Anales AFA Vol. 37 Nro. 3 (Septiembre 2026 - Diciembre 2026) 56 - 60
NÚMERO DE PORTADORES DE CARGA Y RESISTENCIA ELÉCTRICA DE UN PUNTO
CUÁNTICO DE GRAFENO
NUMBER OF CARRIERS AND ELECTRICAL RESISTANCE OF A GRAPHENE
QUANTUM DOT
J. S. Cruz Hoyos*1 y L. Álvarez Miño2
1Universidad Nacional de Colombia sede Manizales– Estudiante de Doctorado en Ciencias – Física
2Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales – Facultad de Ciencias Exactas y Naturales – Departamento de Física
Recibido: 10/06/2026 ; Aceptado: 03/09/2026
El presente trabajo aborda el estudio teórico del número de portadores de carga ne,hy de la resistencia eléctrica de un
sistema de punto cuántico de grafeno; con este fin se parte de la densidad de estados de sistemas 0Dque se representa
por medio de la función delta de Dirac y se consideran los niveles de energía para un modelo de punto cuántico de
grafeno sometido a un potencial constante V0, los resultados muestran una influencia de parámetros propios del modelo
como la longitud magnética lB, el tamaño del punto cuántico Ry de la energía de Fermi EFaT→0. Mientras que para
la resistencia eléctrica se propone que la conducción de las cuasipartículas se da en el borde del punto cuántico debido
a la influencia de campos magnéticos fuertes y del acople spin-orbita, lo que permite hallar la corriente eléctrica por
estado cuántico y a su vez la corriente eléctrica total al conocer el número de estados cuánticos permitidos en un ∆E;
los valores de resistencia eléctrica dan en el orden de KΩ, lo que concuerda con estudios experimentales reportados en
la literatura y además se resalta la dependencia con el tamaño del punto Ry el campo magnético lB.
Palabras Clave: Número de portadores de carga, puntos cuánticos, grafeno, resistencia eléctrica, longitud magnética,
energía de Fermi.
This paper presents the theoretical study of the number of charge carriers ne,hand the electrical resistance of a graphene
quantum dot system. To this end, it starts from the density of states of zero-dimensional systems, represented by the
Dirac delta function, and considers the energy levels for a graphene quantum dot model subjected to a constant potential
V0. The results show an influence of model parameters such as the magnetic length lB, the quantum dot size R, and the
Fermi energy EFat T→0. Regarding electrical resistance, it is proposed that quasiparticle conduction occurs at the
quantum dot edge due to the influence of strong magnetic fields and spin-orbit coupling. This allows us to find the
electric current per quantum state and, in turn, the total electric current by knowing the number of allowed quantum
states in a ∆E. The electrical resistance values are in the order of KΩ, which agrees with experimental studies reported
in the literature, and the dependence on the size of the dot Rand the magnetic field lBis also highlighted.
Keywords: Number of carriers, quantum dots, graphene, electrical resistance, magnetic length, Fermi energy.
https://doi.org/10.31527/analesafa.2026.37.3.56-60 ISSN - 1850-1168 (online)
*jscruzh@unal.edu.co
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I. INTRODUCCIÓN
El grafeno es una forma alotrópica del carbono bidimensional que presenta una estructura de red hexagonal plana tipo
colmena; su importancia radica en la gran diversidad de propiedades ópticas, térmicas, magnéticas, eléctricas y biomédicas
[1-7] que exhibe, por lo que se ha convertido en un material de interés en la última década [2,8]. El material se caracteriza
por presentar una relación de dispersión lineal E(k)=ℏvfken la primera zona de Brillouin alrededor de los puntos de
Dirac no equivalentes kyk’ [8], lo que da origen a superficies cónicas en su estructura de bandas. El número de portadores
de carga por unidad de volumen por definición se escribe como[9]
dn =D(E)f(E)dE (1)
donde D(E) es la densidad de estados, f(E) la función de distribución, nel número de portadores de carga por unidad
de volumen y Ela energía
II. RESULTADOS
Número de portadores de carga de un punto cuántico de grafeno
La densidad de estados para sistemas cero dimensionales se define como la delta de Dirac [10-16]
D(E)0D=gsδ(E−En)(2)
Donde Enson los niveles de energía del sistema discreto, gses la degeneración por spin y δes la función delta de Dirac.
La función de distribución de Fermi-Dirac al incluir los niveles de energía discretos del modelo cuántico es
f(En) = 1
e(En−µ)/kBT+1(3)
Donde µes el potencial electroquímico, kBes la constante de Boltzmann y Tla temperatura. El número de portadores
de carga por unidad de volumen ne,hasociado al sistema cero dimensional se convierte en una sumatoria sobre los niveles
de energía En
ne,h=1
πR2∑
n
D(E)f(En)(4)
Donde Res el radio del punto cuántico. Los niveles de energía Ena considerar en el presente trabajo son los asociados
a un punto cuántico de grafeno a un potencial constante V0con m=0 [17]
En=2v2
fℏ2(n+ζ+1)
l2
B
+τ2e2V2
0(5)
Donde vfes la velocidad de Fermi calculada para el grafeno en 106m/s,ℏes la constante de Planck dividida en 2π,n
el número cuántico principal, ζes la relación de flujos entre Aharonov–Bohm y fluxón, lBes la longitud magnética, τes
una constante que toma valores de ±1 según el punto Dirac kyk′de interés, y ees la carga del electrón. Al reemplazar la
densidad de estados 2, la función de distribución de Fermi-Dirac 3y los niveles de energía 5en el número de portadores
de carga 4, se llega a la siguiente ecuación
ne=2
πR2∑
n
δE−2v2
fℏ2(n+ζ+1)
l2
B
+τ2e2V2
0
e⎛
⎝2v2
fℏ2(n+ζ+1)
l2
B
+τ2e2V2
0−µ⎞
⎠/(kBT)
+1
(6)
Una de las formas de abordar la sumatoria es considerar el caso extremo de T→0, donde la función de distribución de
Fermi-Dirac se convierte en la función Heaviside, tal que
ne=2
πR2∑
n
δE−vfℏ
lB2(n+ζ+1) + l2
Bτ2e2V2
0
v2
fℏ2
×ΘEf−vfℏ
lB2(n+ζ+1) + l2
Bτ2e2V2
0
v2
fℏ2(7)
Con el fin de simplificar la expresión, en la Fig. 1se procede a graficar la función Heaviside y la delta de Dirac.
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FIG. 1: Delta Dirac y Heaviside
La función Heaviside actúa sobre la delta de Dirac restringiendo su valor hasta una energía EF, por lo tanto, el límite
superior de la sumatoria cambia de n→∞an→nF.
ne=2
πR2
nF
∑
n=0
δE−vfℏ
lB2(n+ζ+1) + l2
Bτ2e2V2
0
v2
fℏ2(8)
Para halla el nFse iguala la energía de Fermi con los niveles de energía del modelo
EF=vfℏ
lB2(nF+ζ+1) + l2
Bτ2e2V2
0
v2
fℏ2(9)
De 9se despeja nF
nF=l2
BE2
F
2v2
fℏ2−ζ+1+l2
Bτ2e2V2
0
2v2
fℏ2(10)
La ec. 8enuncia que físicamente por cada nivel de energía se tienen dos electrones, como la sumatoria va hasta el nivele
nFse reduce el número de portadores de carga a la siguiente expresión
ne=2nF=1
πR2l2
BE2
F
v2
fℏ2−2(ζ+1) + l2
Bτ2e2V2
0
v2
fℏ2 (11)
Resistencia eléctrica de un punto cuántico de grafeno La corriente eléctrica se puede expresar como la carga del
electrón dividida entre el tiempo de tránsito a través del punto [18]
I=e
ttrans
(12)
Si se considera que los electrones de conducción del nanomaterial de punto cuántico de grafeno describen orbitas circu-
lares debido a la influencia de un campo magnético fuerte y del acople spin orbita, es posible aproximar el comportamiento
de los electrones de conducción del punto cuántico de grafeno sobre su borde, ver Fig. 2, por lo tanto, se propone en este
trabajo modelar su comportamiento como un movimiento circular uniforme con una velocidad angular ωccaracterística.
FIG. 2: Modelo del movimiento de los portadores de carga en orbitas circulares alrededor del borde del punto cuántico r =R
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El tiempo que tarda la cuasi partícula en dar una vuelta completa es t=2π/ωcy por lo tanto la corriente eléctrica es
I=ωce
2π(13)
Ahora la corriente total del sistema es la corriente por estado 13 multiplicada por el número de estados cuánticos
permitidos en un ∆E. Considerando que la relación de dispersión del modelo es lineal en cercanía a los puntos de Dirac
[10,19-21], se puede hallar el ∆E
∆E=∂E
∂k∆k=vfℏ∆k(14)
Para determinar el número de estados ∆k, primero es necesario determinar el número de longitudes de onda permitidas
[22]. Considerando que las longitudes de onda recorren todo el perímetro de la circunferencia (2πR)con el nodo locali-
zado en un punto arbitrario en el borde, se tiene que las longitudes de onda permitidas son λN=4πR/Ny por tanto los
números de onda permitidos son
kN=N
2R(15)
La diferencia entre dos niveles seguidos del número de onda es k2−k1=1/2R, por lo que el número de estados Ωen
un ∆kes
Ω∆k=∆k
1
2R
=2R∆k(16)
Ahora para determinar el número de estados cuánticos en un ∆Ese despeja ∆kde 14, se reemplaza en 16 y se multiplica
el resultado por dos por la degeneración de spin [18]
Ω∆E=2(2R∆k) = 4R
vfℏ∆E(17)
La corriente total es
Itotal =4R
vfℏ∆Eωce
2π=4Rωce
2πvfℏ∆E(18)
Por último, al someter el sistema a una diferencia de potencial de la forma ∆E=e∆V
Itotal =2Rωce2
πvfℏ∆V(19)
Como I=∆V/Resistencia y reemplazando la frecuencia ciclotrónica ωc=√2vf/lBreportada en [2] se tiene que
Resistencia =√2πlBℏ
4Re2(20)
III. ANÁLISIS DE RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Se encontró que los portadores de carga de electrones/huecos para el punto cuántico de grafeno a T→0 presenta una
relación cuadrática con la energía de Fermi, lo que coincide con lo reportado para el grafeno bidimensional [19,20], con la
diferencia que en 11 aparecen términos que dependen de parámetros propios del modelo como son la longitud magnética,
el potencial constante V0, la relación de flujos ζy el tamaño del punto R. Al analizar numéricamente la contribución de
los términos del número de portadores de electrones/hueco 11 para valores de ζ=1, B=1T,V0=15 mV yEF=4,5eV
l2
BE2
F
v2
fℏ2=3.08 ×104; 2(ζ+1) = 4; l2
Bτ2e2V2
0
v2
fℏ2=0,34 (21)
Se encontró que la contribución a ne,hde los términos 2(ζ+1)yl2
Bτ2e2V2
0/v2
fℏ2comparada con la de l2
BE2
F/v2
fℏ2es
insignificante, por lo que es posible aproximar el número de portadores de carga de electrones/huecos a solo el primer
término
ne≈l2
BE2
F
πR2v2
fℏ2(22)
La resistencia eléctrica se puede graficar en función del radio del punto para un intervalo de valores de [1,20]nm y un
campo magnético de 10T.
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FIG. 3: Resistencia vs radio del punto cuántico de grafeno a un campo magnético de 10T
Se destaca de la Figura 3la relación inversa con el radio del punto y que los valores que se obtienen de resistencia son del
orden de KΩ. Al comparar los resultados con la literatura se encontraron tres artículos experimentales que desarrollan la
resistencia eléctrica para sistemas similares, de lo que se destaca: En [23] se realizaron dos muestras con formas diferentes
de grafeno en línea recta y en forma serpenteante, y se reportó experimentalmente una resistencia de 4,5KΩy 15KΩ,
respectivamente, mientras que en [24] y [25] se realizaron muestras de puntos cuánticos de grafeno en domos de óxido de
silicio y grafeno decorado con cobalto para sensores de óxido de nitrógeno, con resistencias que van del orden de 1KΩ
a 100KΩy 1KΩa 3,7KΩpara las muestras decoradas con cobalto a diferentes temperaturas y campos magnéticos. Los
resultados del presente trabajo coinciden en orden de magnitud KΩcon lo reportado en la literatura y además corrobora
la influencia del campo magnético en la resistencia del nanomaterial.
IV. CONCLUSIONES
El número de portadores de carga de electrones/huecos del punto cuántico de grafeno a un potencial V0depende de
los parámetros propios del modelo como la longitud magnética lB, el radio del punto cuántico, y exhibe una relación
cuadrática con EFque coincide con la reportada para el grafeno a T→0. Mientras que la contribución de términos que
contienen la relación de flujos ζy el potencial constante V0es casi nula, por lo que es posible aproximar el número de
portadores de carga a ne,h≈l2
BE2
F/πR2v2
fℏ2, así se concluye que ne,hse ve influenciado por los campos magnéticos y el
tamaño del punto. Se encontró que la resistencia eléctrica del punto cuántico de grafeno depende de forma directa con
la longitud magnética lBy de forma inversa con el radio del punto R. Al considerar un campo magnético de 10Ty un
tamaño de punto cuántico de 1nm, 10 nm y de 20 nm, la resistencia eléctrica que se obtiene es
Para R=1nm →Resistencia =37,03KΩ
Para R=10nm →Resistencia =3,7KΩ
Para R=20nm →Resistencia =1,85KΩ
(23)
Estos valores de resistencia eléctrica concuerdan en orden de magnitud con los reportados en la literatura para el grafeno
en forma de línea recta (4,5KΩ), serpenteante (15KΩ)[23] y en muestras de puntos cuánticos de grafeno en domos de
óxido de silicio que van de 1KΩa 100KΩ[24] y el grafeno decorado con cobalto para sensores de óxido de nitrógeno
que va de 1 KΩa 3,7KΩ[25]. Todos los resultados y análisis expuestos en este articulo constituyen parte parcial de lo
realizado en la tesis doctoral [26] que actualmente se encuentra en revisión.
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