la “densidad de líneas” para
ξ=0.99. Todas las líneas “colapsan” para ξ=1enσ=0.
Los estados alfvénicos cumplen en general que b=cν
ν
ν, y son estados alfvénicos puros cuando c=1. En nuestro caso,
ocurre cuando ξ=1 y entonces Q0=Ω,c=1yb=ν
ν
ν. Luego, las perturbaciones tipo Beltrami alcanzan un estado
estacionario, que se suma al del flujo base inicial y constituye un nuevo estado estacionario que es alfvénico puro. Es
decir, hay una bifurcación entre un estado estacionario que es el flujo base con ξcomo parámetro de control y un estado
estacionario que es la suma del flujo base más un beltrami estacionario justo cuando ξ=1.
Este es, probablemente, uno de los resultados más interesantes de este artículo, e intentaremos dar un cuadro completo
del proceso dinámico de relajación a este estado estacionario, mediante la propiedad dinámica, articulada con los princi-
pios variacionales [8-15] y las evidencias de relajación turbulenta MHD tendiente al alineamiento de las perturbaciones
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FIG. 2: Puntos representando flujos tipo Beltrami, para a . los puntos verdes corresponden a m =0, los azules a m =1y los rojos a
m=2.
de campo magnético y velocidad[8,12,13].
Con respecto a la propiedad dinámica, en primer lugar, por qué tiene una dinámica de onda progresiva? El hecho de ser
un flujo de Beltrami, implica la eliminación de la no linealidad y por lo tanto una ecuación dinámica lineal, expresada en la
base de Chandrasekhar-Kendal [14,15] que es una base de auto funciones del rotor, del tipo 18 siempre que la geometría
ylasimetría de la configuración y las condiciones de contorno, sean adecuadas. No hay beltramización para cualquier
geometría, simetría o condición de contorno, debe analizarse cada caso. Pero dada una configuración tipo Beltrami,
la tenemos en dos estados posibles: estacionario o con una dinámica de ondas viajeras. En nuestro caso tanto para el
flujo como para el campo. Además, la relación de consistencia 14 constituye una condición geométrica, que vincula
al equilibrio base con las perturbaciones beltramizadas, estando estas últimas, en su estado estacionario o en su estado
dinámico de onda viajera, como las dos únicas posibilidades. La relación de consistencia, es condición de posibilidad de
existencia de la beltramización, al desacoplar la componente axial de la azimutal. Por otro lado, en ondas inerciales puras,
las rectas de velocidad de fase constante dependen exclusivamente del autovalor que decrece a medida que γaumenta y
viceversa, habiendo una infinidad de ondas viajeras para todos los γ. En cambio, aquí, eligiendo cualquier γ, la frecuencia
y la velocidad de fase decrecen a medida que ξ→1. Hay un forzamiento causado por el valor de ξsobre el espectro, que
se “comprime” sobre el eje kdebido a la relación de consistencia, y la cantidad de ondas viajeras va disminuyendo en la
misma proporción.
Las curvas de la relación de dispersión global (condición de contorno) no dependen de γpero sí de ξ.
Una vez fijado ξ, se elige un equilibrio del flujo base, y con él, una familia de curvas en una región del plano σ−k.
Ahora fijando un γpara dicho ξ, queda definida la velocidad de fase (ec. 23 y por lo tanto la pendiente de la recta,
que al cortar a las curvas, da los modos correspondientes a dicho equilibrio. Es lo que ocurre en la Fig. 1, para γ=40,
en la que los modos así obtenidos no interactúan entre sí por tener el mismo γ. Para obtener modos con γde valores
diferentes en dicho equilibrio, hay que cambiar la pendiente de la recta, en la región de curvas correspondientes, y los
nuevos puntos de intersección serán modos con un autovalor diferente al inicial. Entonces, estos nuevos modos, sí podrán
interactuar con los primeros [6] y eventualmente producir procesos de cascadas. De esta forma, los modos que pueden
interactuar, son aquellos que perteneces a rectas diferentes, dentro de la región de curvas correspondientes a un equilibrio
dado parametrizado por ξ. Esta es la explicación derivada de la propiedad dinámica para este caso.
V. BIFURCACIÓN DE FRECUENCIA 0 ENTRE ESTADOS ESTACIONARIOS ALFVÉNICOS PUROS
Tenemos una familia de estados estacionarios parametrizadas por ξ, que en este trabajo cumple la condición 0 <ξ≤1
. Suponiendo que ξcambia desde valores cercanos a 0, y aumenta hasta alcanzar el valor ξ=1, los equilibrios van
cambiando y soportan ondas viajeras beltramizadas, cuyas frecuencias para un γyunkdados, dependen de ξde la forma
indicada en la ec. 22 es decir que, la frecuencia se puede expresar de la forma
σ(i,ξ) = κ(i)1−ξ2(25)
donde ies un número natural que indica la rama que se considera, en este caso va de 1 a 4. Observamos los siguientes
puntos;
1. si ξ=1 entonces σ(i,ξ)=0
2. σ(i,1) = 0
3. como 0 <ξ≤1 la frecuencia es siempre real y varía suavemente con ξ
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Como observamos en la Fig. 1, si variamos desde valores cercanos a 0 y en forma creciente, vamos pasando de regiones
ricas en ondas viajeras, a regiones en las que va disminuyendo esta cantidad a medida que ξaumenta, y las curvas de
la relación de dispersión se van cerrando y “amontonando” sobre el eje k. Asimismo, las ondas viajeras van disminu-
yendo cada vez más su velocidad de fase y su energía, decreciendo la energía cinética y aumentando la magnética. Los
correspondientes equilibrios de base “conviven” con menos ondas viajeras.
Por otro lado, como ya lo señalamos, tanto los equilibrios de base como las perturbaciones son estados alfvénicos, pues
cumplen con las ecuaciones de paralelización del campo magnético y la velocidad, ec. 8y ec. 17, con coeficientes cyξ
respectivamente, que están vinculados por la relación de consistencia. Inicialmente para ξ→0, c+→∞, de modo que
podríamos decir que inicialmente esos estados de alfven están “desincronizados”, aunque ξc+→2yξc−→0 cuando
ξ→0 . Cuando ξ=1 entonces c=1, y por un lado, por la condición 2 señalada arriba, la frecuencia se anula y la
perturbación se vuelve estacionaria y “se congela” en el flujo del equilibrio base. Pero al mismo tiempo tanto el equilibrio
base, como el Beltrami estacionario, constituyen un estado alfvénico puro. Es decir que se produjo una bifurcación de
frecuencia 0, desde un estado estacionario alfvénico puro representado por el flujo base para ξ=1 a un nuevo estado
estacionario alfvénico puro que es la superposición del primero, con el Beltrami estacionario con ξ=1 . Y en ese punto
se produce una “sincronización” entre ambos equilibrios, con equipartición de energía cinética y magnética, alcanzado
un estado absoluto de mínima energía y por lo tanto muy estable. Se pasó de un estado alfvénico puro con alta simetría,
a otro alfvénico puro más complejo en un proceso que podríamos considerar como auto organizado Lo sorprendente de
esta bifurcación es que no se genera por la desestabilización de un equilibrio al variar un parámetro de control, en este
caso ξ, sino porque las condiciones de alineamiento, van apagando las ondas viajeras, en su camino de relajación hacia el
mínimo absoluto, hasta que se detienen en el flujo de equilibrio base cuando se alcanza este último. Y es una bifurcación
de ondas viajeras a estado estacionario alfvénico puro.
VI. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
Es posible dar un cuadro dinámico global de esta bifurcación de frecuencia 0, comenzando por la evidencia de procesos
de relajación MHD que en una primera etapa producen alineamientos de velocidad y campo magnético mediante procesos
de cascada turbulentos [8,10,12,13,16]. Esto inicia un proceso de relajación hacia un estado de equilibrio alfvénico puro
siempre que la helicidad cruzada
Hc=ν
ν
ν·Bd3V(26)
sea un invariante de movimiento [8,10,12,13,16]. Si además se dan las conservaciones de las helicidades magnética
Hm=B·Ad3V(27)
y cinética,
Hk=ν
ν
ν·ω
ω
ωd3V(28)
durante dicho proceso relajatorio hacia un estado alfvénico puro global [8,10,12,13,16], habrán estados de mínimos de
energía locales y parciales, que beltramizarán a las perturbaciones de campo magnético y de velocidad, lo que nos conduce
al esquema de partida de este trabajo, haber considerado perturbaciones beltramizadas y alineadas que son estados de
alfven, pero no puros, sino de relajación hacia un estado de alfven puro correspondiente al mínimo de energía global. La
conservación de las tres helicidades, son una condición necesaria para la existencia de las perturbaciones beltramizadas y
de la alineación velocidad-campo.
Por la propiedad dinámica [1,6] sabemos que la dinámica de dichas perturbaciones es la de ondas viajeras, con una
relación de dispersión lineal, en la que la velocidad de fase tiene una relación inversamente proporcional con el autovalor
γ. Luego la geometría y las condiciones de contorno, determinarán los modos correspondientes a dicha configuración y
la forma de relajamiento al estado estacionario global, si este es posible. Dependerá de estos factores si la frecuencia
podrá tomar algún valor complejo y producirse desestabilización. Si no se produce inestabilidad, la llegada a un estado
estacionario, implica necesariamente, la anulación de la frecuencia de las perturbaciones, por lo que las perturbaciones que
no se extinguieron, alcanzan su nivel de energía total es decir cinética más magnética, mínimo global, y por su condición
de estado alfvénico puro, hay equipartición de energía cinética y magnética.
Este es el cuadro dinámico general del proceso de relajación al equilibrio en el contexto de perturbaciones beltramizadas
con alineamiento de velocidad y campo magnético. Veamos como se aplica al caso del equilibrio específico que tratamos
aquí. La particularidad es que el equilibrio de base, que depende del parámetro ξque expresa la relación entre la intensidad
del campo y la velocidad angular, es a su vez, el coeficiente de alineamiento de la velocidad y el campo de equilibrio
(ec.17). Por otro lado, las perturbaciones tienen un factor de alineamiento c(ec. 8), pero ambos factores están ligados
por la ecuación de consistencia ec. 14 que es necesaria para eliminar la parte azimutal de las ecuaciones de momento e
inducción, con la particularidad de que cuando ξ=1 entonces c=1. Luego se dan dos situaciones
˜
B
B
B=B0+b=ξV0+cν
ν
ν=V0+ν
ν
νsi 0 <ξ<1 (29)
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FIG. 3: helicidades,magnética (M), Cruzada (C) y Cinética (K) y Energías Magnética (B) y Cinética (K), de la perturbación beltrami-
zada, correspondiente al modo m =1,γ=3.831 en función de ξ, para la rama c+>1, todas normalizadas con sus respectivos valores
en ξ=1.
FIG. 4: helicidades, magnética (M), Cruzada (C) y Cinética (K) y Energías Magnética (B) y Cinética (K), de la perturbación beltrami-
zada, correspondiente al modo m =1,γ=3.831, en función de ξ, para la rama c−<1, todas normalizadas con sus respectivos valores
en ξ=1.
Es decir que si ξ=1, velocidad y campo total no son iguales, no hay estado alfvénico puro. Y en cambio
˜
B
B
B=B0+b=ξV0+cν
ν
ν=V0+ν
ν
νsi ξ=1 (30)
Con lo cual, cuando ξ=1 tenemos la superposición de dos estados alfvénicos puros, que es, a su vez, alfvénico
puro. Por eso, el parámetro ξse convierte en parámetro de control de un proceso de bifurcación de equilibrios, como
ya explicamos, que culmina en un estado alfvénico global de equilibrio, cuando las frecuencias de las perturbaciones se
anulan, y se alcanza el nivel de energía mínima global. Por lo tanto, este proceso de bifurcaciones, coincide con el proceso
de relajación definido por los principios variacionales mencionados antes. En efecto, en las Figs. 3y4se representan
las helicidades y las energías, para el modo beltramizado m=1 y γ=3.81, para las ramas c+yc−respectivamente. En
ambos casos verificamos que la helicidad cruzada Hcalcanza un máximo, en el estado de alfven puro de mínima energía
de esta perturbación, mientras que las energías cinética y magnética son equipartidas. La diferencia que se observa es que,
para c+>1 la energía cinética de la perturbación es siempre mayor a la magnética hasta llegar a la equipartición, mientras
que en el caso c−<1 es la magnética la que domina todo el proceso hasta llegar al equilibrio global.
Por otro lado, corroboramos que, al ser, tanto el equilibrio base, como el perturbado, alfvénicos puros en ξ=1, alcanzan
en ese momento su mínima energía y por lo tanto el equilibrio final, que es la superposición de ambos, tendrá energía
mínima, también. De modo que, para ξ=1 , el equilibrio base se convierte en estado alfvénico puro y al mismo tiempo
“se dispara” la bifurcación hacia un nuevo estado de equilibrio, también alfvénico puro. Es en este aspecto que la igualdad
c[ξ=1]=1 “sincroniza” los estados alfvénicos puros. Se pasa del estado alfvénico puro del equilibrio base a un nuevo
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equilibrio que es la suma del primero más el estado estacionario alcanzado por las perturbaciones, más complejo y auto
organizado. Es muy estable, porque ni bien nos apartamos un poco del equilibrio, lo que hay es un equilibrio base no
alfvénico puro, rodeado de ondas viajeras, que tenderán a relajar nuevamente al mínimo global. Sin embargo, esto ocurre
sólo para el rango 0 <ξ≤1; si ξ>1, cse vuelve imaginario, e introduce un factor en la frecuencia que va a producir
una inestabilidad. Como se ve, la existencia de ondas viajeras, de equilibrio alfvénico o la inestabilidad, dependen del
parámetro ξ. Y lo continuaremos estudiando en próximos trabajos.
Podemos hacer una síntesis de los principales resultados:
(i) Se produce una contracción de frecuencias debido a que la inducción magnética “se opone” a la inercia generada
por la rotación que arrastra a las líneas de campo, cuanto mayor es ξmás intenso es el campo para producir este frenado
y viceversa. El caso extremo se da en ξ=1 en que las oscilaciones “se apagan” y se vuelven estacionarias. Por otro el
desdoblamiento de frecuencias se debe a que hay dos grados de libertad en la alineación para producir ondas co-rotantes
y contra-rotantes.
(ii) al ser las perturbaciones beltramizadas, se cumple la propiedad dinámica en MHD, por la cual la forma dinámica
de existencia de las mismas es a través de ondas viajeras que “conviven” con el equilibrio de base, mientras transiciona al
estado estacionario
(iii) se está produciendo una relajación, que este trabajo asume ya en su forma alineada, pero que, de acuerdo a los
teoremas variacionales comentados, evoluciona hacia un mínimo de energía global, que es un estado alfvénico puro
global.
(iv) dado que el equilibrio base depende del parámetro ξ, relacionado con la intensidad magnética, se verifica que este
actúa como un parámetro de control de un proceso de bifurcación que, cuando 0 <ξ<1, produce diferentes equilibrios
de base con factor de alineamiento ξrodeado de ondas viajeras beltramizadas, con factor de alineamiento c, alineamientos
desincronizados. Cuando ξ=1 entonces c=1 y los respectivos alineamientos se sincronizan, y se produce una bifurcación
del estado estacionario del flujo base, ahora en estado de alfven puro, hacia un nuevo equilibrio, que es la suma del de
equilibrio, más la perturbación beltramizada que alcanzó también su estado alfvénico puro. Este nuevo equilibrio es, él
mismo alfvénico puro, por lo que la bifurcación se da entre dos estados alfvénicos puros, pero el segundo es más complejo
y auto organizado. La bifurcación se produjo no por inestabilidad, sino por anulación de frecuencia. Es una bifurcación
de ondas viajeras a estado estacionario, en sentido opuesto a lo que pasa en una bifurcación de Hopf.
(v) cuando ξ>1, la frecuencia se volverá imaginaria pura, generando una inestabilidad de este flujo, cuyas implicancias
se estudiarán próximamente.
En síntesis, la propuesta de relajación sigue la secuencia: relajación turbulenta →alineación dinámica velocidad- campo
y beltramización de perturbaciones, que, en su forma dinámica, es de ondas viajeras (Propiedad Dinámica) →Estado de
Alfvén, Mínimo de energía global y en este caso bifurcación entre estados alfvénicos puros cuando ξ=1→posterior
desestabilización si ξ>1 . Es importante señalar que las soluciones son de amplitud finita, pues las soluciones obtenidas,
son soluciones exactas, de las ecuaciones MHD linealizadas por beltramización y alineamiento.
Finalmente, mostramos un gráfico de un campo magnético en el estado estacionario de Alfvén puro, en la Fig. 5.
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FIG. 5: líneas de campo magnético, estacionario sobre un fluido que rota rígidamente, correspondiente al modo m =1,γ=3.831, del
campo beltramizado. Degradado “Rainbow”. El valor 0 es el azul yel1esrojo el más intenso.
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VII. AGRADECIMIENTOS
A la Universidad Nacional de General Sarmiento y al Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Exactas de la
UBA, y al INFINA (UBA-CONICET)- Los autores dedican este trabajo a la memoria de Daniel Osvaldo Gómez.
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